介质圆柱和球电型并矢格林函数求解特性比较研究

雒向东 赵宇杰 海波 梁晔

【摘   要】   基于圆柱和球坐标系中圆柱和球型矢量波函数，将自由空间圆柱和球型并矢格林函数应用于介质圆柱和球进而推出二者的第三类电型并矢格林函数，并就求解过程特性进行比较分析，其结果可为基于DGF方法处理圆柱和球型介质电磁散射等问题提供理论依据。

【关键词】   柱球坐标系;介质柱球;矢量波函数;并矢格林函数;比较研究

A Comparative Study of the Characteristics of the Solving Process of

Electric Dyadic Green′s Functions of Medium Column and Sphere

Luo Xiangdong1，2， Zhao Yujie1， Hai Bo1， Liang Ye1

（1. Lanzhou City University， Lanzhou 730070， China;

2. Editorial Department of Journal of Gansu Normal Colleges， Lanzhou 730070， China）

【Abstract】    Based on the cylindrical and spherical vector wave functions in the cylindrical and spherical coordinate systems， applying the free space cylindrical and spherical dyadic Green's functions to medium column and sphere， this paper deduces the third kind of electric dyadic Green's functions of the medium cylinder and sphere and makes a comparative analysis of the characteristics of their solving process. The results can provide theoretical basis for dealing with electromagnetic scattering of cylindrical and spherical media with the DGF method.

【Key words】     cylindrical and spherical coordinate systems; medium cylinder and sphere; vector wave functions; dyadic Green's functions; comparative study

〔中图分类号〕  O441.4                    〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2022）01- 0037 - 04

0     引言

圓柱体、球体是工程应用中常见的电磁辐射与散射模型，这类电磁场边值问题的求解往往涉及柱型和球型矢量波函数的构建[1-4]。在圆柱和球坐标系中分别应用圆柱和球型矢量波函数表示自由空间辐射或散射场极为方便，当获得自由空间圆柱和球型矢量波函数展开式后，应用散射叠加方法可导出其他类型的并矢格林函数。应用并矢格林函数（简称DGF）方法解决电磁理论及工程边值问题，主要难点就是要构建并矢格林函数。对这一问题国内外学者已做了大量研究[5-14]，如对规则形状波导、常用坐标系等问题已有一致的结果，但对介质圆柱和球体散射场等问题求解的比较研究未见报道。本文基于圆柱和球坐标系中圆柱和球型矢量波函数，从自由空间构建的并矢格林函数出发，求解介质圆柱和球的第三类电型并矢格林函数，并就其求解过程特性进行比较分析，其结论可为基于DGF方法解决介质圆柱和球形物体散射场等问题提供理论依据。

1     圆柱和球型矢量波函数基本理论

1.1   圆柱矢量波函数基本理论

圆柱矢量波函数[M、N]定义为[Meonλ、Neonλ]两组矢量波函数[8]。

[Meonλ（h）=?×Jn（λr）cossinnφe-ihzez=?nJn（λr）rsincosnφer-?Jn（λr）?rcossinnφeφe-ihz] （1）

[Neonλ（h）=1κλ?×?×Jn（λr）cossinnφe-ihzez=1κλ-ih?Jn（λr）?rcossinnφer±ihnJn（λr）rsincosnφeφ+λ2Jn（λr）cossinnφeze-ihz]（2）

式（1）中双行符号是同时表示两个式子的一种符号表示方法，实质上是指以下两式：

[Menλ（h）=?×[Jn（λr）cosnφe-ihzez]=[-nJn（λr）rsinnφer-?Jn（λr）?rcosnφeφ]e-ihzMonλ（h）=?×[Jn（λr）sinnφe-ihzez]=[nJn（λr）rcosnφer-?Jn（λr）?rsinnφeφ]e-ihz]  （3）

文中其他双行符号式子含义同此，式（3）中下标“[e]”表示偶函数，“[o]”表示奇函数，式（1）和（2）在整个空间区域（[∞>r≥0]，2[π][>φ≥0]，[∞>z>-∞]）均有定义，且满足以下正交归一性质[8]：65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

