数学与艺术

摘要：现代数学与中国传统艺术有很大的一致性：即使是最简单的数学对象，也是抽象思维的产物;相对于艺术创造，对于形式（美）的追求在数学中也有明显的表现，如"对称性"简单性""统一性""奇异性"等。数学教育应当努力实现艺术的境界，"真""善""美"的高度统一也应是数学乃至一切科学的最高追求。

关键词：艺术;美学;数学;数学教育

相对于将数学看成自然科学的一个分支，很多数学家更倾向于将自己的学科看成一门艺术①：

"数学是所有人类活动中最完全自主的，它是最纯的艺术。"（沙利文）

"数学是一门艺术，因为它创造了显示人类精神的纯思想的形式和模式。"（费尔）

"我几乎更喜欢把数学看作艺术，然后才是科学，因为数学家的活动是不断创造的……数学的严格演绎推理在这里可以比作画家的绘画技巧。就如同不具备一定的技巧就成不了好画家一样，不具备一定准确程度的推理能力就成不了数学家……这些都不是最主要的因素。还有一些远比上述条件难以捉摸的素质才是造就优秀艺术家或优秀数学家的条件。其中有一个共同的素质，那就是想象力。"（博歇）

"数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念·数学是创造性的艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索·数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它。"（哈尔莫斯）

在此，还要特别提及一位当代数学家——洛克哈特。他不仅同样认定数学是最纯粹的艺术，还从这一立场对现行的数学教育体制进行了激烈批判，甚至为了实现自己的理想，从大学转至基层学校担任数学教师。他指出："事实上，没有什么像数学那样梦幻及富有诗意，那样激进、具破坏力和带有奇幻色彩……数学是最纯粹的艺术，同时也最容易受到误解。"①

尽管存在这么多的既有论述，我还是始终未能弄清我们究竟为什么可以甚至应当将数学看成一门艺术。当然，这也直接牵涉到我们应当如何理解艺术。在"理解艺术"方面缺乏必要的修养，正是我一直未能突破这一认识瓶颈的主要原因。

机缘巧合，我近期阅读了著名美学家宗白华先生的《美从何处寻》，从中获得了一些启示。之所以会看一些美学的著作，是受一位语文教师——胡亨康老师的影响②，特别是他的成长历程，让我有了新的见解③。我从《美从何处寻》中获得的启示，主要源于宗白华先生对中国传统艺术精髓的分析。

一、中国传统艺术的精髓

在宗白华先生看来，中国传统艺术的精髓集中表现于对"意境"的追求："意境是'情'与'景'（意象）的结晶品。""在一个艺术表现里情和景交融互渗，因而发掘出最深的情，一层比一层更深的情，同时也透人了最深的景，一层比一层更晶莹的景"景中全是情，情具象而为景，因而涌现了一个独特的宇宙，崭新的意象。"也就是说，艺术是主客体的一种交融，从而"为人类增加了丰富的想象，替世界开辟了新境"。④

尽管各种艺术都可被看成人类精神的"具象化、肉身化"，但这又并非外部世界的简单写照·恰恰相反，如果借用"道"这一术语，即"灿烂的'艺'赋予'道'以形象和生命'道'给予'艺'以深度和灵魂"⑤。这也就是人们提升精神境界的一个重要途径："艺术的境界，既使心灵和宇宙净化，又使心灵和宇宙深化，使人在超脱的胸襟里体味到宇宙的深境。"⑥

