土体强度的空间分布形式对单桩承载力的影响

杨 剑，黎 冰，鲍安琪，陈 宁

(1. 中交公路规划设计院有限公司 上海分公司，上海 200072； 2. 东南大学 土木工程学院，江苏 南京 210096)

土由岩石风化而来，具有天然的变异性。但是，土体各点之间的特性并不是完全随机的，土体特性的相关性一般随两点之间距离的减小而增强。因此，地基基础的分析中理应考虑土的随机性。目前考虑土性随机特性的地基基础分析方法中，以随机有限元法应用最为广泛。1993年，Griffiths等[1]首次将随机有限元法应用于岩土工程领域，分析了土体的空间可变渗透率对地下水渗流的影响。后来，这种方法逐渐应用于分析边坡的稳定性[2-4]、浅基础的沉降变形[5-7]和桩基础等方面。

土的随机性对桩基础的影响研究方面，Pula等[8]在考虑土性参数空间变异性的基础上，提出并讨论了刚性桩水平承载力问题的解决思路。Teixeira等[9]用一次二阶矩法和蒙特卡洛模拟法对竖向受荷桩进行了分析。杨剑等[10-11]分析了土体空间变异性对单桩竖向和水平向承载力的影响。Jamshidi等[12]应用随机有限元法研究了土体参数空间变异性对桩筏基础承载力的影响。Haldar等[13]研究了不同空间变异强度的土中水平受荷桩的承载特性。上述考虑土体随机性的桩基研究中皆将土性参数假定为服从对数正态分布。然而已有研究表明，对于不同类型的土和场地，土的不排水抗剪强度可以遵循不同的概率分布函数[14-16]，而不同的土性随机场的概率密度函数类型对基础结构特性有较大的影响[17-19]。因此，研究土性参数分布形式对桩基础的影响很有必要。本文应用谱表示方法来模拟土体随机场，考虑黏土的不排水强度分别服从对数正态分布、Beta分布和Gamma分布，结合不同的相关距离和变异系数，从承载力大小的角度对比研究土性参数分布形式对单桩基础的影响，以期加深对桩基础的认识。

1 模型建立与工况设定

1.1 模型建立

采用大型商业软件ABAQUS进行二维模拟。如图1所示，模型高24 m，宽20 m。桩身材料为钢筋混凝土，密度ρ=2.5 g/cm3，弹性模量E=30 GPa，泊松比μ=0.2，桩长L=16 m，直径d=0.8 m。地基土设定为黏性土，不排水强度cu=30 kPa，密度ρ=1.3 g/cm3，弹性模量E=30 MPa，泊松比μ=0.45。

二维建模时，依据水平抗弯刚度等效原则对桩体的模量进行调整，模型中的桩体采用线弹性本构模型，地基土采用Mohr-Coulomb模型。模型左右两侧边界施加水平向约束，模型底部边界的水平向和竖向皆施加约束以保证无位移。桩体的网格单元尺寸为0.5 m×0.4 m，土体的网格单元尺寸为0.5 m×0.5 m，共1 856个网格，每个网格按照图2所示的规律进行编号。

图1 模型示意（单位: m）Fig. 1 Model sketch (unit: m)

图2 网格划分与编号Fig. 2 Diagram of finite element meshing

1.2 工况设置与随机场模拟

为了探究土性参数的分布形式对桩基础的影响，以黏土的不排水强度为随机变量，结合不同的参数变异系数和相关距离，考虑对数正态分布、Beta分布和Gamma分布3种随机概率分布形式，3种分布的概率密度函数如表1所示。考虑随机变量的变异系数为0.1、0.3和0.5，水平向相关距离为8、16和32 m，竖向相关距离为4和8 m，每种分布形式下共设置了12组随机模拟工况，具体工况如表2所示。对于表2中的编号，X表示水平向相关距离，Y表示竖向相关距离，例如编号X8Y4表示水平向相关距离为8 m，竖向相关距离为4 m。

