具有周期边界条件的两个Sturm-Liouville问题的交叉谱

张艳霞，刘 畅

(安徽工业大学a.数理科学与工程学院；b.计算机科学与技术学院，安徽 马鞍山 243032)

Sturm-Liouville问题是研究波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程定解问题的基础，在工程结构的振动和稳定性分析中用以确定杆的自振频率和临界载荷(频率是特征值)；在量子力学中用以求氢原子在有心力场作用下电离所需的最小能量，在大气物理学中用以确定在地球自旋作用下纬向气流的波动频率、弹性碰撞问题。此外，治疗冠心病的心脏支架技术以及金融数学中期权定价等问题也涉及到某个自伴SL算子的特征值问题。SL问题一直是科研工作者研究的热点[1-7]。

本文研究由如下二阶微分方程(1)和周期边界条件(2)构成的两个SL 问题：

其中qi(x)是[0,1]上的连续函数。对于给定的势函数qi(x)，上述两个SL问题的谱都是特征值，并且是实特征值有下界，有可能出现二重特征值，其特征值形如[8]：λ1≤λ2≤λ3≤…≤λn≤…。如果上述两个SL问题的谱集合是相同的，则这两个SL 问题称为谱同构[9-10]；如果上述两个SL 问题不是谱同构的，那会有多少个相同谱(特征值)?文献[11]中给出了具有Dirichlet边界条件(3)的两个SL方程相同谱问题：

文献[12]把这一问题推广到具有一般分离型边界条件(4)的两个SL方程上。

文献[11-12]都是借助某个具有分离型边界条件的二维向量SL问题谱的特点以及二重特征值个数，来研究两个一维SL 方程的相同谱问题，但是对带混合型边界条件的两个一维SL 方程的相同谱问题没有给出结论。带有分离型边界条件的一维SL 问题的特征值都是单的，带有周期混合边界条件的一维SL 问题会出现二重特征值，二重特征值有多少个?最大二重特征值的上界是多少?两个一维SL 问题相同的特征值有多少个？这些问题还没有相关结论，文中针对这些问题进行研究，并给出相关结论。

1 二维向量Sturm-Liouville问题的特征值

考虑如下具有周期混合边界条件的二维向量SL问题：

则λ是二维向量Sturm-Liouville问题(5)～(7)特征值的充分必要条件是ω(λ) = 0。

证明 该引理的证明可参见文献[13]。

引理2 设Φ(x,λ),Ψ(x,λ)的定义如式(9)，λ是二维向量SL 问题(5)～(7)的特征值，则特征值λ的重数与线性代数系统式(11)的线性无关的向量个数是相等的。

记

将式(20)代入式(18)得

结合式(22)～(24)、式(28)及λn＞2Q*可得

2 两个一维Sturm-Liouville方程的交叉谱问题

为研究具有周期边界条件的两个一维SL 方程(1)，(2)的交叉谱问题。对于势函数qi(x)，记σ(qi)表示一维SL方程(1)，(2)的谱集；σ(Q)表示二维向量SL问题(5)～(7)的谱集。令

3 结论

研究具有周期边界条件的两个SL 问题的交叉谱个数。由定理1 计算出二维向量SL 问题的二重特征值的一个上界，由定理2 得出二维SL 问题的大于该上界的特征值都是单特征值，且只有有限个非单特征值。定理3 中构造了一个二维向量SL 问题使得两个一维SL 问题的谱集与该二维向量SL 问题的谱集相同，利用一维SL 问题与二维向量SL 问题谱集之间的关系，得出具有周期边界条件的两个一维SL 问题交叉谱（相同特征值）的个数是有限个。由定理4 得出具有周期边界条件的一维SL 问题的二重特征值是有限个，及最大二重特征值的上界估计。