以两次抽象实现算理理解

刘红阳

北师大版数学教材将“20以内进位加法”安排在一年级上册第七单元。这部分内容在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习20以内退位减法和多位数计算的基础，可以称之为计算教学的“种子课”。笔者结合《有几瓶牛奶（9加几）》的教学实践，谈谈如何遵循数学抽象的层次，引领学生实现“9加几”算理与算法的统一。

一、分析教材情境，明确算理指向

本节课教材呈现了“9加几”的情境图：有两个盒子，每个盒子都有10个小格子，左边盒子里有9瓶牛奶（空了1格），右边盒子里有5瓶牛奶（空了5格），问题是“一共有几瓶牛奶？”。学生能理解问题情境，并列出算式“9+5”。如何得到结果？此前，学生学习了10以内的加减法以及20以内不进位加法和不退位减法，有能力计算“9+1=10”“10+4=14”这样的题目。基于此，笔者构想的教学思路是，引导学生对算式“9+5”做拆分或转换，将其转化为学生有能力计算的题目。

教材为我们提供了办法。从情境图看，部分学生发现了左边的10个格子装了9瓶牛奶，如果把空的那1格补上，就刚好装满一盒，也就是10瓶。如何补呢？根据生活经验，从右边盒子里的5瓶中拿出1瓶，补到左边的盒子里，凑成10瓶，再加上右边的4瓶，就得到一共14瓶。教材意图是引导学生结合生活经验初步感知算理。

二、结合认知基础，确立教学重点

学习“9加几”这部分内容重在掌握“凑十”的算理。“凑十”是基于十进制计数法而来的一种原理和思维。如果教师只是单纯教学生计算方法，学生不能建立“凑十”模型，就会导致这样的现象：①计算“9+5”时，不管9需要添几，就随便拆另一个加数，如把5拆成3和2，得出错误结果12或13;②不能迁移，遇到“8加几”“7加几”等，依旧给8或7添1。因此，这节课最重要的教学目标是让学生形成“凑十”思维，而后再掌握“凑十法”。而“凑十”思维及其具体方法对小学生来说有一定难度，教师要根据学生现有水平，为学生搭建学习支架。

三、利用两次抽象，助力“理”“法”融通

如何搭建学习支架，帮助学生在“直观—半符号化—符号化”的两次抽象过程中理解算理、归纳算法，实现算理与算法的融通，进而感悟“凑整”思想呢？

1.在看、摆、拨、圈中根植算理

看教材提供的情境图是学生把握算理的第一步，但这一步，可能只有部分学生能感知到，因为不同的学生存在不同的生活经验，即使有类似的生活经验，也不一定能一下子捕捉到。教师应该有意识地引导学生“看”到缺的那一格，为“凑十”做铺垫：“小朋友们，先看看左边盒子里有几瓶牛奶？”此时学生可能通过数一数说出“9瓶”。“原来是9瓶，如果没有空1格，就刚好是一整盒，也就是10瓶。”在教师别具用心的引导下，学生马上想到“从右边盒子里拿出1瓶牛奶，补过来就可以了”。这样引导，学生都能关注到空的那1格，进而想到从5瓶中拿出1瓶去凑整。这一步是“凑十”的雏形，可以结合学生生活经验，通过操作实物完成。

第二步是摆。教师让学生拿出小棒，用小棒代替牛奶摆一摆，并借助小棒完成“9+5”的计算。这里可能产生几种情况：①学生通过从9往后一一点数的方式得到结果“14”;②有了前面“补空”的经验，一些学生会想到从5根小棒中拿出1根，与9根凑成1捆，1捆加剩下的4根，就是14根;③可能存在少数学生从9根中拿出5根，去跟右边的5根凑成1捆，1捆加剩下的4根，也可得到14根。对于这三种情况，教师都要给予肯定，而对第②③两种方法要给予强化，帮助学生建立“凑十”模型。

第三步是拨。完成了前面两步后，绝大多数学生脑中都有了初步的“凑十”模型。此时教师应拿出计数器，帮助学生将“凑十”模型清晰化。在计数器个位拨了9颗珠子后，要继续加5，直接拨是完成不了的，教材把加的5颗珠子用白色显示，学生也难以看懂。怎么办呢？由于有了前面两步对“凑十”的初步渗透，教师再有意识地提醒：“个位上的珠子不够拨，能不能从十位上想想办法呢？”学生马上就能领会教师的意思，边操作边解释：先把个位上最后1颗珠子拨上去，就满了10，满了10就要换到十位上去，用十位上的1颗珠子代替個位上的10颗珠子，再将剩下的4颗珠子拨到个位就成功了。如果说前面的“看”与“摆”两步，学生还有选择其他方式得到结果的余地，那么拨计数器这一步，学生一般只能先凑满“十”，因而这是将“凑十”模型牢固化、清晰化的一步。

最后一步是圈。教师通过设计练习，在半符号化的图形不能移动的情况下，引导学生用铅笔“圈一圈”，巩固“凑十”的思维模型，完成从实物向半符号化过渡的抽象过程。

2.从“凑十”到“凑十法”，实现“理”“法”融合

教材并没有在“9加几”这一节的内容中直接呈现“凑十法”，而是更注重引导学生建立“凑十”的思维模型。学生经历看、摆、拨、圈之后，脑中已经建构起初步的算理，也就是说，在借助学具的情况下，看到“9加几”，他们能有意识的先给9“凑十”，再计算“10加几”。到了这一步，即使教师还未引出“凑十法”，实际上学生已经有了“凑十”的思维。此时，教师出示算式“9+6”，先让学生根据自己喜欢的方式得到结果，将脑中“凑十”的算理进行输出，再利用摆小棒或拨计数器的过程，引导学生将物与数对应起来，实现算理向算法的过渡，就会事半功倍。如利用摆小棒的方式来说明：把6分成1和5，“1”表示从6根中移出的与9根凑成10的那1根，“5”表示“凑十”后剩下的5根，因此9+6=15。这样教学，能帮助学生基本实现算理与算法的融合，完成从半符号化向符号化过渡的抽象过程。

3.迁移运用“凑十法”，感悟“凑整”思想

撤去小棒、计数器等直观学具后，学生还能计算“9加几”吗？我们最终要达到的目标是学生可以脱离实物，利用数的分解、组成完成“凑十”过程，快速得到正确结果。为此，教师给出算式“9+4”，要求学生尽量不使用学具来计算。有了前面的层层铺垫，学生看到9时很快想到把4分成1和3，拿1跟9“凑十”，10加3的结果就是13。此时算理已经渗透到算法中，但这还不够，学生若能将9的“凑十”方法迁移，准确计算“8加几”“7加几”“6加几”，才算真正掌握了“凑十法”。基于此，教师向学生出示“8+7=”“7+6=”等算式，引导学生尝试计算，说明算理并归纳算法。至此，学生掌握了“凑十法”的计算方法，初步感悟了“凑整”思想。

从大单元整体教学视角看，“9加几”这节课不但要教会学生计算“9加几”，更重要的是引导学生形成“凑十”思维，建构“凑十”模型，为以后学习20以内退位减法及多位数加法奠定基础。从算理与算法的关系来讲，计算教学要有理有法，算理是对算法的解释，是学生理解算法的前提，而算法是对算理的总结与提炼，它们是相互联系、有机统一的整体。基于此，小学阶段的计算教学，特别是针对低年级段学生，教师应重视算理教学，帮助学生从算理理解自然过渡到算法掌握。

（作者单位：宜昌市长阳土家族自治县都镇湾镇庄溪小学）

责任编辑  刘佳