表1 3种分布的PDF函数Tab. 1 Three standard non-Gaussian distributions

表2 工况设置与编号Tab. 2 Test programs and numbers

对于每组工况，首先采用谱表示法离散随机场，生成1 856个均值为30 kPa的土体强度值，再分别赋值给每个网格单元，以体现土体强度的空间变异性；然后对桩基分别分级施加水平荷载和竖向荷载，得到桩基的水平荷载-位移曲线和竖向荷载-位移曲线，进而确定单桩的水平承载力和竖向承载力。对于每组工况，应用蒙特卡洛法进行1 000次的模拟，得到1 000个不同的模型。每组工况中，虽然每次模拟得到的土体不排水强度的基本统计特征值保持不变，但每次模拟得到的每个网格单元的土体不排水强度值不同，所以模拟结果也不同，这样即可呈现因土体强度空间变异性导致单桩水平承载力的不确定性。

2 计算结果与分析

通过数值模拟计算，分别提取荷载与对应的桩顶竖向和水平向位移数据，得到荷载-位移曲线。竖向荷载作用下桩顶的荷载-位移曲线是陡降型的，取发生明显陡降的起始点对应的荷载值为桩基础的竖向极限承载力。水平荷载作用下桩顶的荷载-位移曲线是缓变型的，无明显的转折点，采用文献[13]中的破坏标准，即水平位移达到0.050 8 m对应的荷载为单桩水平极限承载力。

分析计算结果发现，不同土性参数的分布形式下单桩承载力随变异系数和相关距离的变化规律相同，只是数值大小有所差异。因此，下文将以Beta分布的随机场模拟结果为例先介绍单桩承载力的变化规律，然后再对比分析土性参数的分布形式对单桩基础的影响。

2.1 服从Beta分布的随机场模拟结果分析

图3描述的是Beta分布下空间变异性黏土中单桩竖向承载力均值及标准差随变异系数的变化规律。从图3可以清楚地看出，各相关距离下单桩竖向承载力均值皆随变异系数的增大而几乎呈线性降低，说明土体强度的变异性对单桩竖向承载力影响很大，且该规律不因相关距离的大小而改变。

观察图3可以发现，随着变异系数的增大，单桩竖向承载力呈下降趋势。当变异系数从0.1增大到0.3时，4条曲线的斜率十分接近，这意味着变异系数对单桩竖向承载力的影响程度是相同的。但当变异系数从0.3增大到0.5时，X16Y8和X32Y4工况下单桩竖向承载力的下降速率有所减缓，特别是工况X16Y8，而工况X8Y4和X16Y4下的曲线基本仍是保持线性变化。

标准差的大小可以反映出数据大小的离散性，Beta分布下单桩竖向承载力的标准差与变异系数的关系如图3所示。由图3可见，单桩竖向承载力的标准差随着变异系数的增大而增大，且不同相关距离工况下各条曲线表现出相同的趋势，即变异系数从0.1增大到0.5的过程中，标准差的增长速率逐渐降低。

图4描述了Beta分布下单桩水平承载力的均值和标准差随变异系数的变化。观察图4可以发现，与竖向承载力均值的变化规律类似，Beta分布下单桩水平承载力均值也是随变异系数的增大而降低，但并不是线性变化，而是在变异系数大于0.3后单桩水平承载力均值随变异系数降低的速率明显加快。图4中展示的单桩水平承载力标准差随变异系数的变化规律是逐渐增大的，且增大速率也随变异系数的增大而提升。

图3 Beta分布下变异系数对竖向承载力均值及标准差的影响Fig. 3 Influence of variation coefficient on mean value of vertical bearing capacity and standard deviation under Beta distribution

图4 Beta分布下变异系数对水平承载力均值及标准差的影响Fig. 4 Influence of variation coefficient on mean value of horizontal bearing capacity and standard deviation under Beta distribution

2.2 土体强度分布形式对单桩承载力的影响

2.2.1 竖向受荷桩 为了对比分析服从Beta、Gamma和对数正态3种分布的随机场条件下单桩竖向承载力的差异，以工况X8Y4、X16Y2、X16Y8和X32Y4为例（各工况下得到的规律相同），图5给出了4种工况下变异系数对单桩承载力均值和标准差的影响曲线。对于不同土体强度分布形式下单桩的竖向承载力均值，图5显示每个工况下3种分布的单桩竖向承载均值随变异系数变化曲线非常接近，特别是图5（b）中的X16Y2工况，3条线几乎重合。对于图5（a）（c）（d），同一工况下不同分布形式的单桩承载力均值差异也很小，工况X16Y8、变异系数为0.5时Beta分布与对数正态分布的差异最大，差值为23.1 kN，仅为均值的1.2%。由此可见，Beta、Gamma和对数正态3种分布下单桩竖向承载力的均值差异很小，且曲线相交没有明显一致的大小关系。

