证明不等式成立的三个常用办法

李冬梅

不等式证明题的命题形式多种多样，其解法也各不相同.常用的方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.解答不等式证明题，需根据不等式的结构特点，选择相应的公式、性质、定理等对不等式进行合理的变形，从而证明结论.下面主要谈一谈证明不等式的三个常用办法：综合法、分析法、反证法.

一、运用综合法

综合法是证明不等式的基本方法，是从已知条件出发，逐步向结论推理、论证的方法.在证明不等式时，需根据已知条件，利用不等式的可加性、可乘性、绝对值的性质、基本不等式等对目标不等式进行适当的变形，通过合理的运算、推理来证明结论成立.

例1.已知 a、 b ∈ R+， a +b =1，证明： è（æ）a + ø（ö）2+ è（æ）b + ø（ö）2≥  .

证明：∵ a +b =1，

∴1 =a +b2=a2+b2+ 2ab ≤2a2+b2，

∴ a2+b2≥  ，

∵  +  =a +b2  +  ≥ 2 2× 2 =8 ，

∴ è（æ）a + ø（ö）2+ è（æ）b + ø（ö）2= a2+b2+4+   +  ≥  +4+ 8= ，当且仅当 a =b 时取等号.

我们从已知条件着手分析，先将其平方，建立已知条件与目标不等式之间的联系，然后两次运用基本不等式以及不等式的可加性證明结论.

二、利用分析法

运用分析法证明不等式，需从目标不等式出发，结合题意分析不等式成立的条件，若这些条件都成立，或与相关的定理、性质或已经证明成立的结论等相符，则证明不等式成立.要证明不等式成立，需使所有条件均满足.通常采用“要证—则证—即证”的格式来书写解答过程.

例2.证明：3+  <2  +  .

证明：要证3 +  <2  +  成立，

需证+ 2<+ 2成立，     即证15+2  <15+2  ，

只需证<成立，

因为54<56，所以<成立，

即3 +  <2  +  成立.

题目中给出的信息较少，需从目标不等式入手，执“果”索“因”，将目标不等式平方，根据根式的性质、不等式的可加性得出<，从而证明原不等式成立.

三、采用反证法

运用反证法证明不等式，需先假设目标不等式不成立，然后经过推理分析，得出与假设或已学习的公式、定理、性质等相矛盾的结论，证明假设不成立，进而证明目标不等式成立.反证法是一种间接证明方法，对于一些从正面求证较困难的题目，可考虑运用反证法来解题.

例3.已知0 <a <1，0 <b <1，0 <c <1，证明：1-ab，1-bc，1-ca 中至少有一个小于或等于  .

解析：

证明：

相比较而言，综合法和分析法的适用范围较广，一般情况下可先考虑用综合法来证明不等式，若解题受阻，再考虑运用分析法、反证法.

（作者单位：安徽省庐江乐桥中学）