关于“饮马问题”的教学思考

摘要：初中数学教学中“饮马问题”的题型既是常考题，又是初中数学教学一个很难突破的知识点，学生遇到这类的题目，往往找不到解决问题的突破口，不懂得对知识進行迁移、应用.在教学中需给学生灌输一个思想：求直线上一点到直线同侧两点的连线段长度之和的最小值问题就是”饮马问题“，解决这类问题的关键依据是：“ 两点之间线段最短”或是“三角形任意两边之和大于第三边”.

关键词：饮马问题;数形结合;对称求值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）11-0050-03

收稿日期：2022-01-15

作者简介：沈力坤（1975.4-），男，福建省漳州人，大专，中技九级，从事初中数学教学研究.

古希腊亚里山大里亚城里，有一位将军从A地出发到河边饮马，然后回到同一河岸边的B地军营视察，问他应该怎样走距离才最短？这类问题在数学教学中都称为“将军饮马问题”.在北师大版初中数学七年下册第123页第5题有一个典型的饮马问题：如图1所示，在一条街道的同侧有A、B为居民区，某一天小明要从居民区A出发，先到街道旁一井边打水，送到居民区B.请你帮他确定最短路线？有关饮马问题的解决关键是找出表示“河流”所在的直线，再找出其中点A或B的对称点，属于动态几何问题.我们对北师大版初中数学七年下册第123页第5题进行分析，街道就是“河流”所在的直线，点A关于“河流”的对称点为A′，连结A′B，交街道于点P，则AP+BP=A′P+BP=A′B.则A′B就是所求的最短线段.

本题实质上是求“两点之间线段最短”.它考查的是两点之间线段最短，是应用较为灵活的题型，从最为简单的直接考查两线段之和最小，推广到以三角形、四边形、特殊四边形、圆、一次函数、二次函数为背景的相关题目.初中数学教学中“饮马问题”的题型出现多次，它一直是初中数学教学一个很难突破的知识点，学生遇到这类的题目，往往找不到解决问题的突破口，不懂得对知识进行迁移、应用.因此，在教学中需给学生贯灌输一个思想：求直线上一点到直线同侧两点的连线段长度之和的最小值问题就是”饮马问题“，解决这类问题的关键依据是：“ 两点之间线段最短”或是“三角形任意两边之和大于第三边”.

下面由这一知识点演绎出来的相关题型进行归类，提出自己的见解.

1 把饮马问题这个模型放在圆中，利用圆的直径作为“河流”来创建题目.例1如图2，AB是⊙O的直径，AB=a点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=b，则△MNP周长的最小值是多少？

分析在解决这一题目时要教会学生抓住本题的实质是一个饮马问题，MN两点在直径AB同侧.因此只要作出N关于AB的对称点N′连结MN′，交AB于P，则△MNP周长的最小值是PM+PN+MN= PM+PN′+MN=MN+MN′=M+N′弦NM的长.求弦MN′的长就必须用到直径a和弦MN′所对圆心∠MON′，∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°又OM= ON′，因为△MON′是等边三角形 因此弦MN′=a/2（半径）则△MNP周长的最小值为b+a/2.

解作点N关于AB的对称点N′，又因为N是弧MB的中点，所以∠BON′=∠BON=1/2∠BOM=20°，所以∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60° ，又OM= ON′，所以△MON′是等边三角形，所以弦MN′=a/2，△MNP周长的最小值是PM+PN+MN= PM+PN′ +MN=MN+MN′= b+a/2.

2 把这个模型放在多边形中，以三角形或特殊四边形为背景，利用特殊三角的对称轴作为“河流”或特殊四边形的对角线为“河流”来设计题目

数学来源于生活，我们学习数学的目的是学会应用数学知识解决实际问题.饮马问题在日常生活中经常遇到，怎样节省材料降低成本需求最小值，这对于我们构建环境友好型、资源节约型的美丽中国有着重要的意义.

参考文献：

[1] 苏国东.例谈用“相似法”破解将军饮马问题[J].中学数学，2021（10）：78-79+89.

[2] 张金凤.“将军饮马问题（第二课时）”教学设计[J].中学课程资源，2021，17（08）：35-40.

[3] 覃秀敏，刘运龙，张金江.从“将军饮马问题”谈模型思想的渗透[J]. 中学教学参考，2021（02）：29-30.[责任编辑：李璟]