构造全等妙解纷呈 相似变换锦上添花

罗静　何贻勇

[摘  要] 在重庆中考试题中，几何证明综合题主要考查了在基本几何图形变换（平移、旋转、轴对称）背景下，构造全等证明线段、角的数量关系. 学生通常需要在熟悉基本几何图形及辅助线添加的基础上，将几何综合题目条件分解为基本几何模型、基本几何问题的条件，将之转化为若干个基本几何图形或者可与基本图形、方法、模型类比的简单问题，从而使问题得到解决. 初中几何证明主要利用全等解决问题，而全等是特殊的相似，其相似比为1∶1，即大部分全等的几何综合问题可以结合几何问题背景，借助相似模型解决.

[关键词] 全等;相似;构造;模型

新课标要求教师在教学中鼓励学生自主探索，引导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理和交流等教学活动，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略.学生通过自主观察几何图形，探索相似（全等）的判定条件，让思维在解题课堂教学中得到发展，能更好地體现出模型思维的优越性.下面笔者结合一道中考中典型的几何证明问题的探究，与同仁交流分享.

问题分析

本题图形是由两个等边三角形共顶点旋转所得图形，图形的特征为“共顶点、等顶角、双等腰、异手连”，即为含有共点等角定比手拉手模型，涉及中点、全等、相似的考查，当然由于图形的特殊性，也可以看成是共点补角定比头顶头模型或者共点补角定比脚蹬脚模型.不同学情的学生对问题的理解不同、分析不同、思路不同、很容易造成“解法众多”而“众法难寻”的局面. 通常来看，学生思路多样，但理不清解题思路痕迹，找不到最优解题方法，很容易导致解题过程中大费周折，解题效率不高，没有好的解题准确度和速度.为了整体提升学生思维发展的深度和广度，明确思维发展方向，笔者对这道题的解法进行了梳理与对照研究.

解法探究

1. 构造全等，绣妙解之“锦”

视角1：直接构造中位线——全等变换

通过以上两种视角，从题干里的“中点”这个“题眼”作为切入点找到突破口，给出了相对应的两种方法和思路，即利用中点发现“中位线”促进全等三角形的构造，产生了一个等边△GMF，解决了线段间的数量和位置关系问题.本题中的图形是中点模型、相似模型、旋转全等模型等的重叠，每一个条件的关联都是联想点，也都是联想思维的触角，比如：分别取AC，AB的中点，连线构造“斜中半”+中位线+等角;分别取AC，AB，AD的中点，再连线构造脚蹬脚模型;分别取AB，AE的中点，利用倍长中线法构造脚蹬脚模型;利用一线三直角法构造脚蹬脚模型;构造脚蹬脚和手拉手组合模型等. 由于每个条件的几何位置的对称性，导致了在方法和思维上都存在思考痕迹的对称性，而其数学本质都是构造全等三角形.

2. 相似变换，添锦上之“花”

视角3：线段倍分关系——相似变换

解：如图4，取AD中点H，连接FH，GH.

视角3中相似变换的构造也可以与中位线、斜中半、倍长中线等组合起来，共同发挥作用，也就是利用几何图形的整体图形观构造相似，共同概括中间的烦琐推理证明，其本质就是利用相似直接证明结论，其解题效率可谓是锦上添花. 几何综合证明题有两大特点，一是难，即几何图形较复杂，综合性强;二是多，即考查知识点较多，且方法多. 常用方法有两个，一是从不同角度寻找已知与结论之间的关联，分析问题的解决思路，比如：已知中点或结论中线段的倍数关系，找中点的相关知识点;二是从模型角度解决问题，根据背景图形的特点寻找与之匹配的基本几何模型，本题中常见的模型有手拉手模型、脚蹬脚模型等.

问题变式

1. 减弱条件，考虑一个等腰三角形的情形

将其中一个等边三角形减弱成一个等腰三角形，使得几何图形一般化，但是结论仍然成立. 解决这样的探究问题，只需要根据特殊图形的研究痕迹继续再研究即可，这里的痕迹即寻找思路的套路、添加辅助线的思考过程、书面表达所用的数学符号语言、所有方法的对照选择等都几乎一样.

如图5，△ABC是等边三角形，△BDE是顶角为120°的等腰三角形，BD=DE，连接CD，AE. 若点F是AE的中点，连接CF，DF，求证：CD=2DF.

解：如图6，取BE中点H，连接DH，FH.

因为FH是△ABE的中位线，即FH∥AB，且FH=AB，所以FH=BC. 又因为BD=DE，所以DH⊥BE.

在Rt△BDE中，∠DBE=30°，即DH=BD.

