基于信息加工理论的直观想象素养再认识

广东省广州市白云区教育研究院(510050) 雷珮瑛

1 课程标准关于直观想象素养的阐述

教育部颁发的《普通高中数学课程标准(2017 年版)》明确指出:“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.”“直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.”直观想象素养中的关键能力,包含数形结合能力、几何直观能力和空间想象能力.直观想象素养中的情感、态度与价值观,体现在乐于构图、有用图自信的心理倾向.因此,全面认识和理解直观想象素养的内涵是发展学生直观想象素养水平的基础.

2 认识直观想象素养思维品质

本研究认为直观想象素养中的思维品质是与空间形式有关的数学形象思维品质.著名的心理学家纽厄尔(A.Newell)和西蒙(H.A.Simon)认为一个信息加工系统主要是由记忆装置、加工装置、接受装置和效应器4 个部分组成,各部分之间的关系如图1.

图1

感知是感觉和知觉的统称.在数学学习过程中,数学表象包括图形表象和图式表象.数学图形和数学模式的刺激通过接受器过滤处理进入加工器,加工器启动与记忆之间的信息对流.一方面激活记忆里相关的数学表象,在加工器里进行提取、整合、分解、比较、选择等一系列的加工,形成新的数学表象;另一方面加工器里形成的部分新数学表象输送到记忆里储存.完成加工的信息通过效应器输出,在环境中表达、反馈.如果在此过程中出现图形表象,那么这个思维过程就是直观想象素养过程,即直观想象素养思维品质是涉及图形表象的数学形象思维.如图1,环境刺激经过接受器的处理,形成图形表象编码的过程称为直观想象素养思维品质的“直观”阶段(简称直观阶段);在加工器中进行数学表象整合形成新数学表象的过程,称为直观想象素养思维品质的“想象”阶段(简称想象阶段);想象阶段借助几何直观理解问题.在数学学习过程中,感觉主要是指人的视觉对刺激物的反映.知觉是指人对感觉信息选择、加工和解释的过程.在长时记忆中存在语言系统和表象系统.这两个子系统既独立又紧密相连,能因另一个系统的活动而激活.这种关联通常表现为称呼事物的名称和形象、描述事物的形象.如果被称呼的事物和形象与空间形式有关,那么它就是直观想象素养,称为直观想象素养的“翻译”阶段(简称为翻译阶段).语言系统处理数学言语编码,表象系统处理数学表象编码.新数学表象通过效应器形成信息编码解释、表达数学问题,称为直观想象素养思维品质的“外化”阶段(简称外化阶段).

(1)直观阶段——实物(或问题)向空间形式转化

直观阶段主要表现在运用空间想象认识事物的位置关系和形态,创造性地用图形直观表达实际问题,创造性地用图形表达数与式.如图2,一个瓶子,不能用一个标准的几何体概括它的形状.但是可以把它划分为多个标准的几何体完成逼近.第一部分是圆柱,第二部分接近一个圆台,第三部分又是一个圆柱,这就是直观阶段.瓶子是一个整体,能够在脑子里把它切割成多个规则的几何图形.把复杂的几何物体,抽象为标准的简单几何体.只有切割为标准的简单几何体,才能展开下一步的逻辑推理和数学运算.不难发现,直观想象素养与数学抽象素养、数学建模素养、逻辑推理素养以及数学运算素养关联.

图2

例1 (握手问题)6 个人见面,每两人互相握手1 次,共握手多少次?

这是简单的组合问题,初中学生还没学习相关的内容.可以把这6 个人用不共线的6 个点表示,每握手一次,就画出对应两点间的线段,如图3,握手总次数就是线段数,刚好是六边形的对角线与边数目的总和.巧用图形解决实际问题有赖于巧妙地把实际问题中的元素用图形直观化.

图3

例2 解二元一次方程组

学生在初学二元一次方程组的解法时,对字母不熟悉且有一定的恐惧感.可把符号表征转换为图式表征,如图5,分别用边长相等的等腰直角直角三角形和正方形表示方程中的未知数x和y,用两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形表示方程y=2x.

学生能很轻易地在图4 获知一个正方形可由两个等腰直角三角形拼成.二元一次方程组转化为学生熟悉的拼图游戏,不但能增加新知识的亲和力,而且能让学生在直观的拼图游戏中,动手操作,自主探索出解法.直观阶段是用图形表达生活中的实际问题和数学问题,该阶段中的图形是从无到有的,是具有创造性的.把方程组转化为拼图,就是直观阶段.而翻译阶段是三种数学语言之间的直接转换,把“□”用x表示,把“△”用y表示,则是翻译阶段.

