谈谈两类三角函数问题的解法

卢琳

三角函数是高中数学中的重要内容，其命题形式多样，常见的有根据条件求三角函数的值、求最值、求角的大小、解答与图象有关的问题、化简三角函数式等.本文重点探讨下列两类三角函数问题及其解法.

一、根据条件求三角函数的值

根据条件求三角函数的值一般有两种类型：①给值求值;②给角求值.在求三角函数的值时，要先明确已知条件，将其与所求目标关联起来，辨析其差别，如角、函数名称、幂之间的差异，灵活运用三角函数中的基本公式，如诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式、辅助角公式等，使问题中的角、函数名称、幂逐步向目标式靠拢.同时，要尽量将题目中所涉及的角与特殊角30°、45°、60°、90° 等关联起来，以便运用这些特殊角的三角函数值求得问题的答案.

例1 .已知 sin α+ sinβ=  ，cos α+ cosβ= ，试求 cos（α-β） ， tan（α+β）的值.

解析：首先看角，目標式中的角为α-β、α+β，则需用到和差化积公式;再看函数名称，目标式中含有正切函数式，但已知关系式中却含有正弦函数式、余弦函数式，因此需要运用 sin2θ+ cos2θ= 1、tan θ=  sin θ

解：∵ sin α+ sinβ= ①， cos α+ cosβ= ②，∴①2+ ②2得1+ 2cos α cosβ+ sin α sinβ+1 =  ，∴ cos（α-β）=- ，

∴2 sin2α+β cosα-β= 1③，

2 cos 2α+β cosα-β= 1④，

∵ cos α-β≠0 ，

∴将③÷ ④得tanα+β= 3

α+β

∴ tanα+β=  =  .

二、求最值

三角函数中的最值问题一般要求根据所给的关系式，求某个三角函数式在定义域内的最值，或求某个角的最大、最小值.解答三角函数最值问题，往往要先根据已知条件，选择合适的公式进行三角恒等变换，将目标式化简为某一个角的三角函数式或者关于某个三角函数的二次函数式，这样便可直接根据三角函数的有界性、单调性以及二次函数的单调性求得最值.

例2 .求函数 f x= cos2x + sinxcosx +1 的最大值.

解：

由于 x ∈ R，所以当2x+ =2kπ+ ，即 x =kπ+ （k ∈ Z）时，f xmax =  .

目标式中含有二次幂、正弦函数式、余弦函数式，因此需运用二倍角公式、辅助角公式将目标式化简为正弦函数式，再根据正弦函数的有界性求得最值.

例3.已知 x ∈[- ， ]，求函数 y =4 sin2x -12 sinx-1的最值.

解：

该目标式中含有二次幂，因此需将sinx换元，将函数式转化为关于t 的一元二次函数式，把问题看作复合函数的最值问题，分别在定义域内讨论两个函数   t = sinx、y =4t2- 12t -1 的单调性，再根据“同增异减”的原则判断出目标函数的单调性，便能根据函数的单调性和正弦函数的有界性求得最值.

可见，解答三角函数问题，需首先根据已知条件和所求目标选择合适的公式，通过三角恒等变换对三角函数式进行化简，使问题中的角、函数名称、幂统一，然后再灵活运用三角函数的性质、图象来解答.

（作者单位：江苏省靖江市刘国钧中学）