基于圆管层流模型的无损流动条件分析

杨成斌

（武警海警学院 机电管理系，浙江 宁波 315000）

在现实中常见的流体运动，不管流动是处于低雷诺数的层流状态，还是高雷诺数下的湍流状态，都必然伴随着能量损失。造成这种不可避免的能量损失的罪魁祸首，则是流体与约束壁面之间的摩擦力，以及流体内部的内摩擦力。如何降低流动损失，提高流体输送过程的能量利用效率，显然是一个值得关注的问题。而现有的研究往往从工程实用性出发，认为管道与流体之间的摩擦是不可避免的，因而没有对绝对光滑壁面的理想情况及其对流体能量损失的影响进行详尽地分析，如文献[1-2]。另外，如果能从理论上明确产生无损流动的条件，从而认为创造出某种无损流动的环境，即使这种环境条件的创造十分复杂，对于研究超高速条件下的流体问题，也是十分有益的。本文以牛顿内摩擦定律为依据，建立流管中的层流模型，对低速层流状态下的流体运动状态进行理论分析，并进一步讨论理想光滑壁面对流动状态以及流动能力损失的影响。

1 圆管中的层流模型

流体普遍具有粘滞性，而流体的流动通常需要受到呈一定几何形状的流道约束，如圆管、管渠等，这导致流体在流动过程中需要不断克服流道壁面阻力和流体内部阻力做功，因而持续产生能量损失，也称流动损失[3]。流动损失分为沿程损失和局部损失，沿程损失是由流体与壁面，以及具有不同流速的流层之间的摩擦力引起的。在不考虑局部损失的层流状态下，造成流动损失的因素就是摩擦力，包括边界层与壁面之间的摩擦力，以及不同流层之间的内摩擦力。根据牛顿内摩擦定律，层流状态的流体流动时，其流层间的内摩擦力与速度梯度、流体粘度、接触面积以及流体压力之间的关系如下：

（1）内摩擦力与流层间的速度梯度du/dy成正比；

（2）内摩擦力与流体的动力粘度μ成正比；

（3）内摩擦力与流层的接触面积A的大小成正比；

（4）内摩擦力与流体的压力大小无关。

根据以上关系，流体内摩擦力F的数学表达式可以写成

对于表面积为A的流层，作用在单位面积上的内摩擦力，也即作用在微元流体上的切应力为

考虑一段在圆管中做层流运动的高压低速流体，假设流体的压力足够大，可以忽略重力对流线分布的影响，因而其中纵剖面上的速度分布如图1所示。

图1 圆管中的层流速度分布

2 层流微元的受力情况和运动分析

从图1可以看出，随着流层逐渐向管壁靠近，流体的流动速度u越来越小，而紧贴管壁的边界层的流速则降为0。不妨以某一流层中的流体微元δ为研究对象，分析其受力与运动情况。流体微元在其所处流层中以速度uδ做匀速流动，因而该流体微元处于受力平衡状态。由于紧贴δ且更靠近管道中心的下方流层流速更高，在流体粘滞性的作用下，下方流层对微元δ所在流层会产生与流动方向相同的内摩擦力，该内摩擦力作用在微元δ上的切应力τ为

方向如图1所示，该切应力为驱使流体微元δ前进的动力。而紧贴流体微元δ且更靠近管壁一侧的上方流层流速更低，对微元δ所在流层产生与流动方向相反的内摩擦力，该内摩擦力作用在微元δ上的切应力τ′为

切应力τ′的方向与流动方向相反，因而是阻碍流体微元δ前进的阻力。

对于边界层中的流体微元，其运动速度为0，因而也处于受力平衡状态，此时流体微元所收到的驱动切应力τ0仍然来自紧贴边界层且更靠近中心的下方流层，但阻碍切应力τ0′则来自粗糙管壁所产生的静摩擦力，如图2所示。