[Meonλ（h）?Neon′λ′（-h′）dV=0] （4）

[Meonλ（h）?Meon′λ′（-h）dV=0               （n   n′）（1+δ0）2π2λδ（λ-λ′）δ（h-h′）   （n=n′）]  （5）

[Neonλ（h）?Neon′λ′（-h′）dV=0                  （n   n′）（1+δ0）2π2λδ（λ-λ′）δ（h-h′）（n=n′）]  （6）

式（4）-（6）中积分区域为整个空间，本征值[h]和[λ]为连续取值。

1.2   球型矢量波函数基本理论

球型矢量波函数定义为[15]：

[φeomn（κ）=jn（κR）Pmn（cosθ）cossinmφ]        （7）

[Meomn（κ）=?×[φeomnR]=?msinθjn（κR）Pmn（cosθ）sincosmφeθ-jn（κR）?Pmn（cosθ）?θcossinmφeφ] （8）

[Neomn（κ）=1κ?×?×[φeomnR]=n（n+1）κRjn（κR）Pmn（cosθ）cossinmφer+1κR??R[Rjn（κR）]?Pmn（cosθ）?θcossinmφeθ?msinθPmn（cosθ）sincosmφeφ] （9）

球型矢量波函数正交归一关系为：

[Meomn（κ）?Neom′n′（κ′）dV=0] （10）

[Meomn（κ）?Meom′n′（κ′）dV=0                                                         m≠m′，n≠n′（1+δ0）π2n（n+1）（n+m）！κ2（2n+1）（n-m）！δ（κ-κ′） m=m′，n=n′]（11）

[δ0=1m=00                  m≠0 ]     （12）

[Neomn（κ）?Neom′n′（κ′）dV=0                                                              m≠m′，n≠n′（1+δ0）π2n（n+1）（n+m）！κ2（2n+1）（n-m）！δ（κ-κ′）     m=m′，n=n′] （13）

式（10）（11）和（13）中積分区域为整个空间区域。

2     介质圆柱电型并矢格林函数

设自由空间圆柱体是各向同性均匀媒质构成的介质圆柱，电型并矢格林函数在[r=a]界面上满足电场、磁场在界面切向矢量连续的边界条件，这里电型并矢格林函数为第三类。采用[G（11）e（R，R′）和G（21）e（R，R′）]分别表示圆柱外部和内部区域上的电型并矢格林函数，源被置于介质圆柱外，圆柱内外空间对应参数定义为：

[k1=ω（μ0ε0）12，η=（k21-h2）12]    [r>a]    （14）

[k2=ω（με）12，ξ=（k22-h2）12]       [r

式（14）（15）中[μ、ε]分别表示介质柱磁导率和介电常数，它们可以是实数也可以是复数。基于两媒质分界面存在透射、反射效应，第三类电型并矢格林函数可设为：

[G（11）e（R，R′）=Ge0（R，R′）+G（11）es（R，R′）  r≥a] （16）

[G（21）e（R，R′）=G（21）es（R，R′）         r≤a] （17）

式（16）中[Ge0（R，R′）]是柱坐标系中自由空间电型并矢格林函数，表达式为[8]：

[Ge0（R，R′）=-1k2ererδ（R-R′）+i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2M（1）η（h）M′η（-h）+N（1）η（h）N′η（-h）（r>r′）Mη（h）M′（1）η（-h）+Nη（h）N′（1）η（-h） （r

式（18）中上行符号对应[r>r′]，下行符号对应[r

从物理角度看，[G（11）es（R，R′）]来自介质圆柱对[Ge0（R，R′）]的散射，必须满足无穷远处的辐射条件和发散波的要求;[G（21）e（R，R′）]来自[Ge0（R，R′）]通过圆柱界面的透射，必须满足在圆柱内部有界和驻波特性的要求。因此[G（11）es（R，R′）]和[G（21）es（R，R′）]应与[Ge0（R，R′）]有相同的激励项。考虑到圆柱交界面上满足的边界条件，[G（11）es（R，R′）]和[G（21）es（R，R′）]必然有以下的展开式：65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

