求数列和的三个技巧

陆钰

在解答数列问题时，经常会遇到求数列的前 n 项和问题，此类问题常以解答题的形式出现，难度系数较大.下面结合实例来探讨一下求数列和的三个技巧，以帮助同学们破解此类难题.

一、分组求和

分组求和是指将数列中的各项合理拆分为易于求和的几组，然后分组求和，最后综合所得的结果.在运用分组求和的技巧解题时，要先仔细观察数列的通项公式或数列中的各项，寻找其中的规律，将通项公式相同的等差、等比、常数列分别放在一起，然后根据等差、等比数列的前 n 项和公式分组进行求和.

例 1.已知数列：1 + 1 ，1a + 4 ，a12 + 7，…，1an - 1 + 3n - 2 ，试求该数列的和.

解：

仔细观察数列中的各项，可发现该数列中的每一项都由等差数列 {3n - 2} 和等比数列 { } an1- 1 构成，于是将数列拆分为两组：一组为等差数列，一组为等比数列，然后根据等差、等比数列的前 n 项和公式求和本题中 a 的值不确定，要运用等比数列的前 n 项和公. 式，需分 a = 1和 a ≠ 1两种情况进行讨论.

二、裂项相消

若数列的通项公式或各项为分式，可通过裂项相消来求得数列的和.首先将各项裂为两项之差的形式，并使数列的前后项能够相互抵消，如 1 n（n + k）=1k ⋅æèöø 1n - 1 n + k 、 n +1 n + 1 = n + 1 - n ，再将各项相加，那么中间的部分项便会抵消，化简所得的结果即可求得数列的和.

例2.设数列 { } an 的前 n 项和 Sn = -3n2 ，{ } bn 为单调递增的等比数列，b1b2b3 = 512 ，a1 + b1 = a3 + b3 .（1）求数列{ } an ，{ } bn 的通项公式;（2）若cn = bn （ ） bn - 2 （bn - 1） ，求數列{ } cn的前 n 项和 Tn .

解：（1）略;（2）由（1）可得：cn = 2n + 1 （2n + 1 - 2）（ ） 2n + 1 - 1 = 2n （ ） 2n - 1 （ ） 2n + 1 - 1 = 1 （ ） 2n - 1 - 1 （ ） 2n + 1 - 1 ，则 Tn = c1 +…+ cn = æèçöø÷ 211- 1 - 221- 1 + æèçöø÷ 221- 1 - 231- 1 +…+ æèçöø÷ 2n1- 1 - 2n +11 - 1 = 1 21 - 1 - 2n +11 - 1 = 1 - 1 2n + 1 - 1 .

经观察可发现 { } cn的通项公式的分母 （ ） 2n - 1 ⋅ （ ） 2n + 1 - 1 为两项乘积，于是将其裂项： 2n （2n - 1）（ ） 2n + 1 - 1 = （ 1 ） 2n - 1 - （ 1 ） 2n + 1 - 1 ，直接采用裂项相消法求和.将各项相加，那么中间的前后项便会抵消，剩下的项之和即为所求的前 n 项和.

三、错位相减

若一个数列中的各项由一个等差数列和一个等比数列的对应项的乘积构成，则可采用错位相减法来求和.将数列的前 n 项和左右同乘以等比数列的公比q ，得到qSn，再将两式错开一位，使 q 的次数相同的项相减，通过运算求得 Sn 的表达式，即可求得数列的前 n 项和.

例 3. 若 x ≠ 1 ，求 Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+（2n -1）xn - 1 .

解：Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+ （2n - 1）xn - 1 ①，xSn = 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 +…+ （2n - 1）xn②，将① - ②可得：（1 - x）Sn = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 +…+ 2xn - 1 - （ ） 2n - 1 xn，化简可得 Sn = 2（ ） 1 - xn - 1 （ ） 1 - x 2 + 1 - （ ） 2n - 1 xn 1 - x .

该数列的通项公式为 （ ） 2n - 1 xn - 1 ，是由等差数列与等比数列 { } xn - 1 的乘积构成，可采用错位相减法来求和.在数列的和式左右同时乘以公比，再将其与数列的和式错位相减，即可求得数列的和.

在求数列的前 n 项和时，要学会将数列的通公式或和式进行适当的变形，可将数列中的各项分为几组，也可将数列的通项裂为两项之差，还可将数列的和式左右同乘以等比数列的公比，这样便能采用分组求和、裂项相消、错位相减的技巧顺利求得数列的和.

（作者单位：江苏省兴化市第一中学）