基于自适应代理模型的序列迭代优化 *

高亚洲， 毛虎平， 孙 权

(中北大学 能源动力工程学院， 山西 太原 030051)

0 引 言

在结构优化领域广泛使用的单一代理模型构造方法主要有响应面模型(RSM)、 径向基函数模型(RBF)、 Kriging模型、 MARS模型、 支持向量回归模型(SVR)等[1-3]. Simpson等[4]最早通过喷管的形状优化设计问题对响应面模型与Kriging模型的性能进行了比较研究， 结果表明Kriging模型对该问题的拟合能力及预测能力等性能均优于二阶多项式响应面模型. Jin等[5]人通过14个具有代表性的标准测试函数， 从拟合能力、 预测精度、 建模速度、 鲁棒性等方面分析了除支持向量回归模型外的4种代理模型在不同样本规模下对不同特征问题的性能表现. 韩鼎等[6]对上述 5种代理模型也进行了相关研究. 文献[5]和文献[6]给出了 5种代理模型的大致适用范围. 然而在代理模型的实际应用中， 由于某些优化问题的非线性程度等特征很难判断， 模型类型的选择还是基于现有文献或工程经验， 无法特别准确地选择出较适合当下优化问题的代理模型类型. 在代理模型的发展过程中， 为了进一步提高代理模型的性能， Zerpa等[7]将Kriging等 3种单一代理模型按照一定的权重系数进行叠加， 首次提出组合代理模型这一概念， 其中权重系数根据 3种单一代理模型的预测误差计算得到. 叶鹏程[1]提出一种以最小化交叉验证误差为依据的计算权重系数的组合代理模型， 并将其应用于水下滑翔机的外形优化设计中. 仇佳佳[8]提出了一种新型组合代理模型USE， 权重系数同时考虑到了各模型的整体误差与局部误差. 由以上研究可以看出， 组合代理模型的研究重点一直在权重因子计算方法上， 而忽略了各单一代理模型类型的选择. Viana等[9-10]通过研究发现， 性能较好的单一代理模型构建的组合代理模型的性能确实要优于引入性能表现较差的单一代理模型的组合. 这表明单一代理模型类型的选择也非常重要. 基于代理模型的优化设计的最终环节是对基于构造的代理模型进行求解， 目前求解所采用的策略主要是序列迭代优化. Sharif等[11]提出了一种将径向基函数迭代过程中的疑似最优解及邻近稀疏区域样本点作为新增样本点的MPS算法， 并通过测试函数与工程案例对该方法的有效性进行了验证. Duan等[12]比较了MPS算法与遗传算法在工程优化问题中的表现， 两种算法都能准确捕捉到全局最优解， 但MPS算法的迭代次数及调用仿真模型的次数都明显少于遗传算法. 不难发现， 现有对代理模型序列迭代优化进行研究的文献的关注点基本都在新增样本的选取准则. 然而， 随着样本规模的增大， 对于优化问题而言， 性能最优的代理模型类型也会随之发生改变.

综上所述， 目前基于代理模型的优化设计想要在工程结构优化领域得到进一步发展与应用， 还存在一些尚需解决的问题， 如： 对于某一优化问题， 只能靠工程经验或以往研究文献来选择代理模型类型， 有一定的随机性； 在序列迭代优化过程中， 随着样本规模的增大， 最适合优化问题的代理模型类型可能会发生改变. 为了解决上述问题， 本文提出了基于自适应代理模型的序列迭代优化方法， 其核心思想是在更新样本空间的同时选择出当下最优代理模型. 随着迭代过程进行， 模型性能会越来越优.

1 前期工作

1.1 相关概念

在结构设计与优化这一领域， 代理模型技术是以数学近似思想为理论基础， 基于试验设计所获取的有限规模的样本数据构造复杂仿真模型的近似数学模型， 并以此代替仿真模型开展优化， 从而达到降低优化进程中计算成本与时间的目的.

(1)

式中：ε为代理模型对系统响应的预测值相对于真实响应值的误差.

一般建模流程为：试验设计， 数值仿真， 模型选择与构造， 模型验证评估. 在进行模型验证和评估时， 常见的可用于代理模型性能评价的指标有：

决定系数(Coefficient of Determination，R2)， 也称复相关系数(拟合精度)， 计算公式为

(2)

均方误差(Mean Square Error， MSE)

(3)

均方根误差(Root Mean Square Error， RMSE)

(4)

1.2 活塞仿真建模

本文建立的活塞模型如图 1(a) 所示. 因为后期主要是对冷却油腔区域进行结构优化， 所以对活塞体上油腔外部区域进行参数化处理， 如图 1(b), 图 1(c) 所示.

图 1 活塞-连杆组合结构相关模型

1.3 活塞代理模型的建立

根据活塞实际工作需要及给定模型的实际条件， 选择活塞冷却油腔作为优化的研究对象， 构建优化问题的数学模型如下：

min Weight(Xi),

s. t.σmax≤200,

umax≤0.365,

(5)

1.4 样本空间的构建

活塞优化问题的设计变量示意图如图 2 所示， 设计变量的截面尺寸变化范围如表1 所示.

