轴承-转子非线性动力学及非线性特征的识别分析

都昌兵，舒 毅，邱清俊

（长沙航空职业技术学院，湖南 长沙 410124）

轴承-转子系统是代表一类广泛工程应用背景的复杂机械的关键部分。大量的理论研究和仿真计算表明，轴承-转子系统在某些故障状态（如局部碰摩、轴裂纹、支承松动等）和一定的参数条件下其非线性油（气）膜力会表现出丰富的振动现象[1]。对轴承-转子系统的非线性振动特性，虽然已经在各种各样的背景下展开了广泛的研究，但目前这些研究侧重于理论分析、仿真计算以及混沌通道的考察，试验研究相对较少；研究静态非线性振动现象的较多，研究动态非线性振动的较少；单一故障的研究较多而耦合故障的研究较少。从工程的角度出发，人们更关心的问题是：（1）轴承-转子系统在什么条件下会产生非线性振动？（2）如何根据观测结果识别轴承-转子系统的非线性振动？这些问题的研究对于人们更准确地理解和分析轴承-转子系统中发生的复杂振动现象、掌握非线性振动发生规律、指导轴承-转子系统的设计和使用、抑制其不良振动以及准确诊断碰摩等故障有重要的学术意义和应用价值[2]。

在气膜振荡和碰摩等非线性因素的影响下，轴承-转子系统将会线性失稳，进入非线性的稳定和不稳定工作状态。

1 非线性动力学原理

1.1 非线性动力系统一般方程表达式

一般可用多参数有限维二阶常微分方程组来描述轴承-转子的非线性动力系统，表达式为：

式中时间t≥0，频率ω是实数轴上的一个系统参数（ω∈R），未知量是m维矢量q，是由轴刚度、轴承气（油）膜力等所产生的系统内力矢量，系统的外激励力矢量是。

引入状态变量：

则非线性动力系统在状态空间中的表达式可描述为：

其中：

若F中不显含时间t，

且满足 ，那么式（1.2）可简化为：

那么此时的轴承-转子系统非线性动力系统式（1.3）为自治系统。

若F中显含时间t，且是T周期函数，即满足则（1.3）式简化为：

那么称此时的轴承-转子系统非线性动力系统式（1.4）为非自治系统。

1.2 非线性动力系统平衡点解的Hopf分岔理论

根据分岔时产生的周期解的情况不同，可分为超临界Hopf分岔和亚临界Hopf分岔两种[3]。

（1）若 ，系统由平衡点解 分岔出一个稳态的周期解 ，并且当 ，周期解，则称之为超临界Hopf分岔[4]。

分岔特征：周期解的产生是渐变的，随ω的变化，系统不出现“跳跃迟滞”现象（如图1a）。

（2）若 时，系统由平衡点解 分岔出一个不稳定的周期解 ，并且当 时周期解 ，则称之为亚临界Hopf分岔[4]。

分岔特征：周期解的产生是突变的，随ω的变化，系统出现“跳跃迟滞”现象，这是由于不稳定的周期解外往往还存在一个稳定的周期解（如图1b）。

图1 平衡点解的Hopf分岔

2 非线性特征的识别

在高转速下，当转子振动较大，偏心率较高时容易发生气膜振荡现象。当发生气膜振荡时转子振幅增加，容易产生碰摩等故障[5]。而识别出气膜振荡可以尽早采取控制措施，从而摆脱气膜振荡进而避免碰摩故障的发生。但是气膜振荡由于其突发性使得我们往往不容易预防，在试验中可以通过尝试改变控制方式来退出气膜振荡[6]。本文就一次稳定试验中出现的典型气膜振荡现象进行了识别分析。结合图2，试验总结如下：在0～926 s之间是转子的升速阶段，其中300 s之前转子升速较快，300 s之后转子升速很慢。当转子转速达到42000 rpm时，再提高动力涡轮流量，转速反而下降，振幅增大，随后发生了碰摩。

图2 转速随时间变化曲线和转子尾端水平振动振幅随时间变化曲线

2.1 时域波形分析

观察650 s附近的时域波形图可以看出，在647 s时时域波形还是稳定的，如图3，但在1 s之后波形开始发生变化，到649 s时波形特征如图4。观察从650 s到926 s碰摩前的时域波形，由于气膜振荡一直存在，波形图特征都与图5相似。

