基于学习进阶的几何基本概念教学设计

刘佳　朱辉

摘要：教师的教学原则是心中有课标，手中有教材，眼中有学生，而如何利用好概念教学，突破思维的进阶找到恰当的路径需要尝试.以苏教版“垂直”为例，从学习进阶的角度设计几何概念教学，从知识进阶角度，学生思维发展角度双向切入，切实落实学生的“四基”“四能”，从概念课本身教学入手，进一步让学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.

关键词：学习进阶;垂直;概念教学

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）11-0038-03

收稿日期：2022-01-15

作者簡介：刘佳（1989-），女，江苏省泰兴人，研究生，中学一级教师，从事中小学教育教学研究.

基金项目：本文是2020年江苏省南京市规划课题项目《基于学习进阶的数学概念教学实践研究》（项目编号：L/2020/111）的研究成果.

自2017年国家教育部文件实行均衡编班制度以来，如何让不同学思维层次都能得到不同层次的提高，是教学工作需要关注的焦点.而早在2015年笔者所在学年数学组就从作业的角度切入，并对作业进行优化设计.但是研究的过程中发现，错题的产生除了学生粗心的学习习惯问题之外，还有思维层次原因，仅从作业角度实现增效减负是不够的.如何从教学中寻找适当的抓手成为一个研究的方向呢 ？

实际教学中，经验丰富的教师往往使用几何模型作为辅助，帮助学生提高答题的能力，看似提高了学生的成绩，但是死记硬背模式是数学思维培养的大忌.在教学中，如何基于课程标准将教科书中一个个知识点的外显，点动成线成为学生思维螺旋式上升的一个推手，是我们在教学中亟需攻克的难关.学习进阶理论是指学生通过较长时间跨度，学习某一概念核心概念所遵循的连贯、逐步深入的学习路径.该理论源于2004年美国基础教育阶段科学学业成就评价委员会的倡导，我国2017年《普通高中数学课程标准2017年版》中在关于学科标准中强调“进一步精选学科内容，重视以以学科大概念为核心，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科素养的落实.《义务教育阶段课程标准2011年版》中也强调课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系.

本文以学习进阶理论为研究基础，尝试突破以数学模型为主导的几何教学，真正从概念教学本源入手，对几何教学核心概念进行连贯、逐步精致的进阶路径剖析，使学生的核心素养伴随概念教学本身实现数学思维的进阶.

1 几何基本概念的课例设计和进阶分析

1.1 课例设计和进阶分析

环节一：教师先让学生欣赏含有平行和垂直的图片，让学生回顾平面内直线与直线的位置关系，接着让学生在纸上任意画两条直线并说出它们的位置关系，然后让学生举出生活中两直线垂直的例子，教师对照学画出的图形进行点评，初步感知为垂直教学做铺垫.教师进一步让学生比较各自画出图形，如有学生画出的是线段、直线、射线的垂直的区别和联系（交点个数、数量关系），通过让学生思考怎么把线段、射线变成直线，怎样把两者关系变成建立直线之间的联系，本环节用时10分钟左右.

环节一的学习进阶分析作为初中几何平面图形认识（一）的入门课，本课有两个根本任务：一是做好小升初衔接，在小学学习平行和垂直的基础上逐步由直观转向数量关系和位置关系的推理;二是激发学生兴趣，通过简明、形象、有序的教学活动引导学生合情推理，渗透几何研究的基本技能与基本方法.

环节一的学习进阶设计：垂直概念需凸显逻辑

虽然通过画图回顾了之前两直线的位置关系，但是不能忽视与小学概念的联系和区别，小学中对于教材对概念的定义分别如下：垂直是指两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直并未指出四个角或者一个角，而初中先研究线段、射线、直线、角等，对于四个角为直角到一个角为直角涉及到对顶角、补角、余角，用直线和角来定义垂直具有很强的逻辑性，该逻辑的体现需要进一步凸显.

环节二：操作发现，让学生考虑两条直线相交所成的四个角成直角，思考是否需要四个角是直角，到四个角中有一个角是直角可以判定两条直线的垂直是定义.在此基础上引导学生用数学语言、符号语言、图形语言表示等.本环节用时10分钟左右.