图 2 设计变量示意图

表1 设计变量变化范围

1.5 模型性能测试

基于上一步所获取的初始样本数据， 通过本文提出的自适应代理模型方法分别构造活塞优化问题目标函数Weight、 约束函数σmax,umax的初始代理模型， 用于 SO-ASM方法的首次迭代计算. 表2 为初始代理模型的性能测试结果， 最终生成的初始代理模型的拟合精度R2均大于0. 9， 满足实际使用要求.

表2 初始代理模型性能测试结果

2 代理模型

2.1 自适应代理模型(ASM)

图 3 为本文所提出的自适应代理模型方法的基本原理图， 其实际运行的具体步骤如下：

Step 1: 初始化参数；

Step 2: 构造初始样本空间；

Step 3: 基于训练样本使用RSM， RBF， Kriging， MARS， SVR等单一代理模型构造方法分别构造代理模型；

Step 4: 对 Step3中建立的所有代理模型进行性能测试；

Step 5: 若 3个以上模型的测试结果符合模型性能要求下限则进行下一步， 否则， 返回Step2；

然而，在不断取得成效的同时，国内出现的地沟油事件、疫苗事件、三鹿奶粉中毒事件等凸显了我国当前的行政问责制存在着一些不足之处。从表层分析，这类事件的出现主要是由于我国行政人员失职以及滥用职权等不当行为导致的；从深层次分析，主要是当前我国还未形成规范化和法制化的行政问责制。若行政问责制得不到有效地完善，公民的诉求得不到及时传达，行政问责制仅停留在形式主义上，政府的公信力和形象会受到严重影响。因此，分析现阶段我国行政问责制存在的不足之处并且提出相应的完善政策具有重要意义。当前我国行政问责制存在的不足之处如下：

Step 6: 若存在单一代理模型的测试结果达到预先设定的模型性能要求上限， 则选择终止并将该模型作为最优代理模型输出； 反之， 则进行下一步；

Step 7: 以Step3中满足要求的若干单一代理模型作为构造组合代理模型的模型库；

Step 8: 构造组合代理模型；

Step 9: 测试后选择最优代理模型.

图 3 自适应代理模型原理示意图

2.2 基于自适应代理模型的序列迭代优化(SO-ASM)

基于自适应代理模型的序列迭代优化的大致流程如图 4 所示， 具体运行步骤如下：

Step 1: 建立仿真模型， 初始化参数.

Step 2: 构造初始代理模型.

Step 3: 对代理模型进行优化求解， 获得当前迭代循环的潜在最优解.

Step 4: 若当前迭代次数达到上限， 则终止程序， 将当前解作为全局最优解输出； 反之， 则进行下一步.

Step 5: 判断当前潜在最优解是否满足收敛条件(见式5)， 判定准则为

(6)

式中：f(xk)为当前迭代过程得到的潜在最优解；f(xk-1) 为上一轮迭代过程中的潜在最优解；ε为收敛系数. 若当前最优解满足收敛条件， 将此解作为最优解输出； 反之， 则进行下一步.

图 4 基于自适应代理模型的序列迭代优化流程图

Step 6: 更新样本空间：将上一步得到的潜在最优解筛选过后加入样本空间. 筛选原理为

d(x，xp)≤η,

(7)

式中：d为候选样本点x与现有样本点xp之间的最大距离；η为判断系数， 任意维度上最大距离小于该系数的候选样本点将被剔除.简单来说， 要添加的样本点与原来所有样本点之间的距离只要有大于η的， 便将此点剔除， 而η的选择与样本空间大小有关. 若满足式(7)， 直接执行Step7， 否则， 需调用有限元模型， 获得真实响应值后添加到样本空间.

Step 7：令迭代次数k=k+1， 之后转入Step 2.

3 数值试验

选择8个在代理模型优化方法研究中被广泛采用的标准测试函数进行数值试验， 对提出的自适应代理模型及基于自适应代理模型的序列迭代优化进行验证与分析. 测试函数分别为： Six-hump Camelback函数(SC)、 Branin函数(BR)、 Generalized Polynomial函数(GF)、 Goldstein and Price函数(GP)、 Hartman函数(HN)、 HD1函数、 Rosenbrock函数(R10)、 F16 函数[13-18]. 前4个都是二维函数， 而后4个则属于高维函数， 维度分别是6, 10, 10, 16.

通过比较下列3种情况下各函数的优化结果来验证基于自适应代理模型序列迭代优化方法的有效性与可靠性：(1) 直接对测试函数进行优化， 简称Direct， 用以模拟工程优化中直接对仿真模型进行优化的情况； (2) 基于自适应代理模型方法选择的最优模型采用传统序列迭代优化， 即在优化过程中不更新代理模型的类型， 简称SO-SM； (3) 基于自适应代理模型的序列迭代优化， 简称SO-ASM.

表3 给出了所有测试函数在上述3种情况下的优化结果， 包括NFE(原函数计算次数)和fopt(收敛最优解)的最小值、 最大值、 平均值， 表中最小值、 最大值以区间的形式表示. 其中， Direct方法不存在系统误差， 多次优化的结果都相同， 因此该组测试结果只给出NFE和fopt的均值.