[G（11）es（R，R′）=i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[AeoηM（1）eoη（h）+BoeηN（1）oeη（h）]M′（1）eoη（-h）+[CeoηN（1）eoη（h）+DoeηM（1）oeη（h）]N′（1）eoη（-h）] （19）

[G（21）es（R，R′）=i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[aeoξMeoξ（h）+boeξNoeξ（h）]M′（1）eoη（-h）+[ceoξNeoξ（h）+doeξMoeξ（h）]N′（1）eoη（-h）] （20）

为了求得待定系数[A、B、C、D和a、b、c、][d，]

应用在[r=a]圆柱面上满足的边界条件：

[er×[G（11）e（R，R′）-G（21）e（R，R′）]r=a=0] （21）

[er×?×G（11）e（R，R′）μ0-?×G（21）e（R，R′）μr=a=0] （22）

利用这两式可得到含有待定系数在内的16个线性代数方程，求解这些代数方程，便可得到16个待定参数。将式（19）和（20）代入式（21）得：

[er×[-1k2ererδ（R-R′）+i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[Mη（h）M′（1）η（-h）+Nη（h）N′（1）η（-h）]+i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[AeoηM（1）eoη（h）+BoeηN（1）oeη（h）]M′（1）eoη（-h）+[CeoηN（1）eoη（h）+DoeηM（1）oeη（h）]N′（1）eoη（-h）-i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[aeoξMeoξ（h）+boeξNoeξ（h）]M′（1）eoη（-h）+[ceoξNeoξ（h）+doeξMoeξ（h）]N′（1）eoη（-h）]r=a=0                   （23）]

式（23）等效于以下两个方程：

[er×[（Meoη（h）+AeoηM（1）eoη（h）+BoeηN（1）oeη（h）-aeoξMeoξ（h）-boeξNoeξ（h）]r=a=0]           （24）

[er×[（Neoη（h）+CeoηN（1）eoη（h）+DoeηM（1）oeη（h）-ceoξNeoξ（h）-doeξMoeξ（h）]r=a=0]            （25）

对式（24）和（25）两式求解得：

[-1k1η2H（1）n（ηa）Boeη+1k2ξ2Jn（ξa）boeξ=0-?H（1）n（ηa）?aAeoη?ihnH（1）n（ηa）ak1Boeη+?Jn（ξa）?aaeoξ±ihnJn（ξa）ak2boeξ=?Jn（ηa）?a-η2k1H（1）n（ηa）Ceoη+ξ2k2Jn（ξa）ceoξ=1k1η2Jn（ηa）±ihnH（1）n（ηa）ak1Ceoη-?H（1）n（ηa）?aDoeη?ihnJn（ξa）ak2ceoξ+?Jn（ξa）?adoeξ=?ihnJn（ηa）ak1] （26）

[k1=κηk2=κξ]                                     （27）

将式（19）和（20）代入式（22）得：

[er×[i8π-∞∞dhn=0∞12-δ0η21μ0[?×Mη（h）′（1）η（-h）+?×Nη（h）′（1）η（-h）]+][i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η21μ0[Aeoη?×M（1）eoη（h）+Beoη?×N（1）oeη（h）]M′（1）eoη（-h）+[?×CeoηN（1）eoη（h）+Doeη?×M（1）oeη（h）]N′（1）eoη（-h）-i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η21μ[aeoξ?×Meoξ（h）+boeξ?×Noeξ（h）]M′（1）eoη（-h）+[ceoξ?×Neoξ（h）+doeξ?×Moeξ（h）]N′（1）eoη（-h）]r=a=0         （28）]