宗白华先生曾借助"实"和"虚"这一对概念，对中国传统艺术的上述特征进一步做了分析："由于'粹'，由于去粗存精，艺术表现里有了'虚'，'洗尽尘滓，独存孤迥'。由于'全'，才能做到孟子所说的'充实之谓美，充实而有光辉之谓大'。'虚'和'实'辩证的统一，才能完成艺术的表现，形成艺术的美。"⑦在宗白华先生看来，这也直接涉及中西艺术的重要差异："只讲'全'而不顧'粹'，就是我们现在所说的自然主义·只讲'粹'而不能反映'全'，又容易走上抽象的形式主义的道路。"①"西洋文化的主要基础在希腊"，"希腊艺术理论既因建筑与雕刻两大美术的暗示，以'形式美'（即基于建筑美的和谐、比例、对称平衡等）及.自然模仿，（即雕刻艺术的特性）为最高原理，于是理想的艺术创作即在模仿自然的实相中同时表达出和谐、比例、平衡、整齐的形式美"。②例如，"中、西画法所表现的'境界层'根本不同，一为写实的，一为虚灵的;一为物我对立的，一为物我浑融的"。再者，尽管西洋绘画也经历了由古典精神向近代精神的转变，"然而它们的宇宙观点仍是一贯的，即'人'与'物'，'心'与'境'的对立相视"。与此不同，"中国画所写近景一树一石也是虚灵的、表象的。中国画的透视法是提神太虚，从世外鸟瞰的立场观照全整的律动的大自然，他的空间立场是在时间中徘徊移动，游目周览，集合数层与多方的视点谱成一幅超象虚灵的诗情画境"。③这就是中国艺术最后的理想和最高的成就："以追光蹑影之笔，写通天尽人之怀。"④

二、现代数学与中国传统艺术的一致性

但是，这些关于艺术的分析与数学究竟有什么关系？这对于我们理解为什么可以甚至应当将数学看成一门艺术又有什么启示？以下，是我的一些肤浅的想法。

虽然现代数学主要也应归结于古希腊的传统，但在我看来，现代数学又与中国传统艺术有很大的一致性——尽管这听上去有点不可思议，但或许可以从一个侧面表明"大道归一"的道理。

我主要关注这样一个事实：数学显然并非客观事物与现象在人们头脑中的简单反映;恰恰相反，即使是最简单的数学对象，如1、2、3或点、线、面，也是抽象思维的产物。当然，这也有一个"外化"的过程——数学家们并非使用声音、色彩、形象这样的艺术语言，而是主要借助语言和抽象符号实现所谓的"具象化"。

再者，相对于艺术创造，对于形式（美）的追求在数学中也有明显的表现。我们也可从这一角度对"数学美"作出大致的"定义"，即表现为"对称性"简单性"统一性""奇异性"等形式。当然，我们也应清楚地看到："数学家们并非纯粹地为艺术而艺术，他们对于美的感受和追求往往以数学上的考虑作为直接背景或目的，这也就是说，他们所追求的是：在极度无序的对象（关系结构）中展现极度的对称性，在极度复杂的对象中揭示极度的简单性，在极度离散的对象中发现极度的统一性，在极度平凡的对象中认识极度的奇异性。"⑤简言之，数学中对于美的追求具有重要的方法论意义，更集中地反映了数学家的以下特性："他们永不满足于已取得的成果，并希望能够更深刻、更全面、更正确地认识世界。也正因此，他们总是力图由已知去推出未知，希望将复杂的东西予以简单化，分散、零乱的东西予以统一，也总渴望能开拓出新的研究领域……正是在这样的过程中，数学家们感受到了数学的美，而这事实上也正是认识不断发展和深化的一个过程。"⑥

在此基础上，我有了一些新的感悟：数学家们通过自己的研究工作深切感受到了思维的力量、精神的力量，这就是我们应当将数学看成一门艺术的主要原因，包括我们应当如何认识数学的文化价值。关于数学的文化价值，彭加勒（也译为庞加莱）等著名数学家已经清楚地指明："一个名符其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到与艺术家一样的印象;他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。"①"数学……是一种活动，在这种活动中，人类精神似乎从外部世界所取走的东西最少，在这种活动中，人类精神起着作用，或者似乎只是自行起着作用和按照自己的意志起作用。"②

以下依据宗白华先生关于"形式"的分析，做进一步说明。

按照宗先生的看法，对"形式的作用，可以区分出这样三个不同的层次③：第一，"美的形式的组织，使一片自然或人生的内容自成一独立的有机体的形象，引动我们对它能有集中的注意、深入的体验"，"美的对象之第一步需要间隔"。显然，这就相当于前述的"外化"，包括数学中经常提到的"模式化"。第二，"美的形式之积极的作用是组织、集合、配置。一言蔽之，是构图，使片景孤境能织成一内在自足的境界，无待于外而自成一意义丰满的小宇宙，启示着宇宙人生的更深一层的真实"。从数学的角度看，这意味着由各个孤立的"模式，过渡到了整体性的"结构"。第三，"形式之最后与最深的作用，就是它不只是化实相为空灵，引入精神飞越，超人美境;而尤在它能进一步引入'由美人真'，探入生命节奏的核心。世界上唯有最生动的艺术形式……最能表达人类不可言、不可状之心灵姿式与生命的律动"。显然，这也正是诸多数学家将数学看成一门艺术的主要原因。