图4

(2)想象阶段——空间形式之间的转化

想象阶段借助几何直观理解问题.空间形式之间的转化广泛存在于图形与几何的教学当中,在问题的解决过程中,分解表象、组合表象、联想和想象.在复杂的图形当中提取基本图形,这是分解表象.把多个简单的基本图形通过平移、旋转、轴对称等手段组合起来,构成复杂的图形这是组合表象.在证明过圆上一点的直线与圆相切时,想到连接以这个点为端点的半径,这是联想.在脑海里模拟正方体的平面展开图折叠成正方体的过程,分析各个面的位置变化情况,这是想象.直观想象素养是对表象极具个性化的重构,同一数学问题,不同的学生会生成不同的表象,经过逻辑推理后形成不同的解法.

例3 (2020 年广州中考第24 题) 如图5,⊙O为等边ΔABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧AB上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.(1)求证:DC是∠ADB的平分线;(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗? 如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由.

图5

第(2) 小题的通解通法是割补法,沿CD把四边形ADBC“割”开后,“补”的方法有“旋转”、“截长补短”和“等积変换”等.

第一类方法:转化为等边三角形的面积.(1)旋转:如图6,抓住CA,CB“共端点,等边长,夹60°角”,把ΔBCD绕点C按时顺针方向旋转60°,可把四边形ADBC的面积转化为等边ΔCDE的面积.(2)抓住CA=CB,∠CBD=∠CAD的邻补角,构造全等三角形:①截长补短(延长DA至点E,使AE=BD);②等积変换(作∠ACE=∠BCD,CE交DA延长线于点E)……

图6

第二类方法:转化为两个关于CD对称的直角三角形面积和.(1)旋转:如图7,抓住点C到DA,DB的距离CN,CM相等,把RtΔACN绕点C按逆时针方向旋转,得到RtΔBCM,可把四边形ADBC的面积转化为RtΔCDM与RtΔCDN的面积和;(2)构造全等三角形的方法与第一类方法的类似.……学生通过读图、识图、辩图形成的新表象各异,因此,呈现解法“百花齐放”.

图7

(3)翻译阶段——语言与空间形式互译

加拿大著名心理学家佩维奥(A.Paivio)的双重代码假设认为人有两个相互关联的记忆系统,即言语系统和表象系统.①人们将这两个系统中的部分信息进行配对,同时储存在记忆中,当其中一个被激活,另一个也立刻被激活.②如果当中至少有一个表象刚好是图形表象,这就是翻译阶段.比如:我们见到文字“圆”就会想到形状“○”.这是言语编码的信息“圆”激活了相联的图形表象编码信息“○”,也可以看作是加工器把数学言语“翻译”成了数学图形.翻译阶段主要表现为用几何图形描述数学问题.如:按作图语句作出几何图形,用数学语言或符号语言表达空间形式,数形结合等.翻译阶段建立形与数的联系.如:数轴上的点与实数一一对应、在平面直角坐标系内的点与有序数对一一对应、函数的图象及其性质等.

(4)外化阶段——空间形式向实物转化

外化阶段是用图形表象信息解释、解决数学实际问题.

例4 (2020 年广州市中考第2 题) 某校随机抽取了100 名学生,对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查(每人选一种),绘制成了如图8 的条形统计图,根据图中信息,学生最喜欢的套餐种类是( ).

图8

A.套餐一 B.套餐二 C.套餐三 D.套餐四

外化阶段的图形是现成的,用图形的性质解释、解决问题.利用条形统计图,通过比较等宽长方形的高,寻找“最喜欢的套餐种类”,解决实际问题,是外化阶段.而直观阶段是构建几何模型的过程,是数学化的过程,绘制统计图的过程是直观阶段.

例5 车轮做成圆形的数学道理.初三上学期完成圆的学习后,让学生思考车轮为什么是圆的? 可以先让学生分组制作非圆车轮,让学生观察改装后汽车模型行驶的情况,再用几何画板模拟车轮轴心的运动轨迹.用圆的轨迹定义解释生活中的实际问题,帮助学生更深刻地理解圆的概念.

简言之,有空间形式就有直观想象素养.数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.通过直观想象素养描述、理解、分析和解决数学问题,积累数学活动经验,提升直观想象素养的自信,是形成数学直觉的基础.