例谈直角四面体性质的探究和证明

李小蛟 杨世卿 张 强

(四川省成都市树德中学 610091)

定义如图1，四面体O-ABC满足：OA，OB，OC两两垂直，则称此四面体为直角四面体.

直角四面体有很多性质，而更有意义的是探讨性质的过程.

为探究方便，不妨设OA=a,OB=b,OC=c.

探究1由其定义可以直接得到下面性质.

图1 图2

例1(2019年江苏9)如图2，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是____.

解析由性质1可知

性质2△ABC一定为锐角三角形.

证明因为

所以∠ABC为锐角.

所以∠BCA,∠CAB为锐角.

所以△ABC为锐角三角形.

例2已知直角四面体O-ABC中，O为直角顶点，α,β,λ分别为△ABC的三个内角，求证：cosα·cosβ·cosλ>0.

图3

解析由上述性质2显然成立.

探究2将其补成长方体(如图3)，我们可以得到如下性质.

证明补成的长方体和三棱锥有相同的外接球，其外接球直径为长方体的对角线，

例3已知一直角四面体O-ABC的外接球半径为定值R，试求其体积的最大值.

即4R2=a2+b2+c2为定值.

由均值不等式,得

探究3过顶点O向平面ACB作垂线，垂足为点H，并过点H作HE⊥AB，垂足为点E，我们可以得到如下性质.

性质4 点H是△ABC的垂心.

证明因为OA⊥OB,OA⊥OC,所以OA⊥平面OBC.所以OA⊥BC.又因为OH⊥平面ABC，所以HA是OA在平面ABC内的射影.

所以由三垂线定理的逆定理知HA⊥BC.

同理可证HB⊥AC,HC⊥AB.

所以点H是△ABC的垂心.

证明因为OC⊥OA,OC⊥OB,所以OC⊥平面OAB，所以OC⊥OE.

如图4，在Rt△OEC中，OE2=EH·EC.

图4

从而有

此性质可以由二维空间中的射影定理类比推广得到，这种由二维空间到三维空间类比的思想是立体几何中的重要思想，我们再看下面性质.

证明因为

例4已知直角四面体O-ABC的三条直角棱的长分别为OA=a,OB=b,OC=c，求直角面OAB在斜面ABC上的射影面积.

解析由性质5，图4知

证明因为此直角四面体的体积

又由性质6知

解析由图4知，点H为△ABC的垂心，所以AB⊥面OEC.

又在Rt△OEC中，

探究4利用上面的等体积法，我们还可以求得此直角四面体的内切球半径.

证明设内切球球心为I，则

V=VI-OAB+VI-OBC+VI-OCA+VI-ABC

性质9此直角四面体的内切球半径

证明因为

即证

由性质6，上式

=2S△OAB·S△OBC+2S△OBC·S△OCA+2S△OAB·S△OCA

从而得证.

例6 (天津预赛题)已知正三棱锥的侧面是面积为1的直角三角形，求它内切球的体积.

解析由性质9知，内切球半径

性质10直角四面体O-ABC中,设面OBC与面ABC所成的角为α，面OCA与面ABC所成的角为β，面OAB与面ABC所成的角为γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1.

证明如图4,显然γ=∠OEC，

所以cos2α+cos2β+cos2γ

即cos2α+cos2β+cos2γ=1.

例7三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC三条侧棱两两互相垂直，其中面OAB、面OBC与面ABC所成的二面角分别为45°和60°，求侧面OAC与底面ABC所成的二面角大小.

解析由性质10知，

cos2α+cos245°+cos260°=1，

解得α=60°.

性质11直角四面体O-ABC中,P是面ABC内任意一点，设∠OAP=α,∠OBP=β，∠OCP=γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1.

证明回到探究2补长方体的方法：将直角四面体O-ABC补成一个以OA,OB,OC边所在直线为长、宽、高所在直线，且OP所在直线为体对角线所在直线的长方体即可得证.

例8 (湖南竞赛)O-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，P为底面ABC内一点，若∠OAP=α，∠OBP=β，∠OCP=γ，求tan2α·tan2β·tan2γ的取值范围.

解析由性质11知，

sin2α=1-cos2α=cos2β+cos2γ≥2cosβ·cosγ.

同理可得

sin2β=1-cos2β=cos2α+cos2γ≥2cosα·cosγ.

sin2λ=1-cos2λ=cos2α+cos2β≥2cosα·cosβ.

上述三个式子相乘,得

tan2α·tan2β·tan2γ≥8.

从以上直角四面体性质的探究过程中我们发现，基本元素分析和作图是解决立体问题的基础(探究1和3)，而长方体是三维空间中标准的模型，构造长方体模型是解决立体几何问题的有力方法(探究2)，二维到三维空间的类比会助我们在探究立体几何问题中插上腾飞的翅膀(性质5到性质11).