具有空变系数源项的半线性Moore-Gibson-Thompson方程全局解的非存在性*

欧阳柏平

（广州华商学院, 广州 511300）

引 言

本文考虑如下具有空变系数源项的半线性Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程Cauchy 问题解的爆破现象：

其中f(x)=a0〈x〉-α,〈x〉=,a0＞0,0 ＜α ＜2,p＞1,ε ＞0,Δ是Laplace 算子.

MGT 方程可描述物理上黏性热松弛流体中波的传播现象，其方程一般形式表示如下：

τuttt+utt-c2Δu-bΔut=0，

其中，u=u(t,x)表示声学速度的势函数，c为声速，τ表示松弛系数，b=βc2表示声扩散率，τ ∈(0,β].如果0 ＜τ ＜β，则其半群的指数是稳定的；但当τ=β时，其半群的指数不具有稳定性.基于此，本文考虑τ=β的情况，另外设c2=1.

近来，有关半线性MGT 解的性态研究已有很多成果，详细情况请参考文献[1-10].

首先我们回顾有关MGT 方程的一些特殊情况.式(1)中，取β=0,α=0,a0=1，则式(1)化为

上式的临界指数称为Strauss 指数，记为Pstr(n).当p＞Pstr(n)时，该方程存在整体解；p≤Pstr(n)时，该方程不存在整体解，此时其解将在有限时间内爆破.其中Pstr(n)表示为以下一元二次方程的最大正实根：

当n=1时，Pstr(1)=∞.进一步地，得到其生命跨度T(ε)的最优估计：

其中n≥3.有关更多的研究成果，请参考相关文献[11-16].

王虎生等[16]考虑了如下非线性加权的二维波动方程的Cauchy 问题：

其中 ε ＞0,f(x),g(x)为具有紧支集的光滑函数，p＞1.他们运用半群理论以及压缩映射原理等泛函分析方法研究了其经典解的生命跨度，同时进一步证明了其解的生命跨度的上下界估计.

式(1)中，若α=0,a0=1，则有

Chen 等[17]研究了其解的爆破情况.通过假设初始数据满足一定的约束条件，分析了次临界和临界情况下解的爆破情况，另外证明了这两种情况下其生命跨度的上界估计.

本文研究了具有空变系数源项的半线性MGT 方程Cauchy 问题解的爆破现象，讨论其中空变系数对解的生命跨度的影响是本文的目标.对于二维的波动方程，一般可以考虑用Kato 引理研究其解的爆破情况.然而，对于二维以上的情况，由于MGT 方程带来的无界乘子，使得Kato 引理并不适用.最近，一些学者提出了利用迭代方法分析某些高阶波动方程解的爆破问题[18-24].

目前，具有空变系数源项的半线性MGT 方程Cauchy 问题解的爆破现象研究尚未得到展开.其难点主要是寻找合适的测试函数和能量泛函以及如何解决迭代过程中出现的问题.本文采用构造能量泛函和运用相关微分不等式技巧得到了其下界序列，通过迭代证明了在次临界情况下具有空变系数源项的半线性MGT 方程解的全局非存在性，同时还进一步推出了其生命跨度的上界估计.

本文内容安排如下：第1 节为弱解定义以及本文主要结果介绍；第2 节为主要结果证明；第3 节为本文的结论.

1 主要结果

首先引入问题(1)的Cauchy 问题弱解的定义.

定义1假设(u0,u1,u2)∈H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)，称u是问题(1)在[0,T)上的能量解，如果

且如下的积分关系成立：

其中 ϕ(t,x)∈C0∞([0,T)×Rn),t∈[0,T).

式(2)中，由分部积分，可推知

令t→T时，可得u满足问题(1)的弱解定义.

定理1设1 ＜p,0 ≤α ＜2,

其中p0(n,α)为以下一元二次方程

(n-1)p2-(n+1-2α)p-2=0

的最大正实根，即

设(u0,u1,u2)∈H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)是非负的紧致函数，其支集包含在半径为R(R＞0)的球BR中，满足ui(i=0,1,2)不恒为0.若u是Cauchy 问题(1)的解，其生命跨度T(ε)满足suppu(t,·)⊂Bt+R,t∈(0,T)，则存在正常数ε0=ε0(u0,u1,u2,α,n,p,R,β),使得当ε ∈(0,ε0]时，u在有限时间内爆破，进一步其生命跨度的上界估计为

注1考虑极限情况α →0，则定理1 的结果与经典的半线性波动方程在次临界的爆破结果相对应.因此，猜想p0(n,α)或许是模型(1)的临界指数.

