测量：《锐角三角比》探究性长作业教学实践

王慧萍

青浦区特级教师朱连云老师指出：深度学习存在两个学习圈，到达“领会”是学生实现深度学习的第一学习圈，它往往依附于常规教学，仅有第一个深度学习圈是不够的，一定要把学生带进深度学习的第二个学习圈“探究”。由于脱离了一些核心知识的领会，学生的探究常常是无本之木，具有盲目性。所以，需要在学生充分领会基础知识之后，进行课外活动拓展，学以致用，实现从“领会”到“探究”的学习。通过长作业（一个单元或一个核心知识教学之后，让学生开展基于真实问题的探究性活动学习）设计与实施，实现第一深度学习圈与第二深度学习圈的对接与融合。

长作业将学生的学习与生活相联系，以学生的兴趣为中心，相对于传统的作业，是需要花较长时间才能完成的作業。基于教学进度，本次长作业实践，整合了《锐角三角比》章节实践活动：测量。本次探究实践活动经历了启动、实践、展示三个阶段，取得了一定成效，也有需要改进之处。

（一）核心知识

沪教版教材将《锐角三角比》安排在九年级《相似三角形》之后，主要从定量的角度研究直角三角形。直角三角形边角之间的数量关系，主要通过三角形内角和定理、勾股定理和锐角三角比来表述。有了这些数学工具，我们就能解决生活实际中的许多问题，如测量物体的高度、测量两点间的距离、有关斜坡的计算、工件设计中的计算等等。

（二）确定目标

教学参考中建议：从解直角三角形的演练到解决实际相关问题，知识间距离不大，可以给学生提供自主参与学习活动、进行探究和交流的机会。过程中关注学生在学习活动中的表现，关注学生数学应用意识和数学应用能力的发展。要关注实际问题数学化这个教学环节，教学时分为两个阶段。第一阶段，在实际问题中有关的几何图形，让学生知道一些术语，如仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等；第二阶段，根据实际问题中的条件，能正确画出相关的几何图形，然后用解直角三角形的知识求解。本章的实践活动中，要求学生自己设计测量方案，然后运用本章知识求解，课本中的许多例题为学生设计测量方案提供了范例。

综上，确定了《测量——锐角三角比的长作业实践》目标和方案，即“会运用锐角三角比的知识解决真实问题，亲身感受数学源于生活、服务于生活的理念”。在测量过程中，学生要分析情景特点、初步确定测量方案、分析方案可行性、比较不同测量方案，实施初步方案、处理和计算测量所得数据，提升学生实践活动能力、知识应用能力以及团结协作意识。关注学生在学习活动中所表现的兴趣和参与程度，关注学生在学习过程中获得的体验、体会以及进行数学交流的发言；要鼓励学生在实践活动中发扬独立自主的精神，锻炼勇于克服困难、团结互助等品质。

（三）时间安排

鉴于初三学生比较忙碌，课时较为紧张，安排三周时间。第一周，设计方案、小组分工、准备工具；第二周，实地测量，调整再测，计算整理；第三周，制作PPT汇报交流，撰写收获反思，录入综评。

（一）共建学习支架，鼓励自主设计

设计学习任务单，可以让学生更有逻辑地进行实践探究。首先让学生自己设计学习任务单，之后老师给予指导，几稿之后，最终形成如下环节：选题、设计方案、安排时间、任务分工、测量记录、计算整理、自评互评、收获反思。

表2、表3指向活动组织，确定内容、组建团队。结合校园实际，选取测量内容，成立学习小组，并进行人员分工。表4、表5，指向解决问题，确定方案、具体实践。学生设计测量方案、分析可行性、实地测量、反思调整。表6、表7指向评价反思，关注过程、反思收获。关注每位组员的参与过程，从三个方面进行自评、互评，并记录自己的收获与反思。

要求：

1.设计测量方案，从本章核心内容出发，解决生活实际问题；

2.分小组活动，集体讨论，分工合作，共同完成测量任务，每位同学每个阶段都有具体任务；

3.遇到问题，可以组内商量解决，也可以请教导师、家长以及其他专业人员；

4.进行自我评价和组内互评，注重过程性评价和形成性评价；

5.总结实践过程，写300字的收获与反思；6.制作幻灯片，课上分小组进行汇报交流；7.撰写实践报告，录入综评。

（二）聚焦问题解决，自主合作到多方借力

1.选择项目，小组分工

《锐角三角比》这一章的应用，主要体现在测量。课内，解直角三角形的应用一个单元，基于不同情境进行算距、算高、算坡长。结合这些核心知识，学生可以选择测距、测高、侧坡长。在校园里兜转一圈之后，学生选择了比较简单的测高问题，当然在测高问题中包含了测距。大家比较集中地选择测量旗杆高度、路灯高度和足球球门高度。指定组长，学生自由组成小组。基于每位组员全程参与的原则，进行了任务分工，有的组员负责测量，有的负责读数，有的负责记录，有的负责计算等等。

2.设计方案，实地测量

组内群策群力，设计多种测量方案，准备好工具后，开始实地测量。

方案1：利用光的反射原理

利用所学的物理知识光的反射，将一面镜子放在地上，一名同学通过镜子看到旗杆的顶部，这样可以构成两个相似的直角三角形（如图3）。先测量这名同学身高，以及脚到镜子里旗杆顶部的长度，再测量旗杆底部到镜子里旗杆顶部的长度。再根据相似三角形对应边成比例，将测出的数据带进去，计算出最终结果。

