一维六方准晶中椭圆夹杂与位错的相互作用问题

范淑琦，李联和，2

（1.内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010022；2.内蒙古自治区应用数学中心，内蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

位错与夹杂在力学的研究中极为重要。Deng 和Meguid［1］研究了无限压电材料中位错与椭圆夹杂相互作用引起的电弹性耦合效应问题。Gong 和Meguid［2-3］基于保角映射和级数展开，得到了弹性椭圆夹杂平面问题的一般解。Smith［4］研究了位错与圆形夹杂的干涉问题并推广该理论解决了纵向剪切下位错与椭圆孔的干涉问题。Dundurs 和Mura［5］讨论了位错与圆形夹杂的干涉效应，给出了位错所受力的表达式。Luo 和Chen［6］研究了三相复合材料圆柱中刃型位错问题，并与两相模型的结果进行对比。Jiang 和Liu［7］探究了夹杂与基体对界面层螺旋位错的干涉效应，并得到界面应力函数的显示解。Fang 等［8］研究了位于基体或夹杂中任意点的压电螺型位错与含界面裂纹圆形涂层夹杂的电弹耦合干涉问题。蒋纯志等［9］研究了压电复合材料中位于基体的压电螺旋位错与含共焦椭圆导电刚性椭圆夹杂的电弹相互作用。余敏等［10］研究了无穷远纵向剪切和面内电势共同作用下压电螺型位错与含共焦椭圆孔椭圆夹杂的电弹干涉问题。王旭和王子昆［11］考虑了压电材料反平面应变状态的椭圆夹杂及界面裂纹问题。

准晶是Shechtman 等［12］在1984 年发现的一种新固体，具有独特的物理、力学性能。关于准晶弹性理论的研究获得了很多重要的结论［13-17］。Liu 等［18-19］引入位移函数，简化偏微分方程，解决了二维准晶体的平面弹性问题。Guo 等［20-24］利用复变函数法，构造保角映射，成功解决了一维六方准晶中圆孔带裂纹的反平面问题。Yang 等［25］采用变函数法和保角映射技术，讨论了一维六方压电准晶中带有三个不相等裂纹圆孔的反平面问题。Li 等［26-27］发展了准晶材料二维变形的Stroh 形式。Gao 等［28］用复势法解决了含椭圆孔立方准晶的断裂力学问题。

目前，关于准晶材料夹杂、缺陷相互作用问题的研究较少。Wang 和Yuan［29］引入广义复变量法，研究了含裂纹和反平面刚性线夹杂的一维正交准晶体问题。Gao 和Ricoeur［30］探讨了球型夹杂的三维问题，结果包含刚性夹杂，孔洞和裂纹等极限情况。Wang 和Schiavone［31-32］提出一种简单有效的方法解决含基体和椭圆夹杂的十次准晶问题。Guo 等［33］利用保角映射，分析了一维六方压电准晶含椭圆夹杂的相关问题。Wang和Guo［34］运用保角映射和洛朗展开技术，提出了一种三相共焦椭圆圆柱模型来分析一维六方压电准晶复合材料的微观力学问题。李联和和刘官厅［35］研究了一维六方准晶中螺旋位错和半无限楔形裂纹的相互作用，获得了应力强度因子的解析解。Li 和Liu［36］应用保角映射和扰动技巧，探究了一维六方准晶中位错与椭圆缺口相互作用，获得了应力与位移的解析表达式。

本文讨论了无限大一维六方准晶材料中的椭圆夹杂与位错的相互作用问题，获得了声子场与相位子场界面应力的解析表达式，分析了位错对界面应力的影响。

1 基本方程

设无限大一维六方准晶体的周期平面为xy平面，准周期方向沿坐标轴z轴的方向，根据文献［13］，得到一维六方准晶材料反平面问题的应力与应变关系

几何方程

平衡方程

其中σzi(i=x，y)，εzi和uz分别表示声子场应力，应变和位移；Hzi，ωzi和wz分别表示相位子场应力，应变和位移；C44，K2和R3分别表示声子场弹性常数，相位子场弹性常数和声子场-相位子场耦合弹性常数。

