白光干涉测量法中蝠翼效应的模拟分析

李 萍，闫 英，周 平

(大连理工大学 精密与特种加工教育部重点实验室，辽宁 大连 116024)

0 引 言

随着超精密加工技术的发展，表面三维轮廓形貌的准确表征与评价的需求与日俱增[1]。其中，白光干涉仪因测量速度快、范围大并且具有亚纳米级精度，在超精密加工表面的形貌测量中应用广泛[2-3]。白光干涉测量法是通过对光学干涉条纹图像进行解析，并从中得到表面形貌信息。在测量过程中由干涉图像引入的一系列误差，如瑞利衍射极限、漫反射造成的光强损失、背景光噪声等，会引起各类测量误差如蝠翼、2π 误差、“鬼步”等[4]。目前，对白光干涉仪测量误差的分析和补偿研究受到国内外学者以及相关企业的关注。

利用白光干涉仪测量台阶时，出现的形如“蝙蝠翼”的形貌误差，即为蝠翼效应。究其原因为：入射光在经过陡峭台阶边缘时发生衍射，衍射光入射到台阶底部，衍射光强信息与顶部的光强信息同时返回干涉物镜中，使得在对应位置处的成像平面上至少有3个分量对干涉信号产生作用，即待测对象的反射光、参考光和临近高（或低）平面上衍射光[5]。Harasaki等[6]建立了简单的衍射模型并解释了当台阶高度小于光源相干长度时，包络线在台阶不连续点附近的蝠翼现象。Niehues等[7]针对曲面尤其是侧面出现的蝠翼效应现象，提出了双波长相位展开法，在传统的白光干涉仪上安装两个光源，在高度扫描时交替驱动，通过评估差异来求解台阶边缘高度形貌。Lehmann等[8]在研究白光干涉仪的仪器传输特性时考虑点光源的影响建立了基于点扩展函数的衍射模型，并提出可以通过调整波长以适应表面台阶高度来避免或减少蝠翼效应。Xie和Lehmann等[9-12]在低相干干涉测量中，考虑了有效波长、数值孔径（numerical aperture, NA）因子对蝠翼效应进行数值模拟，陆续提出基于基尔霍夫的衍射模型和理查德沃夫的衍射模型，进一步揭示了蝠翼效应的影响机制。

国内自主研发设计的白光干涉仪大多通过避免使用边缘处信息来减小蝠翼效应的影响[13-14]，对标准单刻线样板测量得到的标准差可达6.2 nm。为解决上述问题，本文考虑白光光源带宽、干涉物镜数值孔径以及待测工件表面形貌的综合影响，提出蝠翼效应的圆孔衍射模型，分析蝠翼效应的产生机理以及其与真实形貌之间的关系，最后比较中值滤波和均值滤波两种滤波方法在消除蝠翼误差方面的优劣性，为提高白光干涉仪的测量精度奠定基础。

1 白光干涉仪测量模型

1.1 干涉仪系统测量原理

白光干涉仪的基本测量原理如图1所示，图中显微干涉物镜的结构为Mirau型。光源发出的光由第一分光板改变光路方向，到达第二分光板时被分成两束，一束经待测表面反射回光路系统中，另一束光经参考镜反射，两束反射光汇聚并干涉，形成的干涉光成像到CCD中。测量时采用微位移机构改变测量光和参考光的光程差。利用表面形貌恢复算法得到各点的相对高度，实现对被测物体的非接触测量。

图1 Mirau型白光干涉仪测量原理图

1.2 不考虑衍射时的虚拟测量模型

假设待测表面形貌为h(x,y)，考虑白光光源带宽和干涉物镜数值孔径对光强度分布的综合影响，假设光源在不同波长带宽上均匀分布，并且忽略材料表面反射引起的相位变化，同时不考虑色散问题，白光干涉光强分布受辛格（sinc）函数调制，忽略干涉光强的直流分量，并将交流分量做归一化处理，得[15]：

