由简入繁、由易到难、分层推进

江泉龙

关键词：初中 数学 变式教学

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2022）-3-

一、何为“变式教学”？

变式教学，指的是以培养学生独立思考、灵活应用能力为目的，在教学过程中由教师精心设计一些不断变换问题情景或改变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问题，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性却始终保持不变的教学形式。变式教学的精髓就是由浅入深，多角度思考，分层推进，使不同层次的学生都能得到最大的发展。这实际上是教师有目的地通过变式教学为学生组织思维引导的过程。

二、如何进行变式训练

在教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理的思维能力。

（一）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。

【例】已知：如图1，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C.求证：AD+BC=AB。

证法一：【分析】如图2，在AB上截取AF，使AF=AD，再证FB=BC即可，此为截长法。

证法二：【分析】如图2，作∠AEF使∠AEF=∠DEA，EF交AB于F，則AF=AD，再证FB=BC即可。

证法三：【分析】如图3，由AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，得∠BAE=90°，AE⊥BE。可延长AD、BE交于点F，再证DF=BC，此为补短法。

证法四：【分析】如图4，因点E是∠DAB和∠CBA的平分线的交点，过E点作EF⊥AB交AB于F、EG⊥BC交BC于G、EH⊥AD交AD的延长线于H，则EF=EG=EH从而， S_（⊿BDA）+S_（⊿EBC）=S_（⊿EAB），利用三角形面积公式再证AD+BC=AB即可，此为面积法。

通过本例，挖掘了“截长或补短法”、“面积法”“等量代换法”等解决平面几何问题的四种数学思想和方法，这也是平面几何中解决线段间关系问题最常用的几种方法。

（二）多题一解，适当变式，培养学生求同存异的思维能力。

许多数学习题看似不同，但它们的内在本质是一样，这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，形成数学思想方法。

（三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。

通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

例如，书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。

变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？

变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？

变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？

做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。

又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。

例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与皮艇在同一起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米，为了追上快艇，皮艇必须奋力前划，同学们，请你想一想皮艇如果以每秒6米的速度划行，多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。

变式1：一膄快艇与皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，皮艇为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想皮艇如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）

变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题：现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发，

（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。

（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。

（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。

这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。

变式3：一膄快艇与皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，皮艇为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算皮艇后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？

这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、提高能力有着重要的作用。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。