从中考题探索初高中数学知识的衔接

摘 要：近年来，随着高考改革的逐步深入，广东省高考逐步采用了全国卷，广东省的中考也采用了广东省组织统一出卷考试方式.在的考试背景下，本文通过研究中考题，站在初中教学的观点来思考初高中的衔接问题.主要关注在中考改革的背景下，初中教师在教学中有哪些内容可以拓展，可以更长远地培养学生的数学思维，让学生顺利地适应高中数学的学习.因此，作为初中教师，笔者认为需要多研究初高中衔接问题，既在初中的层面研究中考题，也要在更高维度深入剖析中考题，深入思考初高中知识的联系与衔接.

关键词：中考;初高中衔接;数学教学

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）05-0014-03

收稿日期：2021-11-15

作者简介：陈晓岚（1993.1-），女，广东省佛山人，本科，中学二级教师，从事初中数学教学研究.

1 引言

2021年广东省数学中考试题公布之后，引起了教研人员、一线教师及数学爱好者的热议.2021年中考与高中衔接的内容非常多，笔者认为，中考数学试题撇去偏、难、题量大等问题，更重要的是给我们一个明确的方向——中考将与高中有更緊密的衔接.本文选取2021年广东省中考题第9题、第10题、第23题，从解题思路、与高中数学知识的联系及教学启示等方面来进行剖析.

2 典例分析

例1 （2021年广东省卷第9题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=pp-ap-bp-c.这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式.若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为（  ）.

A.5  B.4  C.25  D.5

2.1 试题分析

经过简单化简可求出a+b=6，S=5ab-5，即要通过a+b=6求S的最大值.利用初中阶段的重要数学思想 “消元”，即可以把b=6-a代入S=5ab-5，得S=5a6-a-5，通过配方法得到S=5·-a-32+4，所以当a=3时，S的最大值为25，答案选C.

本题考查的是利用消元思想和二次函数知识求最值，但是因为考查的形式比较新颖，是以“海伦公式”为切入点，先入为主地给学生心理压力，学生会因为不认熟悉这个公式而慌神，导致一下子没有思路.再者，这道题难在没有直接给出二次函数，需要学生代入消元才在根式中出现二次函数，所以消元与根式也给学生造成了解题阻碍.2.2 与高中数学知识的联系

本题从a+b=6，S=5ab-5，再次分析，可以看出关键在于通过a+b的值求出ab的最大值，那么最直接考查的知识应该是高中的基本不等式a+b2≥ab，而且a>0，b>0，当a=b时，取得最值.从而得到当a=b=3时，ab=9，此时S=5·9-5=25.

例2 （2021年广东省卷第10题） 设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（  ）.

A.12  B.22  C.32  D.1

2.3 试题分析

以下两种解法是初中阶段的解答方法，都是在函数背景中，利用相似三角形和隐圆的知识找到满足条件的点C位置，从而解决本题.根据初中知识本题考查学生的作图能力、数形结合思想，函数和几何的综合运用能力.

解法1 如图1，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE=a，OF=b，由抛物线解析式为y=x2，则AE=a2，BF=b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），因为DG∥BH，所以△ADG∽△ABH，于是DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b.化简得：m=ab.

有因为∠AOB=90°，所以∠AOE+∠BOF=90°，又∠AOE+∠EAO=90°，所以∠BOF=∠EAO，又∠AEO=∠BFO=90°，所以△AEO∽△OFB.所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，化简得ab=1.则m=ab=1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）.又∠DCO=90°，DO=1，所以点C是在以DO为直径的圆上运动，所以当点C到y轴距离等于此圆半径12时，点C到y轴距离的最大.

解法2 如图2，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，又因为AO⊥BO，所以△AOE∽△OBF.

设A（a，a2），B（b，b2），

所以OEBF=AEOF，即-ab2=a2b，化简得ab=-1.