式中：λ0、λmin、λmax——光源的中心波长、最短波长及最长波长；

z0——h=0时测量光路与参考光路长度之差为零的位置；

φ0——干涉信号在等光程差的相位角；

Δz——连续两帧干涉图之间的扫描距离；

θmax——干涉物镜的截止角，θmax=arcsin(NA)。

其中，NA为干涉物镜数值孔径，与干涉物镜的放大倍数和物镜的种类有关，商用干涉物镜的数值孔径可参考表1查出。

表1 商用干涉物镜相关参数

由式（1）可得被测表面不同扫描位置z=−n·Δz到z=n·Δz（n=0,1,2 , ···,150，单向扫描）在白光照射下的干涉强度I(x,y)。利用表面形貌恢复算法，从离散干涉信号中计算调制度和相位信息，最终可得到表面形貌。常用的表面形貌恢复算法大致分为两类：第一类采用相干峰检测算法求取调制度值来直接恢复形貌，如极值法、重心法[16]、小波变换法等；第二类是在获得调制度的基础上，通过结合相位信息来恢复形貌，如相移法、空间频域法[17]等。

根据白光干涉仪的测量原理来构建白光干涉虚拟测量模型，各项仿真参数如表2所示，本实验用到的物镜为Mirau 50。为与实际白光干涉测量结果做比较，仿真时直接取仪器的相关参数，如表2所示，z0、φ0一般为常数，为简化计算仿真时设为0。由于位移驱动器带动干涉镜头沿z轴方向逐帧扫描，所以实际在CCD中得到的干涉信号均为离散干涉信号，单一像素点的干涉信号仿真如图2所示。

表2 仿真测量参数

图2 单一像素点不同扫描位置的光强度信号

假设待测对象高度h=150 nm，x方向上周期T=20 µm。则利用式（1）可得到初始模拟光强图。分别运用包络曲线拟合法和相移法对模拟的扫描干涉图进行分析处理，可得到表面形貌。采用不同算法得到的矩形光栅虚拟测量响应结果如图3所示，两种不同的形貌恢复算法得到的矩形光栅形貌和周期，均具有一致性。

图3 矩形光栅形貌图（不考虑衍射）

为做进一步比较，分别取不同的待测光栅高度（150，200，300，450 nm），根据 ISO 5436—1:2000 标准台阶评定方法评定矩形光栅的高度。整理其经虚拟测量得到的形貌的高度值绘制成表3。 由表3可以得出：由不同的形貌恢复算法得到矩形光栅的高度保持一致，表明在考虑白光光源带宽和干涉物镜数值孔径对光强度分布的综合影响时，其虚拟测量方法具有可行性。

表3 不同算法得到的光栅高度值nm

2 蝠翼效应误差的机理分析

在实际测量中，使用白光干涉仪（New View 5000，垂直分辨率0.1 nm，横向分辨率640 nm）测量矩形光栅标准样件（高度 200 nm，宽度 100 µm）。

轮廓测量结果如图4所示。图4(a)为白光干涉仪测量得到的三维形貌图，图4(b)为矩形光栅实物图，图4(c)为图4(a)所截取轮廓线的部分二维形貌。由图4 (c)中标注的边缘高度值看出，白光干涉仪实测结果中蝠翼效应高度不是一成不变的，其原因在于存在测量环境等不确定因素的影响：如干涉光强容易受到外界的环境光、外界的振动和光源光强不稳定等因素的干扰，这些不确定因素会引起干涉光强的强度和相位发生变化，使得恢复的形貌中蝠翼高度不一致。但含有蝠翼效应的误差高度总体较为接近 20 nm。

图4 矩形光栅形貌图

在白光干涉仪中考虑衍射的影响，干涉物镜相当于障碍物，如果光源、观察屏与障碍物之间的距离都是无限远的，此时的衍射认为是圆孔衍射。圆孔衍射在显微镜成像中不可避免，它对显微镜的分辨率有着重大影响。为了能够对实际光学干涉系统的性质做出更加正确的描述，将一个直径为无限小的理论点光源通过光学系统后的成像性质用点扩散（point spread function，PSF）表示[18]。由此，本研究考虑圆孔衍射的影响，得到非相干成像艾里斑的二维点扩散函数：