图5 分布形式对竖向承载力均值及标准差的影响Fig. 5 Influence of distribution form on mean value of vertical bearing capacity and standard deviation

观察图5中各分布形式下的曲线可以发现，各个工况下3种分布的曲线之间存在确定的位置关系，具体为服从Beta分布的随机场中承载力的标准差始终是最大的，服从对数正态分布的随机场中承载力的标准差始终是最小的，而Gamma分布的结果处于两者之间，这与单桩竖向承载力均值的变化规律不同。

2.2.2 水平受荷桩 以X16Y2和X32Y4两个工况为例，分析土体强度的分布形式对单桩水平承载力的影响。图6描述的是单桩水平承载力均值及标准差随变异系数的变化趋势。从图6可以看出，当变异系数为0.1时，3种分布形式下单桩的水平承载力均值的数据点几乎重合，然后随着变异系数的增大，单桩水平承载力逐渐减小，但不同分布形式下的曲线开始出现差异，且3种分布形式下单桩水平承载力均值的大小关系是确定的，具体是服从对数正态分布的随机场中单桩水平承载力的均值最大，服从Beta分布的随机场中单桩水平承载力均值最小，而Gamma分布的结果处于两者之间，这与单桩竖向承载力均值的规律显著不同。

与承载力均值类似，在变异系数为0.1时，不同分布形式下单桩水平承载力标准差的数据点几乎重合，但随着变异系数的增大，标准差随之增大，且不同分布形式的曲线分离，形成了确定的大小关系。与竖向受荷桩的规律相同，也是服从Beta分布的承载力标准差最大，服从对数正态分布的承载力标准差最小，而Gamma分布的结果处于两者之间。

图6 分布形式对水平承载力均值和标准差的影响Fig. 6 Influence of distribution on mean value of horizontal bearing capacity and standard deviation

综合上述单桩承载力的计算结果可知，变异系数对水平承载力和竖向承载力的影响都是不利的。且对于水平承载力，变异系数越大，土体强度的空间分布形式影响越显著。

由前述分析已知，3种分布形式下水平承载力变异程度以Beta分布的为最大，对数分布的为最小。可见，相对于Beta分布和Gamma分布，采用对数正态分布随机场计算得到的单桩水平承载力均值最大而标准差最小，在不确定地基土强度分布形式的情况下，这一结果对工程而言是偏于不安全的。

综合竖向和水平向荷载作用下单桩承载力和标准差的变化规律，土体强度的分布形式对单桩竖向承载力均值没有明显的影响，但由Beta分布计算得到的水平承载力均值最低，且竖向荷载和水平荷载作用下Beta分布得到承载力标准差都是最大的。因此，在实际应用中当地基土强度空间分布形式未知时，若按概率极限状态设计法设计桩基础，建议采用Beta分布确定单桩承载力。

3 结 语

为了研究土体空间变异性中随机场服从的概率分布形式对单桩承载力的影响，将土体强度作为随机变量，建立土体随机场模型，通过数值模拟分析了不同工况下单桩竖向和水平承载特性的变化规律，得到了如下结论：

（1）土体强度的分布形式对单桩竖向承载力均值没有明显的影响，但对承载力的标准差有明显的影响。服从Beta分布的随机场中竖向承载力的标准差最大，服从对数正态分布的随机场中竖向承载力的标准差最小。

（2）对于单桩的水平承载力，土体强度的分布形式对其均值和标准差都有明显影响。服从Beta分布的随机场中水平承载力的均值最小，服从对数正态分布的随机场中水平承载力的均值最大；服从Beta分布的随机场中水平承载力的标准差最大，服从对数正态分布的随机场中水平承载力的标准差最小。

（3）实际工程中，在不确定地基土强度分布形式的情况下，采用对数正态分布随机场计算得到的单桩水平承载力均值最大而标准差最小，这对于工程而言偏于不安全。