图2 边界层流体微元的受力情况

3 无损流动条件分析

3.1 圆管中的无损流动条件分析

接下来我们在上述模型的基础上分析，当管壁摩擦系数为0的绝对光滑壁面时，流体微元的运动情况将会如何变化。

假设在上述层流模型中，圆管内壁突然从粗糙避免突然变为摩擦系数为0的无限光滑壁面。仍以边界层中流体微元为分析对象，由于此时管壁的摩擦系数突然降低为0，原来作用于流体微元的阻碍切应力τ′瞬间消失，而下方流层所产生的驱动切应力τ0并没有发生变化。因此，该流体微元的受力情况不再平衡，从而在驱动力的作用下加速流动。显然，随着边界层流速逐渐提高，其与相邻流层之间的速度差du逐渐缩小。当du降低为0，也即边界层与下方流层的速度达到一致时，驱动切应力τ0变为0，流体微元将停止加速，开始匀速流动。此时，原先的静止边界层将成为流动边界层，其流速则与其相邻流层一致。

当流动边界层的流速与下方的相邻流层达到一致后，对于紧邻边界层的下方流层，由于其与边界层之间的速度差du不复存在，导致该下方流层中的流体微元受力也不再平衡，情况与边界层流体微元的受力情况类似，也就是会在流速更高的更下方流层产生的驱动切应力作用下进行加速流动，直到流层间速度梯度消失为止。与此同时，下方流层的速度提高后，又会重新使得上方的流动边界层受力不平衡，从而使流动边界层的速度进一步提高，直到边界层、紧邻下方流层、更下方流层这3个流层速度达到一致。

上述由流体微元受力不平衡引起的流层加速过程将自边界层向流束中心依次传递，反复进行，使所有流层的流速趋于均匀化，直到所有流层的流速达到一致为止，此时其流速分布将如图3所示。

图3 光滑管壁条件下的流速分布

3.2 对无损流动条件的扩展

当约束流体的管壁从粗糙状态逐渐向绝对光滑状态趋近时，圆管内流体的流速分布情况将从图1所示的分布情况逐渐过渡到图3所示的分布情况。在这一变化过程中，随着流速分布的逐渐均匀化，相邻流层之间的速度梯度越来越小，层流的沿程能量损失也将逐渐减小，当圆管的管壁变成绝对光滑理想壁面时，层流的沿程能量损失将降低为0，所有流层的速度均匀一致，以至于流体的流动状态在事实上已不再是“分层”的流动。此时，圆管中的流体将处于不分层的无损流动状态。

以上分析虽然是以圆管中的层流模型为基础的，但可以扩展到任意截面形状的约束管壁。因为根据分析可知，导致层流体的能量产生沿程阻力损失的根本原因，是依附于粗糙管壁而形成的流速为0的静止边界层。正是因为静止边界层的存在使得流体在流动过程中出现了“分层”流动。在分层状态下，由于流体固有的粘滞性，相邻流层之间产生的速度梯度就激励出了流体的内摩擦阻力，从而产生了沿程阻力损失。沿程阻力损失的发生与否，并不取决于约束流体流动的管壁的截面几何形状，而是取决于约束壁面的摩擦系数是否为0，因此对于任意截面形状的管道，只要其与流体相接触的内表面满足绝对光滑的条件，就可以产生无损流动。

根据上述分析，可以得到如下结论：

（1）当流体处于低速层流状态时，随着约束壁面摩擦系数的减小，层流的流速分布将逐渐趋于均匀。

（2）当约束流体的管壁达到绝对光滑的理想壁面条件时，流体的流动状态将由“分层”的有损流动转变为不分层的无损流动。

（3）在低速流动（不产生漩涡）状态下，是否可以产生无损流动与约束流体的管道截面几何形状无关，绝对光滑（摩擦系数为0）的流体约束壁面是实现无损流动的充分条件。

3.3 无损流动条件的创造

现实世界中的流体通常都是在有摩擦阻力的管道中流动的，因而流动损失似乎是无处不在的，而且只要其流动过程的能量损失可以被限定在一定范围，即被认为是可以接受的。此外，现实中的流体几乎都是依托于有形的实物管渠流动的，要创造出一种绝对光滑的管道也是不可能的。那么，在客观条件的制约下，我们将如何去创造出无损流动的条件呢？

