旋转波片法测量Stokes参量与Jones矩阵

赖煜成，胡新元，吴家毅，白在桥

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

偏振是光的重要特性之一. 精确描述偏振光的状态需要用到Stokes参量，定量刻画一般的无吸收光学元件对偏振状态的改变需要引入Jones矩阵[1,2]. 有很多方法可以测量Stokes参量、Jones矩阵[3-5]以及推广的Müller矩阵[6,7]，其中最简单和经济的是旋转波片法[8-13]. 然而目前大学基础物理实验教学中很少涉及Stokes参量和Jones矩阵的测量和应用. 在数学结构上，Stokes参量和Jones矩阵与二能级量子系统的密度矩阵和演化算符完全相同[14]. 将这方面的知识引入实验，不仅可以加深学生对偏振性质的认识，也为后续量子力学的学习提供了一个实例，有利于学生对抽象数学概念的理解. 本文将以旋转波片法为例讨论偏振态和偏振元件特性的测量问题.

1 实验原理

1.1 Jones矢量和Stokes参量

首先回顾一些基本概念. 一束完全偏振光的偏振状态可以表示为Jones矢量[1]

(1)

其中a1、a2是电场振动平面内两个垂直方向上的振幅，φ1、φ2是它们的初始相位.由于初始相位与时间零点选择有关，只有相位差δ=φ2-φ1才有物理意义.按以下定义引入Stokes参量S=(S0,S1,S2,S3)≡(S0,S)，有

(2)

其中σx、σy、σz为3个Pauli矩阵.根据定义可得

(3)

(4)

而对于非完全偏振光，有

(5)

在考虑偏振光的状态时，通常并不关心其总强度.因此可以设S0=1，对于完全偏振光，S位于单位球面上，此球面称为Poincaré球(在量子力学中称为Bloch球)[1]. 在Poincaré球上，赤道上的点(S3=0)为线偏振光，南北极的点(S3=±1)为圆偏振光，北极是右旋光，南极是左旋光，北半球表示右旋的椭圆偏振光，南半球表示左旋的椭圆偏振光.此外，Poincaré球面上的对径点，即S和-S，对应相互正交的两个Jones矢量.

1.2 Jones矩阵及其物理意义

线性光学元件把将入射光的Jones矢量|ψ〉和出射光的Jones矢量|ψ′〉联系起来，其作用相当于1个2×2复矩阵(Jones矩阵)，有

|ψ′〉=A|ψ〉

(6)

本文只考虑没有吸收(或者吸收与偏振无关)的偏振元件，比如波片、旋光溶液、液晶等.这类元件的Jones矩阵是酉矩阵，即A+A=AA+=I.由于Jones矢量可以相差一个整体相位，还可以进一步要求det(A)=1，即A∈SU(2).SU(2)中矩阵的一般形式为

A=a0I+i(a1σz+a2σx+a3σy)=

(7)

其中a0、a1、a2、a3为4个实数，满足关系：

(8)

以快轴方向为θ的1/4波片为例，此时Jones矩阵可表示为

(9)

这里R[θ]表示旋转矩阵:

(10)

(11)

(12)

容易验证，QTQ=QQT=I，即Q∈SO(3)[15].上式实际上就是旋转矩阵的四元数表示.

Poincaré球上的赤道经旋转后仍为一个大圆，它与赤道至少有两个对径交点.这意味着任意无吸收线性元件都至少把两个偏振方向互相垂直的线偏振光变换成另外两个偏振方向互相垂直的线偏振光.这两个特殊的入射角度被称为该偏振元件的入射主轴.一般的酉矩阵分解成下面的形式:

(13)

其中θ(以及θ+π/2)为入射主轴方向，δ为两个主轴的相位延迟，φ为旋光角，θ+φ为出射主轴方向.将式(13)展开，与式(7)对比系数，可得

(14)

注意主轴方向只能确定到2θ，这是因为θ和θ+π对应的方向是相同的.