2 主要结果证明

定义如下泛函：

式(3)中，取ϕ ≡1,{(s,x)∈[0,t]×Rn:|x| ≤R+s}, 有

利用式(5)，式(6)化为

对式(7)求导，得到

由条件支集u(t,·)⊂Bt+R, ∀t∈(0,T)以及Hölder 不等式，可得

其中C0=C0(n,p,R)＞0.

将式(9)代入到式(8)，得到

对式(10)在[0,t]上积分，可得

由上式，有

(1/β)et/β同乘式(11)，并且在[0,t]上积分，整理得到

上式表明，其提供了进行迭代的框架.接下来，将对F(t)的下界进行迭代.为了得到F(t)的第一个下界，本文利用下面的函数[24]：

其中Φ(x)为正光滑函数，其有如下性质：

ΔΦ(x)=Φ(x), Φ(x)～|x|-(n-1)/2e|x|, |x|→∞.

设函数Ψ =Ψ(t,x)=e-tΦ(x).易得，-βΨttt+Ψtt-ΔΨ+βΔΨt=0.

引入如下泛函F0(t)：

对式(13)，由Hölder 不等式，有

将测试函数Ψ 应用于式(2)，可得

利用分部积分和Ψ 的性质，上式可化为

利用F0(t)的定义，有

将式(17)、(18)代入式(16)，得到

其中

取G(t)=F0′(t)+2F0(t),b=1/β, 则有

e(1+b)t[0,t]

利用同乘上式，在上积分，整理有

e2t同乘式(21)两边，并且积分，进一步整理可得

其中C为正常数.

利用Ψ 的渐近性[21]，有

其中C1=C1(n,p,R)＞0,t≥0.

于是，由Hölder 不等式、式(22)、(23)以及F0(t)的定义，得到

其中C2=CpC1，t≥0.

联立式(8)和式(24)，可得

其中=a0C2.

取a1=βF′(0)+F(0),a2=βF′′(0)+F′(0).在[0,t]上对式(25)积分，可推出

对式(26)两边同乘(1/β)et/β，并且在[0,t]上积分，进一步整理有

接下来的工作是取得一系列F(t)的下界.

设

其中 {Kj}j∈N,{αj}j∈N,{γj}j∈N均为后面定义的非负实序列,{Lj}j∈N定义如下：

易知，j=0时，式(28)蕴含式(29).假设式(29)对所有j≥0成立，以下证明对j+1成立.

事实上，由式(12)和式(29)，有

其中

式(30)中的推导过程利用了下面的结果：

式(31)表明式(29)对j+1成立.

接下来的主要任务是对αj,γj,Kj进行估计.

由式(31)，利用递推关系，对αj,γj，有

同时可推得

联立式(31)～(33)，有

对式(34)两边取对数，进一步递推，可以推出

取j0=j0(n,p,α)∈N，使得

由此，可得

其中E0=E0(n,p)＞0.

又由式(29)，可推知，当j∈R和t≥Lβ时，有

将式(32)和式(36)代入式(37)，得到当j≥j0,t≥Lβ时，有

令t≥max{R,3Lβ},式(38)化为

上式右边项exp函数中t的指数为

由0 ＜α ＜2，当n=1时，p＞1; 当n≥2时，1 ＜p＜p0(n,α).此时指数函数中t的指数为正.

记ε0=ε0(u0,u1,u2,n,p,α,R,β)＞0,使得

式(39)中，令j→∞，则当ε ∈(0,ε0]和时，可得F(t)的下界爆破.所以问题(1)不存在全局解.进一步可推出其生命跨度的上界估计为

其中为正常数.

定理1 得证.

3 结 论

本文运用泛函分析方法和迭代技巧，研究了一类具有空变系数源项的半线性MGT 方程解的爆破问题.通过选取恰当的能量泛函以及测试函数，推出了在次临界情形下其Cauchy 问题解的爆破以及解的生命跨度的上界估计.在后续的研究中，将进一步考虑运用迭代方法分析在临界情况下其Cauchy 问题解的爆破情况，此时对于测试函数和能量泛函的选择会变得更复杂也最关键.

致谢本文作者衷心感谢广东财经大学华商学院校内导师制项目(2020HSDS01)对本文的资助.