求函数零点个数的途径

沈惠林

求函数零点的个数问题是函数中的一大常见考点.此类问题主要考查函数的图象、方程的根的分布以及零点存在性定理等知识点.下面，结合例题，谈一谈求函数零点个数的几种途径.

一、运用方程思想

由函数零点的定义可知，函数f（x）的零点的个数就是方程f（x）=0的根的个数.那么在求函数零点的个数时，可以根据函数与方程之间的关系，将问题转化为求函数对应方程的根的个数，运用方程思想来解题.一般地，方程有几个根，函数就有几个零点.在解方程后，要注意检验所得的解是否在函数的定义域内，若不在定义域内，需将其删除.

综上可知，函数共有5个零点.

方程思想通常适用于求解方便求得方程的根的问题.运用方程思想，通过解方程去求函数零点的个数，可有效地转化解题的思路.

二、采用图象法

若根据函数的解析式难以求出零点的值，则可以利用图象法，借助函数的图象去求函数零点的个数.通常要先根据函数的解析式画出函数的图象，然后寻找函数图象与x轴的交点.若函数的解析式可以拆分为两个新函数，只需寻找两个图象的交点，确定交点的个数，即可确定函数零点的个数.

例2 .求函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上零点的个数.

解：令f（x）=2x+x3-2=0，

可得2x=2-x3，

令g（x）=2x、h（x）=2-x3，在同一个坐标系中分别作出两个函数g（x）=2x和h（x）=2-x3的图象，如图所示.

通过观察图象可知：g（x）和h（x）的图象在定义域（0，1）内有且只有1个交点，

所以函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上只有1个零点.

运用图象法求函数零点的个数，依据是函数的零点即为函数图象与x轴交点的横坐标.对于本题，需先令f（x）=2x+x3-2=0，构造出两个新函數，将问题转化为求两个函数g（x）=2x和h（x）=2-x3交点的个数.结合函数的图象，运用图象法，便可快速求出函数f（x）零点的个数.

三、利用零点存在性定理

所谓零点存在性定理，是指若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）？f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.运用零点存在性定理解题关键的一步是判断f（a）？f（b）的符号.若在（a，b）内函数有几个零点，就需运用零点存在性定理分别判断几个子区间上函数是否有零点.

例3.已知在R上f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）=2x+2x-4，求f（x）零点的个数.

解：因为在R上函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0，

所以当x>0时，函数f（x）有1个零点.

根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函数f（x）也有1个零点.

因此函数f（x）一共有3个零点.

相比较而言，第一、二种途径比较常用，且适用范围较广；第三种途径的适用范围较窄，且通常需运用方程思想、图象法来辅助解题.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）