环节二学习进阶分析：学习进阶从阶梯的表面是概念的进阶，同样对能力也是提出内在的要求.在教学中概念教学需要关注四个进阶层次，分别为

环节二学习进阶建议：垂直概念需凸显语言

课例中对于点在直线上、点在直线外可以依据平行中基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行类比，用数学的语言表达世界，在这种逻辑推理下，才能对基本事实更深刻的理解.因为学生对垂直的理解从线段、射线、直线的理解仍局限于直观视觉.

环节三：如何画出一条线的垂线？你用了什么工具？（对于过一点做出已知直线的垂线，向学生渗透分类的思想，在画图时用延长体现直线之间关系，使学生理解结论的合理性.用填空、画图、说明等方法让学生进行大量训练.本环节用时15分钟.

环节四：课堂小结.回顾怎样按照分类讨论以及数学语言、符号语言、文字语言的过渡.本环节用时5分钟.

2 几何概念教学的反思

数学概念是对一类事物空间形式和数量关系的本质属性进行定性或定量的分析，包括数学的定义、公式、定理等.数学概念教学指在课堂环境中，为促进师生共同发展一种关于数学概念知识意义构建的互动过程，包括教师与学生的简单陈述、解释以及推理过程.义务教育初中学段（7年级-9年级）数学概念课从内容上看，占到了初中总课时数的五分之四;从能力要求上看，涉及了初中学段学生应该具备的所有数学能力.同时大量数据表明，学生数学成绩的差异，很大一部分是由于对数学概念理解的差异造成的.所以，概念课的教学是初中数学学习最为重要的组成部分，是发展学生数学关键能力的主要环节.

2.1 课例特点

特点1：上课教师对于讲授与学生自主学习之间的关系处理教好，引导在学生独立思考探索的基础上，学生的基本数学知识和基本技能掌握扎实.从学生的上课情况看，大多数学生理解了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，会用符号表示.

特点2：教师努力创设情境，为操作活动探索垂线的性质建立与生活的联系，通过直观观察图形和操作，帮助学生从位置关系过渡到用数量关系来刻画，进一步通过四个角是直角突出角之间联系，找到一个角是直角的本质，帮助学生建立位置关系与数量关系的转化.

特点3：通过有梯度的训练帮助学生内化直线垂直的图形语言、符号语言、文字语言三者之间的过渡和转化，利用点在直线上、点在直线外分类讨论，为学生掌握概念、理解性质、懂得画法、逐步掌握正确的学习方法提供范例.

2.2 几何教学关键

钟启泉先生曾提到学生学习力的“冰山模型”，冰山只有浮在海面的“冰山一角”和隐藏在海面以下的“冰山基座”，浮在水面上的可见部分就是数学的基本知识、基本技能，隐藏于水面以下的不可见部分则是基本能力和基本态度，它是支撑浮出水面部分的基础.

在解题中，过度重视技巧，对概念的掌握经常一笔而过是不合适的，其实在波利亚的《怎样解题》一书中，提出了解题的四个步骤，一为弄清问题，二为拟定计划，三为实施计划，最后回顾反思.在教学中，可以将以上四个步骤进一步细化，从操作层面上看，弄清问题则可以以翻译为主，从识别题干的语言到将文字语言，图形语言，符号语言三者互译，即三者语言关联.拟定计划时需要回忆概念，运用课本的概念，定理，找到概念的连接点，以激活关联.实施计划是最关键的，重组或是排除干扰的过程中还需要坚持自我分析，多尝试，回顾反思中需要一检二归，检验特殊，归纳总结方法，具体循环如图所示.

在教学中，利用概念同化方式获得概念，即用演绎的方式获得新的概念，学生往往不是零基础的，但是进一步抽象获得新概念，通常通过分类让学生从不同角度理解概念，并且通过概念外延进一步理解概念，如何将所学习概念納入已有的认知结构中去，形成概念系统，使学生经历一次新的概念的概括过程，明晰概念的逻辑关系，深化概念的理解是需要教师充分利用先行组织者，让学生的直接经验和间接经验产生联系，形成学生知识体系内部的概念系统.

参考文献：

[1] 樊霞.我国教育期刊中关于学习进阶研究论文的文献计量分析[J].课程教育研究，2019（36）：1-2.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准2017版[M].北京：人民教育出版社，2018（7）.

[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准2011版[M].北京：人民教育出版社，2018（11）.

[责任编辑：李璟]