由表3 可知， Direct精度最高但是计算次数最多， 尤其在高维函数中， 时间消耗太大； SO-SM在低维函数中表现良好， 但是在高维函数中其不仅计算精度明显下降， 计算次数也显著上升； SO-ASM在所有测试函数中均表现良好， 计算次数最低， 而且能保证计算精度. 综上所述， 本文提出的基于自适应代理模型的序列迭代优化方法能够降低优化过程中调用仿真模型进行计算的次数， 能在保证优化精度的前提下提高优化效率， 且其优化精度、 效率、 稳定性等各项性能表现均优于传统的SO-SM方法.

表3 测试函数优化结果

4 活塞优化实例

4.1 活塞有限元分析

在实际工作中， 活塞承受着热负荷与机械载荷的双重作用[19]， 因此， 为了获得比较真实的活塞系统响应值， 需对其进行热-机耦合静力学分析. 活塞热-机耦合仿真分析结果见图 5. 图 5(a) 为活塞在气体最大爆发压力时刻的应力与变形分布云图, 可以看出， 活塞在这一时刻的产生的最大形变达到 0.363 31 mm; 由图 5(b) 可知， 该时刻活塞承受最大的应力为180.42 MPa.

(a) 变形云图

(b) 等效应力分布云图

4.2 优化结果分析

为了验证本文提出的自适应代理模型优化方法在实际工程问题的可行性与最终优化结果的精确度， 在同等条件下分别通过自适应代理模型优化方法及传统的有限元优化方法对上文定义的活塞优化问题进行优化求解. 通过SO-ASM法与直接优化两种方法分别解决活塞优化问题的最终结果如表4 所示.

表4 活塞优化结果对比

由表4 可知， 两种方法在满足约束条件的要求下均实现了活塞的轻量化， 相较于优化前， 活塞质量分别降低了3.24%, 3.15%， SO-ASM法所得最优解对应目标函数值， 即活塞质量相较于直接优化的误差仅为 1.1×10-3kg.

图 6 为采用本文提出的SO-ASM方法优化后的活塞结构等效应力与变形分布云图(气体最大爆发压力时刻). 与图2比较可知：优化后活塞承受的最大应力增大至191.81 MPa， 较优化前增大了6.3%， 仍在活塞结构所用材料的承受范围之内； 直接优化后活塞最大等效应力的值为 188. 83 MPa， 误差仅为 0.16%. 这表明本文所提出的基于自适应代理模型的序列迭代方法能够有效保证优化结果的精确度.

(a) 变形云图

(b) 等效应力分布云图

图 7 分别给出了SO-ASM方法优化过程中目标函数代理模型的拟合精度、 预测误差等性能指标的变化曲线. 可以看出， 随着迭代次数的增加， 代理模型对真实活塞结构的拟合能力不断提高； 相应地， 在这个过程中模型的整体预测误差RMSE与局部误差MAE也逐渐降低并趋于稳定. 在整个优化历程中， 直接优化调用有限元模型进行计算的次数总计为257次， 而SO-ASM方法即使算上构造初始样本空间时调用有限元模型进行计算的次数也仅有116次， 仅为前者的46%， 这表明SO-ASM方法在保证优化结果精确度的前提下能够极大地降低整个优化过程所耗费的时间， 显著地提高优化效率.

(a) 拟合精度

(b) 预测误差(RMSE， MAE)

5 总结与展望

5.1 总 结

本文通过标准测试函数， 对直接优化、 SO-SM、 SO-ASM三种优化方式分别进行了测试. 试验数据表明， 在保证优化结果精度的前提下， 优化过程中本文所提方法调用有限元模型的次数相较于传统的有限元方法大幅减少， 优化效率得到了明显的提升； 同时相较于现有的代理模型序列迭代优化方法， 所提方法的优化精度更高且稳定性更好， 优化效率也有一定提高. 除此之外， 本文将所提方法应用于活塞优化设计这一耗时的工程实际问题中， 对该方法在实际应用中的可行性与有效性进行了验证. 优化结果表明：SO-ASM方法的优化结果与直接优化结果相比， 误差仅为 0.16%， 在满足约束条件的前体下实现了活塞减重的目标， 且相较于直接优化， 该方法优化过程所消耗的时间大幅降低， 优化效率显著提高.

5. 2 展 望

为了进一步提升代理模型优化技术的适用性与优化精度等性能， 未来还需对以下几个方面进行深入研究：

1) 本文所提出的SO-ASM方法的有效性是通过单目标优化问题进行验证的. 但是， 现代工程优化设计问题很大一部分是多目标优化问题， 如何利用本文所提出的SO-ASM方法有效解决多目标优化问题是未来需要进一步研究的重点.

2) 本活塞优化实例的主要目的是验证所提方法的可行性与优越性， 因此， 只在热-机耦合基础上对其进行了静态优化， 然而活塞在实际工作状态下的载荷是随时间变化的， 因此， 通过代理模型技术对结构的动态响应优化进行研究有很大的发展空间.