1.3 旋转波片法测量Stokes参量

图1 旋转波片法光路图

在图1所示的光路中，待测偏振光依次经过波片和偏振片进入光探测器.设偏振片的透振方向为x轴(θ=0)，波片的相位延迟为δ.波片慢轴从θ=0开始旋转一周，用光探测仪器记录光强I随转角θ的变化曲线.理论上I(θ)可由下式计算:

(15)

将实测I(θ)进行傅里叶展开，有

(16)

对比式(15)和式(16)，可得

(17)

(18)

教学实验中使用的1/4波片往往存在一定的误差[16-19]，因此有必要实测波片的相位延迟.在图1光路中波片前放一块偏振片并将其透振方向调为45°.这样入射光的Stokes参量(S0,S1,S2,S3)=I0(1,0,1,0)，根据式(15)，测得光强曲线为

(19)

拟合实测I(θ)曲线得到cosδ，从而得到相位延迟.用这种方法对实验所用1/4波片进行了3次测量，δ分别为87.94°、87.99°、87.93°、87.91°，而调节起偏器的偏振方向使其重新为45°时，测量得到的结果为87.68°、88.43°、88.16°、88.06°，故认为测量过程中的误差主要来自于调节起偏器角度时的调节误差，故而1/4波片的相位延迟角取测量平均值δ=88.05°.

1.4 拟合Jones矩阵

考虑无吸收线性偏振元件，由式(11)可得

(20)

从而可以得到

(21)

其中

K(S,S′)=

(22)

(23)

最小特征值所对应的特征向量.

实验中使用4个不同偏振方向的线偏振光入射，测得对应出射光的Stokes参量以后，根据上面的方法得到最佳Jones矩阵. 本文还计算了M最小特征值与次小特征值之比，如果这个值非常接近0，就验证了理论模型(即吸收与偏振无关)的合理性. 得到Jones矩阵以后，根据式(14)算出偏振元件的主轴、相位延迟和旋光角等物理参数.

2 装置与方法

实验装置如图2所示，所用器材主要包括氦氖激光器(带布儒斯特窗，波长为632.8 nm)、2个偏振片、2个1/4波片(λ/300波片)、光电传感器(Thorlabs DET36A2)、旋转编码器(12位增量型)、直流电源、面包板、数据采集卡(NI USB-6212)、待测液晶盒以及装有LabVIEW软件的计算机. 在实验前增加了测量实验室杂散光强的操作，在后续实验中减去杂散光的影响. 实验中所有的测量都是出射光强I如何随1/4波片的角度θ改变，因此把1/4波片安装在编码器内，编写LabVIEW程序，连续采集编码器输出脉冲，通过累加/减实时测量1/4波片的角度.同时采集光电传感器的电压输出(正比于光强)，并对相同角度内的光强取平均，就可以得到光强曲线I(θ).然后计算I(θ)的傅里叶系数，根据系数计算Stokes参数，将结果显示在程序前面板.为检验测量数据的准确性，前面板上还画出了实测I(θ)和理论模型(即只考虑0、2、4阶谐波的傅立叶展开)的对比.

图2 实验装置图

测量前需要初始化检偏器和1/4波片的角度.方法如下：先用布儒斯特角的方法将检偏器透振方向调成水平方向，并在后续的实验中保持固定.然后加入起偏器，旋转其角度至消光，此时两块偏振片正交.再在两块正交偏振片之间加上1/4波片，旋转1/4波片至再次消光，此时1/4波片光轴的方向与偏振片方向平行，以此确定1/4波片光轴的角度.需要说明的是：这种方法不能区分1/4波片的快慢轴，后面测量的S3可能会全部相差一个负号.在之后的每次实验中，根据编码器输出脉冲保证1/4波片每次旋转为准确的360°，因此无需重新确定1/4波片光轴的方向.

本实验用的液晶盒来自网购的电焊自动护目镜片.将其前后的反光片和偏振片剥离，就得到两片黏在一起的导电玻璃(中间夹层中有液晶).将液晶盒用双面胶黏在旋转光学支架上，并用导线将前后电极与直流电源相连，就可以用于实验.