图3 气膜振荡未发生时的时域波形

图4 气膜振荡开始发生时的时域波形

图5 气膜振荡发生时的时域波形

2.2 傅立叶分析

图3、图4和图5的时域波形图对应的频谱图为图6、图7和图8。从图6、图7和图8中可以看出半速涡动频率的振幅增长变化，根据图6、图7和图8提供的时域信息，半速涡动频率的振幅增长迅速，很快振幅就和工频相当。观察从650 s到926 s碰摩前的频谱图，由于气膜振荡一直存在，频谱图特征都与图8相似。

图6 气膜振荡未发生时的FFT图（647.670～647.730 s）

图7 气膜振荡开始发生时的FFT图(649.770～649.830 s)

图8 气膜振荡发生时的FFT图(650.350～650.400 s)

2.3 轴心轨迹分析

图9、图10、图11、图12是系统进入气膜振荡时轴心轨迹的变化。图9反映的是在进入气膜振荡之前，转子轴心轨迹是以稳定的周期1状态运行。在649 s时,轴心轨迹呈现拟周期的运动状态。要进入拟周期，按照非线性动力学的理论，这时一定会有分岔现象，也就是轴心轨迹一定会有周期2的出现，之后才会进入拟周期，但是由于转速过高而没有看见周期2，当在926 s发生碰摩后，转速下降到37000 rpm附近，从轴心轨迹图中能看见周期2（图13）。周期2的出现表明运动中出现了另一个非同频振动频率，该扰动频率为轴承的涡动频率。该频率扰动导致系统偏离平衡点周期1，系统出现线性失稳的现象。线性失稳发生后，系统会重新进入新的非线性平衡点，有可能是新的极限环，也有可能进入混沌或者拟周期状态。图10和图11反映的就是系统走向新的平衡点时经过的拟周期状态，图12可以认为是系统进入最终的平衡点多周期或混沌状态的轴心轨迹。观察从650 s到926 s碰摩前的轴心轨迹，由于气膜振荡一直存在，轴心轨迹特征都与图12相似。

图9 气膜振荡前的稳定轴心轨迹（转速40124 rpm,时间647 s附近）

图10 气膜振荡初期的轴心轨迹（转速40214 rpm,时间649 s附近）

图11 气膜振荡加剧的轴心轨迹 （转速40254 rpm,时间650 s附近）

图12 气膜振荡严重时的轴心轨迹（转速40523 rpm,时间650 s附近）

图13 碰摩时的轴心轨迹（转速37153 rpm,时间926 s附近）

从能量的观点看，轴心轨迹包围的面积越大，气膜所具有的能量也就越大，转子的轴心轨迹从图9、图10、图11，到图12的变化可以看出，发生气膜振荡时轴心轨迹包围的面积越来越大，气膜也具有越来越大的能量值，当然不是无止境地增长。在不改变外界能量输入时，作为一种系统的自激振荡行为，气膜振荡具有自激振荡的一切特征，因为自激振荡是一种非线性的稳态周期运动，所以气膜振荡也会是一种非线性的稳态周期运动，必然是有界的，也就是轴心轨迹包围面积不会无限增长。试验中，轴心轨迹增长到图12的状态就稳定下来了，之后系统可以一直在气膜振荡下稳定运行。由于在926 s碰摩之前开大了动力涡轮，增加了系统输入能量才发生了碰摩故障，轴心轨迹如图13。

3 结论

通过对轴承-转子非线性动力系统的数学建模以及试验分析，分析了碰摩的动态过程，识别出由于气膜失稳导致的碰摩故障，得到碰摩故障的非线性路径。转子系统在进入拟周期或混沌状态时，振动的振幅不会无止境地增长，而是有界的，只要不改变系统的输入能量，转子系统可以在发生气膜振荡的情况下继续稳定运行，只是转速不再上升，而是围绕一定的转速振荡。

对轴承-转子非线性动力系统的数学建模并求解可以用来讨论系统的非线性路径。但是在实际中，由于流体润滑的非线性偏微分方程——雷诺方程，难以取得精确的解析解，使得轴承系统支承力的求解还不够完善，这样即使建模讨论，也与实际问题有很大的差距[7]。因此，通过实验分析轴承-转子系统的非线性动力学行为非常重要。然而，本文提出的非线性分析方法只能给出定性结果，定量结论还待进一步研究。