方案2：“A字形”的一對相似三角形方案设计：

结合24章内容，我们可以通过“相似三角形的三边对应成比例”的知识点求出旗杆高度。在一个阳光充足的时间，测出人的身高与影长以及旗杆的影长，得到一对如图3所示的相似直角三角形，从而算出旗杆长度。

方案3：比例方案设计

让一位同学作为参照物站在旗杆边，水平拍一张照片。在照片上可以知道人的身高与旗杆高度的比值，再通过同学的身高计算得出旗杆的高度。

其实，实地测量并非一次就可以完成，有的小组先后组织几次测量，除了老师给的时间外，还充分利用周末休息时间进行小组活动。也有小组补充了定滑轮法和手机测距仪法，但发现手机测距仪法，适合测距离较近的两点间的距离。

3.多方借力，解决困难

过程中学生碰到了很多问题：

l有的测量方案无法操作；

l有的测量发现柱子不是线段，测量点的选择影响测量的准确性；

l现实中影子并不是只在地面上，还有部分在其他建筑物上；

l先后测人的影长和旗杆的影长，入射角是不一样的；

l测角时，没有专业的测角仪，误差会比较大，测距仪的高度不是人的身高，太阳光不强烈时，影子并不明显；

l旗杆的高度，是地面以上还是司令台以上，地下应该还有部分旗杆；

l卷尺长度不够，测出来是数据不知道对不对，误差范围不明确；

l手机测距仪只能测近距离的长度；

l不知道真实的旗杆高度。

过程中的问题和困惑，很多都是学生自己想办法解决的。还有些问题，小组群策群力也未能解决，有的学生请教物理老师，有的学生去借老师的手机，有的学生去向做工程的亲戚借测角仪，有的去问校长旗杆的真实高度，体现了学生坚持探索的宝贵品质。

（一）展示交流，质疑完善

群策群力后，学生终于完成了实地测量任务，带着太多想说的话，盼来了展示交流环节。第三周的周一，在数学课上进行交流分享，每个组派代表交流小组的分工、方案、实践过程、遇到的问题，以及解决问题的过程。学生在台上精彩陈述，时而也发出了少年少有的感慨，台下的学生都听得投入，互动环节，质疑解答，完善优化。学生的期待、赞赏溢于言表，就连学习积极性不高的学生也抬起了头，露出了灿烂的笑容。当然大家也理性地给其他小组提出了宝贵的意见和建议，就自己没听明白的地方提出了疑问。例如，大家觉得，定滑轮法如何操作就是个问题，足球门框没必要测得那么复杂，直接测量就可以，等等。

（二）自评互评，反思成长

基于自评互评表，针对自己和组员能否对测量方案提出合理建议，能否积极认真完成任务，能否团结并积极配合其他组员进行评价，组内进行了自评和互评。在收获反思中，很多组员认为这次实践活动很有意思，觉得数学有趣、有用；有的组员认为自己不够仔细，导致测量误差很大；有的组员抱怨，遇到了不合作的组员；有的组员认为理论和实际的距离太大，实际操作时平行于地面的要求很难保证，等等。

（一）成效

1.积累活动经验，激发学习兴趣

这次实践活动，学生经历了整理核心知识、选择项目、小组分工、设计方案、实地测量、自评互评、收获反思、交流分享、撰写报告这些探究环节，让学生对组织一次比较完整的探究活动的流程形成了一定的经验。特别在遇到困难时，学生解决问题的方式，可迁移到日后的学习生活中。

在解决问题的过程中，学生们时而兴奋，时而沮丧，时而迷茫，但最终都克服了种种困难，完成了本次长作业实践，收获了满满的成就感。在长作业实施的过程，学生们感受到了数学有用、有趣、有美，学习数学的兴趣也会更浓厚。

2.提高应用能力，培养问题意识

生活离不开数学，但平时更多的理论学习，让学生的实践意识变得淡薄，这次实践再次强化了学生用数学的意识，提高了学生应用能力，使学生不仅仅能够解决数学化了的情景问题，更能解决真实情景中的问题。实践的过程才是最重要的，过程中学生发现问题、分析问题、解决问题、提出问题，让学生的问题意识越来越强，提高了学生解决问题的能力。

3.培养团队合作能力，强化创意意识

小组分工、设计并修改方案，对培养学生的团结协作的能力和创新能力有一定的作用。学生选择了测旗杆高度、路灯高度、足球门框高度，自主组队、有序分工、撰写方案、测量收集数据、自评互评、反思收获、分享交流、修改完善、撰写报告。关键是方案，在学生与老师的共同努力下，探究出物理中平行入射光线的测影长法、入射角和反射角相等的镜子法、定滑轮法、利用三角尺或测角仪的测仰角法，还有利用相似比的照片法、手机中的测距仪法等等，正所谓创意无限。

（二）思考

1.长作业项目选择需要突破教材综合实践活动

这次长作业项目整合了章节综合实践活动，希望项目解决的是学生身边比较迫切的实际问题，这样的长作业项目更具有探究的价值，亟待挖掘。

2.长作业活动实践需要资源支持以保证更科学

本次探究活动中，只有一个小组解决了测角仪的问题，其他小组的测量误差都比较大，因此，需要更专业的工具。本次活动，少了量化评价，可以用更多的数据评价学生的活动实效。需要家长、学校和社会提供更广泛的资源支持。

3.长作业活动需要更科学的评价

长作业活动的实效，需要实证检测，这就需要一个项目团队跟进。长作业活动过程中，更需要关注学生的参与过程，本次实践采用了评价量表、收获反思的方式，评价量表可以更精准、更科学。

4.长作业探究实践要常态化，形成课程

育良才，需要实践长作业探究活动。一次或几次实践，并不能达成这样的目标。所以，长作业探究实践需要常态化，形成课程。