式（28）等效于以下两个方程：

[er×[k1μ0Neoη（h）+Aeoηk1μ0N（1）eoη（h）+Boeηk1μ0M（1）oeη（h）-aeoξNeoξ（h）k2μ-k2μboeξMoeξ（h）]r=a=0]（29）       [er×[Ceoηk1μ0M（1）eoη（h）+Doeηk1μ0N（1）oeη（h）+k2μceoξMeoξ（h）+k2μdoeξNoeξ（h）+k1μ0Meoη（h）]r=a=0] （30）

对式（29）和（30）求解得：

[-η2μ0H（1）n（ηa）Aeoη+ξ2μJn（ξa）aeoξ=η2μ0Jn（ηa）±ihnH（1）n（ηa）aμ0Aeoη-k1μ0?H（1）n（ηa）?aBoeη?ihnJn（ξa）aμaeoξ+k2μ?Jn（ξa）?aboeξ=?ihnJn（ηa）aμ0η2μ0H（1）n（ηa）Doeη+ξ2μJn（ξa）doeξ=0-k1μ0?H（1）n（ηa）?aCeoη?ihnH（1）n（ηa）aμ0Doeη-k2μ?Jn（ξa）?aceoξ?ihnJn（ξa）aμdoeξ=k1μ0?Jn（ηa）?a]  （31）65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

將式（26）和（31）分别写成矩阵形式为：

[0-1k1η2H（1）n（ηa）01k2ξ2Jn（ξa）-?H（1）n（ηa）?a?ihnH（1）n（ηa）ak1?Jn（ξa）?a±ihnJn（ξa）ak2-η2μ0H（1）n（ηa）0ξ2μJn（ξa）0±ihnH（1）n（ηa）aμ0-k1μ0?H（1）n（ηa）?a?ihnJn（ξa）aμk2μ?Jn（ξa）?aAeoηBoeηaeoξboeξ=0?Jn（ηa）?aη2μ0Jn（ηa）?ihnJn（ηa）aμ0                                                                                 （32）]

[-η2k1H（1）n（ηa）         0                        ξ2k2Jn（ξa）        0±ihnH（1）n（ηa）ak1       -?H（1）n（ηa）?a      ?ihnJn（ξa）ak2  ?Jn（ξa）?a0      η2μ0H（1）n（ηa）        0                       ξ2μJn（ξa）-k1μ0?H（1）n（ηa）?a   ?ihnH（1）n（ηa）aμ0   -k2μ?Jn（ξa）?a   ?ihnJn（ξa）aμCeoηDoeηceoξdoeξ=1k1η2Jn（ηa）?ihnJn（ηa）ak10k1μ0?Jn（ηa）?a                                                                              （33）]

求解此矩阵方程就可获得待定系数[A、B、C、D和a、b、c、d]的解[16]，将待定系数代入式（19）和（20），将式（19）和（20）再代入式（16）和（14）即可获得介质圆柱的第三类电型并矢格林函数。

3     介质球电型并矢格林函数

介质球电型并矢格林函数为第三类，此时空间被球面分为两个区域，即球的内部和外部。

假设：

[k1=ωμ1ε1r≥a]                           （34）

[k2=ωμ2ε2r≤a]                （35）

若介质球置于空气中，则[ε1=ε0，ε2=ε，μ1=μ2][=μ0]，[ε]表示介质球介电常数，一般情况下这些常数可以是任意的，不受任何限制。在球坐标系中自由空间并矢格林函数[Ge0（R，R′）]本征展开式为[15]：

[Ge0（R，R′）=-1k2RRδ（R-R′）+ik4πm，nCmnM（1）（k1）M′（k1）+N（1）（k1）N′（k1） R>R′M（k1）M′（1）（k1）+N（k1）N′（1）（k1）   R