3 实验内容

3.1 方法准确性验证

表1 线偏振光和圆偏振光Stokes参量测量结果

然后用起偏器制备9个方向(0°到160°每隔20°)的线偏振光，测量它们分别入射一个1/4波片后的Stokes参量(参见图3). 将(S1,S2,S3)的长度归一化后画成3维点图，结果见图4. 可以看出：1/4波片将原本在赤道面上按角度间距40°排列的10个点变换到一个近似过原点的平面上，而且相邻点的夹角也接近40°. 这直观地表明1/4波片的作用是Poincaré球上的一个刚体转动.

图3 1/4波片的Jones矩阵测量光路

图4 偏振状态在Poincaré球上的表示

根据式(21)、(22)，用10组(S,S′)拟合1/4波片的Jones矩阵，结果为

(24)

拟合矩阵M的最小特征值与次小特征值的比值为

(25)

很接近零，说明测量数据是合理的.进一步计算该Jones矩阵的迹为

Tr(J)=1.417 6

(26)

(27)

以上测量表明，虽然结果存在一定误差，但测量Stokes参量和拟合Jones矩阵的方法是可靠的.

本实验的测量误差主要来自于激光并没有正入射待测量的1/4波片，使得其相位延迟并非完全为90°导致测量误差. 同时，实验中由于手动旋转起偏器导致了起偏器透振方向的相对误差，这也会影响该实验测量的精度.

3.2 测量液晶不同电压下的Jones矩阵

液晶在光偏振态的调制上有重要的应用[20-23]，因此本文探究液晶的性质，用旋转波片法测量液晶的Jones矩阵.用测试液晶盒代替图3中左边的1/4波片.在液晶盒电极两端加不同电压U，在每个电压下，控制起偏器的透振方向分别为0°、30°、45°、60°，用旋转波片法测量光透过液晶盒之后的Stokes参量，并根据4个结果拟合Jones矩阵.在每个电压下，矩阵M的最小本征值与次小本征值的比值均在10-4量级. 图5给出了Jones矩阵元的变化曲线，利用式(14)将Jones矩阵转换成入射主轴方向θ、旋光角φ和相位延迟δ，结果见图6.

图5 液晶盒Jones矩阵元随电压的变化曲线. a0、a1、a3、a2的定义参见公式(7).

可以看到，当电压在0 V到4 V改变时，液晶盒的Jones矩阵随电压的变化集中在[1.5 V,3 V]区间. 电压小于1.5 V或大于3 V时，Jones矩阵基本不变.U=0 V时，旋光角为-56.4°，相位延迟约为64.67°. 取3.4～4.0 V测量结果的平均，得到

(28)

图6 液晶盒入射主轴方向(θ)、旋光角(φ)和相位延迟(δ)与电压的关系. 可以看出(φ+2θ)基本为常量.

4 实验结论

本实验在修正波片相位延迟的基础上，检定了旋转波片法测量各种偏振态以及线性光学元件的Jones矩阵的准确性，并在此基础上测量了液晶Jones矩阵随电压的变化. 实验测量得到修正波片相位延迟后各种偏振态测量的相对误差都小于0.02，测量准确；验证了1/4波片的作用相当于是对Poincaré球上的一个刚体旋转，拟合矩阵M的最小特征值与次小特征值的比值β1=2.800×10-5表明测量数据合理，1/4波片Jones矩阵的迹与理论值的相对误差α=0.24%表明测量准确. 液晶盒的Jones矩阵随电压的变化集中在[1.5 V, 3 V]区间. 电压小于1.5 V或大于3 V时，Jones矩阵基本不变，U=0 V时，旋光角为-56.4 °，相位延迟约为64.67 °. 本实验结合旋转波片法与LabVIEW编程，自动化计算与测量斯托克斯参量，大大简化了实验步骤，可以引入大学物理实验教学中.

致谢:

感谢北京师范大学物理实验教学中心的平澄老师和王爱记老师对本文的帮助.