由于有形的实体材料制成的管道不可能完全没有摩擦阻力，因此，如果要创造满足无损流动条件的流动环境，就必须摆脱对有形体的实物材料的依赖。另外，若有一段流体处于三面约束，一面向大气敞开的流动状态，也要考虑空气的摩擦系数带来的阻力影响。基于这两方面的考虑，为达到无损流动状态，可以设想在真空环境中，以电磁场为约束力而形成的流动环境。

假设有这样一段处于真空环境中的被充分磁化的流体，流体的流动方向一定。为了达到无损流动的条件，用一定强度的电流在其周围空间激励出足够强度的磁场。这个磁场的分布，使得在磁场空间内以一定初速度流动的流体受到约束，从而使流体在流动过程中，以某一不变的截面几何形状（比如圆形）被约束起来，就像以一定的压力在有形的管道内流动一样。此时，一方面流体处于真空环境，因而流动过程不受空气阻力的影响；另一方面，由于约束流体截面形状并非有形的管道壁面，而是磁场，因而也没有摩擦阻力。这样，流体就相当于在由磁场规定的无形“管道”中流动，且满足无损流动条件。

3.4 无损流动的应用分析

虽然现实中的有形管道都带有摩擦阻力，而前述用于创造无损流动的真空磁场环境实现起来也十分复杂，但这并不妨碍探索无损流动条件的意义。在一些特定的应用背景下，创造性地运用无损流动条件，可以实现一些特殊的需求。例如，当一段流体在真空磁场环境中处于无损流动时，由于没有因自身流动而产生的额外损失，其流动速度就是初始速度的完整延续和准确反映。根据这一原理，可以反过来推算赋予该段流体初始动量的力的大小，这对于高精度地测量一些只产生瞬间短暂作用的冲击力是很有帮助的。

此外，由于处在无损流动状态的流体本身在加速过程中不会产生热量，理论上可以通过电磁场将其不断加速，甚至加速到接近光速，这对于研究近超高速条件下的流体问题是十分有意义的。

4 结束语

本文基于一个简单的圆管层流模型，结合流体内摩擦阻力产生的条件，从理论上分析了处于层流运动的流体要达到无损流动所需要的条件。根据分析可知，对于低速层流运动的流体，绝对光滑的理想壁面是实现无损流动的充分条件。当所有流层的流速完全一致后，流层与流层之间已经不存在内摩擦力，而管壁与边界层之间也不存在摩擦力，因而流体在流动过程中，将不再有沿程能量损失，从而进入一种无损流动状态对于做层流运动的流束。理论上讲，如果能将约束流体的管道壁面变成接近无限光滑的壁面，则可以大大降低其流动过程中的能量消耗，使其接近无损流动。然而，创造无损流动环境的意义远不止于简单的降低能耗。现实中常用的工业管道都是具有一定粗糙度的管子，不可能达到无限光滑的条件，而工程中的流体输送一般也不要求将流动损失降到近乎为零，然而这并不妨碍无损流动条件分析的现实意义。但在一些特殊的场合，如高精度复杂仪器设备中，不排除需要创造无损流动条件的可能性。如何实现无损流动所需要的绝对光滑壁面无疑是一个难题，这样的壁面或许难以通过改善管道材料的方法解决，但却可以通过电磁场约束的方式创造出来。通过对流体进行磁化处理，使其能够在圆管形的磁场约束力空间内低速流动，就可以实现无损流动。本文提出的无损流动条件实际实现起来仍然是十分复杂的，但并非完全不可能的，而创造出支持无损流动的真空磁场环境，或近乎无损流动的环境，理论上可以实现对一段流体的无限加速，这对于研究超高速条件下的流体问题将是十分有意义的。