将显微镜中光强信号图像的形成看作是一个线性过程，在这个过程中样品上每一个采样点光强信息都与干涉物镜的点扩散函数进行卷积，从而获得考虑了衍射的干涉光强度图像：

式中：ICCD（x, y）——考虑了衍射效应的，实际在CCD上可观测到的干涉光强度信号；

I(x,y)——考虑白光光源带宽和干涉物镜数值孔径对光强度分布的综合影响得到的理论干涉光强度信号；

psf——白光干涉仪圆孔衍射点扩散函数。

利用卷积定理，对上式可以变换为下式，同时为了减少计算量，下式中将对于二维待测形貌进行分析，并假设y=0，所得到的干涉光强信息可以表示为：

式中：F–1——傅里叶逆变换的过程；

F——傅里叶变换的过程；

ζ、η−在x、y方向上的空间频率，PSF(ζ,η)=F{psf (x,y)}。

3 考虑衍射时干涉仪的虚拟测量模型

接下来，利用表面形貌恢复算法从式（4）得到的干涉光强图中提取出形貌信息，通过与理论形貌进行对比，分析衍射效应对白光干涉仪测量结果的影响。

基于以上的分析讨论，本节考虑衍射对白光干涉仪测量结果的影响，提出了基于衍射的白光干涉仪虚拟测量模型。该模型主要分为3部分：理想干涉光强信号生成、受衍射影响的干涉光强信号生成、干涉信号经形貌恢复算法后提取出高度信息，具体模拟分析流程如图5所示。

图5 模拟分析流程图

3.1 矩形光栅的虚拟测量分析

由衍射原理可以看出，在白光干涉仪的实际测量中，待测点的光强信息不仅包括干涉光路的参考光和反射光，还有待测点周围的衍射光的叠加。本研究仍以矩形光栅为例对形貌进行测量，依次选择四个采样点位置，如图6（a）所示，即：台阶顶部点（点A）、台阶顶部的边缘点（点B）、台阶底部的边缘点（点C）、台阶底部点（点D），分别绘制出四个位置的光强图，如图6（b）和（c）所示。对矩形光栅进行虚拟测量过程中，台阶顶部和底部中间点的光强信号与单一采样点干涉光强信号区别不明显，依旧与衍射前的信号保持一致；而受到衍射效应影响的台阶边缘位置处的光强的包络形状发生明显变化。由图中也可以看出边缘位置的干涉光强信号不仅强度明显降低，且信号出现次级包络峰，次级包络峰会影响峰值提取的正确性，因此，依据峰值位置进行形貌恢复的算法，结果必然会出现偏差。

图6 某四点光强信息

同时，模拟计算了周期均为20 µm，5种不同高度（h= 100 nm、h= 150 nm、h= 200 nm、h= 300 nm、h= 450 nm）的矩形光栅虚拟测量形貌，结果如图7所示（为直观对比，高度偏移量依次递增500 nm）。

图7 不同表面形貌的模拟测量形貌

测量点光强信息受相邻点光强度衍射的影响，干涉光强大小发生改变。根据双光束干涉理论，一般认为相位差与波数满足：Δφ=2k0h（k0为光波矢量，且k0=2π/λ0），所以相位每相差π时高度相差为λ0/4。当待测台阶高度为λ0/4和3λ0/4时（图中h=150 nm和h=450 nm），台阶边缘干涉光强信号受相邻点光强的影响，干涉光强信号发生如图6所示的幅值明显变小的现象，不同的形貌恢复算法均得到明显的蝠翼误差（图7（a）和图7（b）），且蝠翼高度超过50 nm，不可忽略。当待测对象高度远离 λ0/4时（图中h=100 nm 和h=200 nm），以 200 nm 为例，台阶边缘干涉光强信号受相邻点光强的影响变小，蝠翼高度降低，且形貌周期仍保持不变。当形貌高度为λ0/2时（图中h=300 nm），台阶边缘干涉光强信号与相邻点光强相位相差2π，此时衍射效应相当于滤波，即台阶高度边缘被滤波平滑处理；此时，结合相干信息和相位信息的相移法能更好地得到矩形光栅形貌。

