2021年高考全国乙卷理科第21题切点弦方程的解法探究与推广

广东省佛山市华南师范大学附属北滘学校中学部(528300)宋波 陈文钦

一、问题提问

题目(2021年高考全国乙卷理科第21 题)已知抛物线C:x2= 2py(p ＞0)的焦点为F, 且F与圆M:x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求ΔPAB面积的最大值.

本题圆锥曲线压轴题,以抛物线和圆为载体,以抛物线阿基米德三角形为背景,考查解析几何的核心素养用代数方法解决三角形的面积最值问题.此题因涉及的知识点多,综合性强,运算繁杂,难度较大,故思路易有,结果难求.其中第2 问的解法较多,在各种解法中,如何求出经过A,B两点的切点弦直线方程,是解决问题的突破口和关键.若能正确求出切点弦直线方程,就能顺利表示出AB弦长和点P到直线AB的距离,从而轻松构建ΔPAB的面积表达式,将问题转化为复合函数求最值.

二、解法探究

三、引申推广

四、应用拓展

以上在“定”与“变”是相对且可以相互转换的解析几何观点指导下,从求圆锥曲线的切线出发,推出了一组“殊途同归”的“新”结论,对于有关高考的一些较难问题,得到了一些简易的解题方法,从中体会了导数求切线斜率的优势和解析几何的“设而不求”、利用方程(组)思想解决问题的本质和精髓.事实上,上述结论的推导和相关高考试题的简便解答,都引入和应用了极点、极线和阿基米德三角形的有关性质,所以在平时的数学教学中应注重数学文化因素的融入,不仅能够激发学习数学的兴趣,还能从中丰富解题方法,进而提高解题的效率和精度,达到事半功倍的效果.