三、数学教育应当努力实现艺术的境界

依据上述分析，我们可以更好地理解洛克哈特关于"什么是真正的数学"的具体论述，包括数学教师应当通过自己的教学向学生传递什么样的感受，进而理解他为什么对强调"数学的应用"持明确的反对态度④：

"这就是数学的外貌和感觉。数学家的艺术就像这样：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界，如此令人着迷、充满趣味……"

"（应让学生）有机会享受当一个有创造力、有灵活性、心胸开放的思想家——这是真正的数学教育可能提供的东西。……数学应该被当作艺术来教。这些世俗上认为'有用'的特点，是不重要的副产品，会自然而然地跟着产生。"

"所有这些'改革'最悲哀的地方，是企图'要让数学变有趣'和'与孩子们的生活产生关联'，你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！它的骄傲就在于与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣。"

"无论如何，重点不在数学是否具有任何实用价值……我要说的是，我们不需要以这个为基础来证实它的正当性。我们谈的是一个完全天真及愉悦的人类心智活动——与自己心智的对话。数学不需要乏味的勤奋或技术上的借口，它超越所有的世俗考量。数学的价值在于它好玩、有趣，并带给我们很大的欢乐。"①

"教学是开放与诚实的，是能分享兴奋之情的能力，是对教学的热爱。没有这些，世界上所有的教育学位都不能帮助你。"

"（学生不喜欢数学的）原因就在于他们自己从来没有机会去发现或发明这类东西。他们从来都没有碰到一个让他们着迷的问题，可以让他们思考，可以让他们感受挫折，可以让他们燃起渴望，渴望有解决的技巧或方法。"

"如果你没有兴趣探索你自己个人的想象宇宙，没有兴趣去发现和尝试了解你的发现，那么你干吗称自己为数学教师？如果你和你的学科没有亲密的关系，如果它不能感动你，让你起鸡皮疙瘩，那你必须找其他的工作做。如果你喜欢和小孩相处，你真的想要当老师，那很好——但是去教那些对你真正有意义、你能说得出名堂的学科。"

但是，在初等数学中，我们也能找到这样的能使学生感到极度震撼并能深切地感受到精神力量的实例吗？

毕达哥拉斯定理就是这样的一个实例，它对古希腊乃至整个现代西方文明的发展产生了十分重要的影响。

下面则是另外两个实例（更多的实例可见《一个数学家的叹息——如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》）：

其一，任一多边形，不管它是三角形，還是四边形或五边形，它的外角和总是360°。

其二，在半圆中以直径为底作三角形，无论三角形的顶点在圆周的什么地方，三角形的顶角都是90°。

由此可见，即使是中小学数学教学，也可在上述方面大有作为，关键在于教师是否具有足够的自觉性，包括切身的感受和体验。

以下实例②是一些学生对一位语文教师的回忆。尽管它来自语文教学，相信读者仍可由此很好地感受到什么是教学应当努力实现的一种境界。对此，我们又确可比拟为一种真正的"艺术境界"。

这是北京四中语文老师李家声的课堂，不是公开课：

他讲《离骚》，"好像被屈原附体一样，散发出一种人性的光芒，（让我们）心里有说不出的感动"。他朗读《离骚》，时而激扬，时而悲愤，学生不得不"被屈原那种灵魂的美、精神的美，所深深吸引"。虽然《离骚》只上了两节课，一个从前不喜欢语文的理科学生，课后，不知花了多少时间来读《离骚》，375句差不多都能背下来了。