由式（1）-（3）可得

由解析函数的性质及式（4）可得

其中G(z)=[Gu G w]T，Gu，Gw是关于复变量z的解析函数，Re 表示复函数的实部。

由式（1）—（3）和式（5），声子场应力和相位子场应力可以表示为

这里tzx=[σzx Hzx]T，tzy=[σzy Hzy]T，i 是虚数单位，'表示对z求导。

沿任意曲线MN的合力T 可表示为

2 问题的描述与求解

考虑如图1 所示的问题，无限大一维六方准晶材料中有一椭圆形夹杂，其长半轴，短半轴分别为a，b。设夹杂区域为S1，基体区域为S2，位错芯位于点z0，Burgers 矢量为在无穷远处受到反平面剪切力的作用。

图1 含椭圆夹杂和位错的一维六方准晶体Fig.1 One-dimensional hexagonal quasicrystal with elliptic inclusion and dislocation

本文借助保角映射［37］

其中

将z平面上沿两焦点(-c，c)割开的椭圆内部映射到ξ平面的圆环内，圆环内外半径分别为和1，将椭圆外部映射到单位圆外部，如图2。

图2 共形映射平面Fig.2 Conformal mapping plane

由保角映射式（8），式（5）-（7）可以改写为

式中G(ξ)=G [Ω(ξ)]。

假设在界面上，应力与位移连续，则有

其中下标1 表示夹杂区域，下标2 表示基体区域。

将式（9）和式（11）分别代入式（12），可得

考虑z平面沿(-c，c)割开的裂纹面映射到ξ平面的圆周|ξ|=，为满足z平面的连续条件，需要在ξ平面满足

运用Schwarz 对称原理，在ξ平面定义

因此，式（13）-（14）可表示为

由解析延拓原理可知，函数[G1(t)+G2*(t)]和[G2(t)+G1*(t)]，[C1G1(t)-C2G2*(t)] 和[C2G2(t)-C1G1*(t)]，分别越过单位圆周互为解析延拓，除孤立奇点外，它们在圆环域内全纯，如图2 所示，因此将问题转化为ξ平面上分片区域函数的求解。

当无穷远处受反平面剪切力时，复向量函数G2(z)可表示为

变换至ξ平面后，由式（20）有

在椭圆内，G1(z)全纯，不计刚体位移，变换至ξ平面后，复向量函数G1(ξ)可表示为

由（16）式可得

由（17）式可知

根据界面面力连续构成的各区全纯函数的边界值，由式（18）可得

可用柯西型积分表示上述三式

式（28）的积分路径如图3 所示，由（28）式可得

图3 积分路径图Fig.3 Integral path diagram

根据位移连续构成的各区全纯函数的边界值，由式（19）可得

可用柯西型积分表示上述三式

式（34）的积分路径同样如图3，由上式可得

由式（29），（35）和式（30），（36）有

因此，可得到函数

不考虑相位子场时，方程（42）和（43）可以退化为文献［38］相应的结论。

3 界面应力

在界面上，ξ=eiθ，n，s分别表示界面任意点的法线方向与切线方向，界面应力可表示为

将式（42）—（43）代入式（44）得

图4 声子场界面法向应力Fig.4 Interfacial stress in the normaldirection of the phonon field

图5 相位子场界面法向应力Fig.5 Interfacial stress in the normaldirection of the phason field

图6 声子场界面切向应力Fig.6 Interfacial stress in thetangentialdirection of the phonon field

图7 相位子场界面切向应力Fig.7 Interfacial stress in the tangential direction of the phason field

4 结论

本文研究了在无穷远处受反平面剪切力作用下含一椭圆形夹杂和位错的无限大一维六方准晶的弹性问题，给出了声子场和相位子场界面应力的解析表达式。由数值结果可以看出，位错作用点附近，界面应力的值较大，变化较明显，说明界面应力受位错影响大。