依据散射基本理论假设：

[G（11）e（R，R′）=Geo（R，R′）+G（11）es（R，R′）  R≥a]      （37）

[G（21）e（R，R′）=G（21）es（R，R′）                  R≤a]          （38）

因源被置于介质球的外部，故散射项可设为：

[G（11）es（R，R′）=ik14πm，nCmnAnM（1）（k1）M′（1）（k1）+BnN（1）（k1）N′（1）（k1）] （39）

[G（21）es（R，R′）=ik14πm，nCmnCnM（k2）M′（1）（k1）+DnN（k2）N′（1）（k1）] （40）65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

在球面上第三类电型并矢格林函数应满足以下边界条件：

[[er×G（11）e]R=a=[er×G（21）e]R=a]                               （41）

[[1μ1er×?×G（11）e]R=a=[1μ2er×?×G（21）e]R=a]  （42）

将式（39）和（40）代入式（41）和（42）得：

[[er×[ik14πm，nCmnM（k1）M′（1）（k1）+N（k1）N′（1）（k1）+ik14πm，nCmnAnM（1）（k1）M′（1）（k1）+BnN（1）（k1）N′（1）（k1）]]R=a=[er×ik14πm，nCmnCnM（k2）M′（1）（k1）+DnN（k2）N′（1）（k1）]R=a]                   （43）

[[1μ1er×?×[ik14πm，nCmnM（k1）M′（1）（k1）+N（k1）N′（1）（k1）+ik14πm，nCmnAnM（1）（k1）M′（1）（k1）+BnN（1）（k1）N′（1）（k1）]]R=a=[1μ2er×?×ik14πm，nCmnCnM（k2）M′（1）（k1）+DnN（k2）N′（1）（k1）]R=a      （44）]        进一步推得：

[[er×[M（k1）+AnM（1）（k1）]]R=a=[er×CnM（k2）]R=a[er×[N（k1）+BnN（1）（k1）]]R=a=[er×DnN（k2）]R=a[k1μ1er×[M（k1）+BnM（1）（k1）]]R=a=[k2μ2er×DnM（k2）]R=a[k1μ1er×[N（k1）+AnN（1）（k1）]]R=a=[k2μ2er×CnN（k2）]R=a]                     （45）

將[M（k1）、M（1）（k1）、M（k2）、N（k1）、N（1）（k1）、N（k2）]关系式代入式（45）得：

[jn（ρ1）+Anh（1）n（ρ1）=Cnjn（ρ2）k1μ1[ρ1jn（ρ1）′ρ1+Anρ1h（1）n（ρ1）′ρ1]=k2μ2[Cnρ2jn（ρ2）′ρ2]ρ1jn（ρ1）′ρ1+Bnρ1h（1）n（ρ1）′ρ1=Dnρ2jn（ρ2）′ρ2k1μ1jn（ρ1）+Bnh（1）n（ρ1）=Dnk2μ2jn（ρ2）]                     （46）

此处，[ρ1=k1a，ρ2=k2a，]上标中撇号表示微商运算，上面四个方程可分为两个代数方程组，解出系数便可得到介质球的第三类电型并矢格林函数[G（11）e（R，R′）]和[G（21）e（R，R′）]。

4     介质圆柱与介质球电型并矢格林函数求解比较分析

从式（19）和（20）可以看出，为了满足介质圆柱面上的边界条件，散射并矢格林函数包含了待定系数[Bη、Dη、bξ、dξ]的耦合项。这表明对于介质圆柱而言，一个入射的TE波（或TM波）将激励出TE波和TM波同时存在的散射场。从式（19）和（20）还可看到一个偶性的[M]函数与一个奇性的[N]函数在[φ]分量上有相同的角函数，它们在散射或透射项并矢格林函数中起类似的作用，反之亦然。对于介质球，不必引入TE模（[M]描述）和TM模（[N]描述）之间的耦合项，而这种耦合对介质柱是必不可少的。在这两个不同的边值问题中，圆柱矢量波函数的领示矢量为[z]，而球矢量波函数的领示矢量为[R]，它们的特性是完全不同的。综上所述，通过比较介质球与介质圆柱第三类电型并矢格林函数的求解过程，可以看到球形边界情形是极其简单的。

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