所以B（-1a，1a2）

设AB：y=kx+m，把A、B代入得m=1.所以直线AB必过点D（0，1），OD=1，于是点C是在以DO为直径的圆上运动，所以当点C到y轴距离等于此圆半径12时，点C到y轴距离的最大.如果跳出初中知识的限制，这道题还有两种解法，分别涉及基本不等式和对勾函数.而且这两种方法会更加直接，不需要结合图形，用纯代数的方法即可解出.

解法3 由解法1和解法2，均可以得到AB：

y=kx+1①

则OC：y=-1kx②

联立①②，解得x=-1k+1k=1-k-1k.

由基本不等式的变形ba+ab≥2（a>0，b>0）可知，

当k>0时，k+1k≥2，x≥-12;

当k<0时，-k+-1k≥2，x≤12;

当k=0时，x=0.

综上所述，点C到y轴距离最大为12.

解法4 由解法1和解法2，均可以得到

AB：y=kx+1①

则OC：y=-1kx②

联立①②，解得x=-1k+1k=1-k-1k

如图3，由对勾函数y=k+1k可知：k>0，当k=1时，k+1k的值最小，最小值为2，此时x=-12;k<0，当k=-1时，k+1k的值最大，最大值为-2，此时x=12.综上所述，点C到y轴距离最大为12.

2.4 与高中数学知识联衔接分析

基本不等式的解法（解法三）是高中数学研究函数最值时常用的方法之一.笔者认为解答此题时利用解法三思路清晰，不过要涉及基本不等式和分类讨论，对于初中生的要求较高，初中阶段还没有接触基本不等式.另外，本解法涉及的分类讨论，虽然在初中学生已经有接触和体验，但是学生对分类讨论的掌握仍然有困难.更多的初中生未必会选择这样的解法来求解.相反地，在高中阶段更多地使用这种接法.因此，从解法三中我们感受到初高中在思维层面衔接上还有一些差距.

对勾函数的解法（解法四）是基于解法三的分析再结合图像求解的，只不过是分类讨论，解法直接利用对勾函数y=k+1k的图象取得最值.根据图像能很清晰地得到答案，相对于解法一、解法二要简洁很多，不过利用对勾函数来解决问题是学生的盲区.如果能在教学中引导学生通过图像来找最值，分析问题，并给学生充足的时间来思考，发展学生的数形结合能力，提高学生的数学素养.

例3 （2021年广东省卷23）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长.

2.5 试题分析

解法一 如图5，延长BF交CD于H，连接EH.

易得AC=AD2+CD2=12+12=2，由翻折的性质和正方形的性质，可证Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），然后证出△EDH∽△BAE，所以EDAB=DHEA=12，因为CH∥AB，所以CGGA=CHAB=34，所以CG=37AC=327.

本題解法一主要考查初中阶段翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出DH，CH，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

解法二 由勾股定理和三角函数易得，

sin∠EBA=55，cos∠EBA=255，根据二倍角公式，得sin∠ABF=2sin∠EBA·sin∠EBA=45.

设BG=5x，BH=3x，GH=4x

由△AGH∽△ACB，得GHCB=AHAB，求得x=17

通过勾股定理求出CG=3272.6 与高中数学知识衔接分析

根据上述的题目分析，明显可以看出，解法二比解法一所作的辅助线少、思维更加直接、所需的知识点少、证明过程简洁等诸多好处，但是二倍角公式是高中数学三角函数的知识，初中只是接触了简单的锐角三角函数及简单的诱导公式如cosα=sin90°-α，而且对于这个公式的使用也不多，仅仅处于了解的程度.所以，学生进入高中之后，一下子接触众多的二倍角公式、半角公式等，会明显感到吃力.这也体现了初中和高中阶段之间的知识层次及学习能力方面的的差距.

参考文献：

[1] 2021年广东省中考数学试卷.

[2] 张炜.浅谈新课程标准下初高中数学教学的衔接[J].数学教学通讯，2020（30）：23-24.

[责任编辑：李 璟]