解答含绝对值的二次函数问题的思路

姚东盐

含有绝对值的二次函数问题一般难度较大.由于函数式中含有绝对值，所以解题的关键是如何去掉绝对值符号，将问题转化为常规的函数问题来求解.通常有三种思路：分类讨论、数形结合、等价转化.

一、分类讨论

分类讨论法是处理绝对值问题的常用方法.在解题时，可令绝对值内部的式子为0，求得零点，然后用零点将函数定义域划分为几个区间段，在每个区间段上讨论绝对值内部式子的符号，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将函数式转化为分段函数来进行讨论.

例1 .已知 f（x）=-x2+2x -a ，当 a >0时，对任意的x ≥0，不等式 f（x -1）≥2f（x）恒成立，求实数 a 的取值范围.

解：当0≤x <a 时，由 f（x -1）≥2f（x）得 x2+4x - 2a +1 ≥0 .令 g（x）=x2+4x -2a +1，则 g（x）在 [0， a）上单调递增，因此 g（0）= 1- 2a ≥0，得 a ≤ ，所以0 <a <  .当 a ≤ x <a +1时，x2-4x +1 +6a ≥0，令 h（x）=x2- 4x+1+6a，其对称轴为 x =2，得0 <a<，所以 h（x）在 [a， a +1）上单调递减，因此 h（a +1）=a2+4a -2≥0，得 a ≥  -2 或 a ≤-2- （舍去），所以 a ≥  -2 .当 x ≥1 +a 时， x2+2a -3≥0恒成立，令φ（x）=x2+ 2a -3，φ（x）在 [a +1， +∞）上单调递增，因此φ（a +1） =a2+4a -2≥0，解得 a ≥  -2 或 a ≤-2-  （舍去）.综上可得a 的取值范围为[ -2，] .

本题中不仅含有绝对值，还含有参数a，需运用分类讨论法来求解.因为所得的参数取值范围是多个集合的并集，所以在分类讨论时，要做到不重复不遗漏任何一种分类情况，并且在讨论完每一种情况后要综合所得结果.

二、数形结合

在解答函数问题时，将数形结合起来能有效地提升解题的效率.对于含有绝对值的二次函数问题，可根据给出的函数解析式绘制出函数的图象，图象中就会呈现出函数图象的变化趋势、单调性、最大值、最小值、对称轴、周期等，这样便可借助图形来分析函数的最值、单调性、对称性、周期性、奇偶性等.

例2 .若直线 y =1 与曲线 y =x2- x +a 有4个交点，求实数 a 的取值范围.

解：

本题若采用常规方法，需对含有绝对值的式子进行分类讨论，解题过程较为繁琐.于是采用数形结合法，作出两函数的图象，通过分析两函数图象的位置关系就能直观地求得参数的取值范围.

三、等价转化

有些含有绝对值的二次函数问题较为复杂，此时我们可采用等价转化法，将问题转化为恒成立问题、距离问题、函数最值问题来求解.通过等价转化，可将将未知的问题化为已知的问题，将复杂的问题化为简单的问题，将陌生的问题化为熟悉的问题.

例3 .已知 f（x）=ax2+bx +c，其中 a ∈ N∗，b，c ∈Z，问当 b >2a 时，在[-1，1]上是否存在 x，使得f（x）>b 成立.

解：由 b >2a ，得- < -1，所以 f（x）在

[-1，1]上单调递增且 b >0，所以 f（x）∈（a -b+c， a+ b +c）.

①当 a +c >0时，a +b +c >b >0，則f（1）>b，即存在 x =1，使得f（x）>b 成立;

②当 a +c <0时，a -b +c <-b <0，则f（-1）>b，即存在 x =-1，使得f（x）>b 成立;

③当 a +c =0时， f（x）∈（-b， b），不存在 x 使得f（x）>b 成立.

通过有效的转化，将看似困难的绝对值二次函数问题转化为较为简单的二次函数性质问题，根据二次函数的单调性和最值就能顺利使问题得解.

虽然含有绝对值的二次函数问题较为复杂，但是我们只要抓住绝对值的特点，明确二次函数的图象和性质，分类进行讨论;绘制函数图象，将数形结合;明确问题的本质，进行等价转化，便能使问题顺利获解.

（作者单位：江苏省盐城市明达高级中学）