又∠DHF=90°+∠BHF=90°+180°-∠ABE=270°-∠ABE，

∠CBD=360°-90°-∠ABE=270°-∠ABE，即△DHF∽△DBC，故DF=CD.

2. 类比条件，考虑两个等腰直角三角形的情形

将两个等边三角形变为两个等腰直角三角形，结论仍然成立.

如图7，在△ABC和△ADE中，∠AED=∠BAC=90°，AB=AC，AE=DE，当A，C，D不在同一直线上时，连接CD，BD，F为CD的中点，连接EF，求证：EF=BD.

探究同类型问题时，也只需要根据特殊图形的研究痕迹继续再研究即可，这里的痕迹即寻找思路的套路、添加辅助线的思考过程、书面表达所用的数学符号语言、所有方法的对照选择等也都还是几乎一样. 比如：如图8所示，利用中点条件倍长中线，构造手拉手模型，取BC中点M，连接MF，倍长MF至点N，连接DN，AM，EM，EN.易证△MCF≌△NDF（SAS），有CM=DN，在Rt△ABC中，由“斜中半定理”得AM=CM，所以AM=DN. 易证明MF=BD=MN，四边形BMND为平行四边形. 如图9，延长BC交DE于点Q，延长ND，由∠AMQ=∠AEQ=90°得∠EAM+∠EQM=180°，且∠EQM+∠BQD=180°，所以∠EAM=∠BQD. 又因为∠EDN=∠BQD，所以∠EDN=∠EAM，即△EAM≌△EDN（SAS）. 所以∠AEM=∠DEN，△MEN为等腰直角三角形. 所以EF=MN，MF=EF=BD. 当然，也可以利用中点构造中位线. 如图10，构造手拉手中位线，倍长DE至点K，连接CK，AK，即EF为△CDK的中位线，有EF=CK. 由AE=KE=DE得△ADK为直角三角形，∠ADK=45°，故△ADK为等腰直角三角形. 所以∠KAC=∠DAB，AD=AK，易判断△AKC≌△ADB（SAS），于是有CK=BD，即EF=BD. 综上阐述了各种方法，下面利用结论=构造相似的方法更加直接、简捷.

解：如图11，由“三线合一”+“斜中半定理”可知，取AD的中点H，连接EH，HF，即HF为△ACD的中位线，HF=AC，而在Rt△ADE中，由“斜中半定理”得HE=AD. 又∠BAD=∠EHF=90°+∠CAD，△EHF∽△DAB，故EF=BD.

解题反思

全等和相似是平面几何中研究几何形的两种重要方法，全等形是相似比为1∶1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广. 因而学习相似形要随时与全等形做比较，明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的相关定理为基础的. 通过对以上构造全等及相似变换进行对比发现：相似变换辅助线更简单;相似变换过程更简捷;相似变换思路更清晰;利用四点共圆寻找相似条件能提高解题的速度，再举一个例子来说明.

如图12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB外一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE. BC与DE交于点F，且AB⊥BD. 若点H，G分别为线段CF，AE的中点，连接HG，求证：HG=BF. 如图13所示，取AC中点M，连接GM，MH，AF，易证△EAC≌△DAB（SAS），接下来依次证F，D，B，A和E，C，F，A四点共圆，易证△GMH∽△BDF，即 HG=BF.

解幾何证明题的一般思路方法有：一是从“已知”和“基本事实”入手，由因索果，通过推理论证得出结论;二是从“结论”入手，执果求因，通过分析，不断地寻求结论成立的条件，一直追溯到题目中的“已知”和“基本事实”;三是从“已知”“基本事实”“结论”入手，通过分析寻找它们之间逻辑关系的“桥”，使整个逻辑思维清晰地流淌在思考过程中. 在平时解题教学中，教师应从条件、结论的加强和减弱来变式教学，让学生进入深度学习的状态，进而研究透一类题. 构造全等和相似变换时，添加辅助线为相似创造条件时，要教清楚“为什么添加辅助线”“怎样添加辅助线”这两个问题. 相似所得到等角、等边以及线段的比例关系往往可以继续运用到边角数量关系的证明中，从而为证明下一次的相似或进行相关的计算服务. 通常作平行线、垂线、中线、延长线、构造圆等来寻找相似条件.

在解题教学备课中，教师要善于拆分由基本几何图形组合而成的综合图，即分解题目的解题模块，再从解题模块中寻找几何构成元素之间丰富的数量关系和位置关系. 在平时的课堂教学中，教师应明确“相似三角形的条件特征观察，多样的思路证法选择”是教学中的难点，应注重平行定理（母定理）、母子型相似、一线三等角型相似、四点共圆型相似等模型的归纳学习，还应着力培养学生发现或构造基本几何图形并运用它解决问题的能力.