……

"他讲《满江红》，不是讲，而是吟唱，每次唱，都会哭。"一个考上北大的女生回忆道，"开始时，我望着他，他微蹙着眉头，凝视着前方，几根发丝微微颤动。但很快，我低下

头，不敢再抬起来，因为我知道，自己的双颊已经红得发烫，眼中的泪水，已经涨到收不回的程度。"唱到，待从头、收拾旧山河，朝天阙"时，先生已满眼是泪，学生也满眼是泪。歌罢，教室里，立刻响起雷鸣般的掌声。"我们把手拍红了，却都不愿意停下来。就这样，掌声一浪接一浪地响了不知多长时间。"

一茬茬的学生，成了他忘年的知音。"先生给予了我空灵、明净和透亮的灵魂，教我们怎样做一个知识分子，做一个铁骨铮铮、处世独立、横而不流的知识分子。"

再从宗白华先生的论著中摘录几段关于，简"与，虚"的论述，建议读者联系数学和数学教育中对于，抽象"与，留空（白）"的强调，进行比较和理解，包括它们的共同点，乃至，大道归一"的道理：，简者简于象，非简于意。"，中国画以黑墨写于白纸或绢，其精神在抽象……练则简。简则几乎华贵，为艺术之极则矣。"，此虚无非真虚无，乃宇宙中浑沌之原理;亦即画图中所谓生动之气韵。……中国画最重空白处。空白处并非真空，乃灵气往来生命流动之处。"，空而后能简，简而练，则理趣横溢，而脱略形迹。然此境内不易到也，必画家人格高尚，秉性坚贞，不以世俗利害营于胸中，不以时代好尚惑其心志;乃能沉潜深入万物核心，得其理趣，胸怀洒落。"①

由以上论述，我们还可进一步领悟到相关研究应当避免或纠正的一些倾向，以及超越专业走向，大道"的主要途径。

首先，无论就艺术或数学而言，事实上都涉及，境"，意"和，形"这样三个方面②。特别是，我们既应防止完全拘束于对自然的，模仿"或，刻画"这样低层次的错误，也应防范因

再从宗白華先生的论著中摘录几段关于“简”与“虚”的论述，建议读者联系数学和数学教育中对于“抽象”与“留空（白）”的强调，进行比较和理解，包括它们的共同点，乃至“大道归一”的道理：“简者简于象，非简于意。”“中国画以黑墨写于白纸或绢，其精神在抽象……练则S。简则几乎华贵，为艺术之极则矣。”“此虚无非真虚无，乃宇宙中浑沌之原理;亦即画图中所谓生动之气韵。……中国画最重空白处。空白处并非真空，乃灵气往来生命流动之处。”“空而后能简，简而练，则理趣横溢，而脱略形迹。然此境内不易到也，必画家人格高尚，秉性坚贞，不以世俗利害营于胸中，不以时代好尚惑其心志;乃能沉潜深入万物核心，得其理趣，胸怀洒落。”①

由以上论述，我们还可进一步领悟到相关研究应当避免或纠正的一些倾向，以及超越专业走向“大道”的主要途径。

首先，无论就艺术或数学而言，事实上都涉及“境”“意”和“形”这样三个方面②。特别是，我们既应防止完全拘束于对自然的“模仿”或“刻画”这样低层次的错误，也应防范因过分强调形式而陷入形式主义，或者说，未能很好地超出单纯的“技能”层面。

其次，从更高的层面看，它们又同时涉及“境（景）”“意（情）”和“思想（理性）”③。这更可被看成我们超越专业走向“大道”的关键，即“意（情）”和“思想（理性）”的相互渗透与整合。而这又不仅是指我们不应单纯强调“理性”而忽视“人性”，也是指我们不应因单纯强调个人情感而忽视自己的社会责任，因为，“一切艺术虽是趋向……于美，然而它最深最厚的基础仍是在于‘真’与‘诚’”④。

当然，“真”“善”“美”的高度统一也应是数学乃至一切科学的最高追求。

（郑毓信，南京大学哲学系，教授，博士生导师。享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员。从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各类教师培训工作，多次赴英、美等国以及我国港台地区做长期学术访问或合作研究，赴意大利、荷兰、德国等国多所著名大学做专题学术讲演。出版专著30余部，在国内外学术刊物上发表论文近500篇，学术成果获省部级奖7次。在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。）