3.2 测量结果验证

利用上述衍射模型对待测表面（高度为200 nm，宽度为50 µm）进行虚拟测量并采用相移法恢复表面形貌，得到如图8（相移法偏移量为300 nm）所示的虚拟测量结果。在考虑衍射对白光干涉仪的影响时，虚拟测量结果显示出蝠翼效应，且蝠翼效应误差高度为20.0 nm，与图4（c）实际测量结果具有一致性。

图8 矩形光栅样件的测量和仿真形貌

图9为白光干涉仪测量硅晶圆片（高度为335 nm，宽度为 20 µm）时所获得的图像。结合图9（a）、（b）可以看出，其边缘的测量结果出现蝠翼误差。输入相应的高度宽度参数进行虚拟测量，仿真结果如图9（c）所示。其中相移法（y偏移 500 nm）仿真结果的蝠翼高度为16.9 nm，实验测量结果的蝠翼高度为23.2 nm，蝠翼高度仿真误差为27.16%。

图9 硅晶圆片形貌分析图

同样的，图10待测样件高度为835 nm，宽度为100 µm。虚拟测量仿真结果如图黑实线所示。相移法仿真结果的台阶高度为834.1 nm，实验测量结果的台阶高度为835.0 nm。由图中可以看出，实测和仿真形貌边缘均未出现蝠翼效应。

图10 硅晶圆片样件的测量和仿真形貌

3.3 蝠翼效应的补偿

以目前的手段而言，还无法从原理上完全克服蝠翼效应对白光干涉仪的测量性能限制，但是直接对测量结果进行补偿处理，不必考虑测量过程中影响蝠翼的各种因素，这种补偿方式简单直接，不需要过多的计算量，并且也能达到令人满意的蝠翼补偿效果。

采用滤波的方法对测量结果进行后处理，对矩形光栅实测形貌和矩形光栅虚拟测量形貌分别进行均值滤波和中值滤波，结果如图11所示，两种处理方式均能过滤掉尖峰的“蝠翼”，但中值滤波对蝠翼处理结果优于均值滤波的处理结果，因均值滤波的处理使矩形光栅的边缘出现“塌边”和矮“凸峰”，而中值滤波能够保护边缘和轮廓信息。

图11 矩形光栅模拟和实测补偿结果图

为进一步对比两种滤波方法处理效果，使用台阶高度、台阶与轮廓中线围成的面积两种评价参数对实测形貌和滤波补偿形貌进行评价。

1）台阶高度：根据 ISO 5436—1:2000(E)[19]标准台阶评定方法，使用白光干涉仪对样块进行测量，取互相平行的轮廓线10条；对应的中值滤波和均值滤波结果如图12（a）所示，实测轮廓的台阶高度为199.1 nm，中值滤波处理的台阶高度为199.1 nm，均值滤波处理的台阶高度为199.1 nm，两种滤波处理后的台阶高度与实测台阶高度在数值上相等。

图12 两种评价参数对滤波方法的评价

2）台阶与轮廓中线围成的面积：为直观对比两种滤波处理结果的“塌边”程度，计算出单个台阶与轮廓中线所围成的面积，结果如图12（b）所示。从图中得出：均值滤波对边缘和轮廓保护程度差，单个台阶被滤掉的面积相比中值滤波的差值大于0.1 µm2。

4 结束语

在考虑干涉系统衍射的基础上，模拟了白光扫描干涉测量过程，并对百纳米高度的台阶进行白光干涉仪的虚拟测量，对测量结果产生的蝠翼效应进行分析得到，蝠翼误差的出现受待测形貌的影响，当台阶高度接近λ0/4的奇数倍时蝠翼误差明显，此种情况下利用中值滤波处理蝠翼误差的效果优于均值滤波的处理效果。

文中所提出的白光扫描干涉虚拟测量算法是对白光扫描干涉测量过程进行模拟，通过在模拟测量中考虑白光光源带宽、干涉物镜数值孔径以及待测工件表面形貌等因素，可以进一步分析这些因素对蝠翼误差形状和大小的影响机理、影响方式以及影响的权重，为从根本上消除蝠翼误差做基础。采用虚拟测量方法，可以对具有边缘结构或陡峭侧翼的形貌进行高精度的模拟预测，这在微电子机械制造与微机械制造等领域，可以应用于对矩形阶梯状结构和光栅状结构的测量结果的处理中。