高中数学解题后反思的对话教学

摘 要： 导数是高三数学的重点知识，涉及的内容较多.其中导数和函数单调性关系密切，是高考的热点教学中，为深化学生理解，使其能够掌握不同题型解题思路，应围绕具体习题，巧妙的設计反思问题，与学生在课堂上积极对话互动，在学生头脑中留下深刻印象，在解题中能够做到举一 反三.

关键词： 高中数学;解题;反思;对话教学

中图分类号： G 632 文献标识码： A 文章编号： 1008-0333（2022）12-0011-03

收稿日期： 2022-01-25

作者简介： 姚友升（1973.6-），男，福建省闽清人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

高中数学导数部分教学中应注重课堂的合理安排，尤其在解题教学中应注重给学生预留一定的反思时间，并围绕问题和学生积极互动，营造活跃数学课堂的同时，使学生的反思更加有深度，给其以后的解题带来更好指引，给学生的学科素养发展带来更好引领.

例1 已知函数f（x）=x ln x（x>0），求函数 f（x） 的单调区间和极值.

解析 因为f（x）=x ln x（x>0），所以

f ′（x）=1+ ln x.令f ′（x）>0，解得x> 1 e .令f ′（x）<0，解得0

因此，其在x= 1 e 取得极小值，且f（ 1 e ）=- 1 e ，无极大值.

1 对话引领反思，提高教学实效

数学习题教学不能盲目追求讲授试题的数量，而是追求学生四基四能的多点提升.教师应该围绕已解决试题设计有效的对话引领，触发新的生长点，把对话导向与学生的原认知进行对接，促进学生对思维活动过程进行沉淀与反思，使学生的学科素养奠定发展的基础，使教学建立在丰富多彩、高效的基础上.

反思问题一：函数f（x）表达式中带有字母该怎么处理？

师：上述题目中没有字母，直接求导后，通过判断f ′（x）和0的大小找到其单调区间不难判断出其极值.若题目中带有字母该如何判断其单调性呢？

生：求导后看字母是否影响导数值的正负的判定，若影响结论判定则需要进行分类讨论.

展示如下习题，

例2 已知函数f（x）=ax- 1 x -（a+1） ln x，a∈ R ，求函数的单调区间.

解析 由f（x）=ax- 1 x -（a+1） ln x，a∈ R ，可知x>0，

f ′（x）= ax 2-（a+1）x+1 x 2 = （ax-1）（x-1） x 2

师：导数值的正负与a有何联系？该如何继续.

生1：考虑a的正负情况.

生2：还要考虑 1 a 与1的大小情况.

师：边界值a=0与a=1该如何处理？

教师通过对话与学生进行思维交流，引领反思深化数学本质，学生结合对话进行整合，不难得到分a≤0，01四种情况解答;

①当a≤0时，x∈（0，1），f ′（x）>0，f（x）单调递增;x∈（1，+∞）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减;

②当01，当x∈（0，1）和x∈（ 1 a ，+∞）时，f ′（x）>0，f（x）单调递增;当x∈（1， 1 a ），f ′（x）<0，f（x）单调递减;

③当a=1时，f ′（x）= （x-1）  2 x 2 >0，即，在（0，+∞）上f（x）单调递增.

④当a>1时，0< 1 a <1，当x∈（0， 1 a ）和x∈（1，+∞）时，f ′（x）>0，f（x）单调递增;当x∈（ 1 a ，1），f ′（x）<0，f（x）单调递减.

这就使学生对知识的掌握更加深入，学科素养发展更加深化，解题教学活动的收获更具实效性.

2 对话引领反思，促进思维发散

数学思维能力的培养是一个动态的建构过程，动态的思维建构离不开师生的思维交流，思维的互动通常是将对数学的理解以对话活动的形式进行.因此，新课标非常重视学生的活动参与体验，在数学教学中不仅要注重学生的思维过程，而且要注意学生思维的个体差异，培养其从不同角度看问题的能力.因此，教师引领学生对问题进行反思时应该关注思维之间内在联系，促进学生思维的发散以及迁移.

反思问题二：求导后无法求出f ′（x）=0时x的值怎么判断函数单调区间？

教师：通过上述习题的解答，我们知道当函数 f（x） 带有参数，需要根据实际情况进行讨论.上述习题能够求出当f ′（x）=0时x的值，也就容易判断其在区间上的单调性.但如果求导后无法直接求出 f ′（x） =0时x的值，该怎么办？

生：继续探讨导函数的单调性.

师：该怎么探讨呢？

生：对求导后的结果继续求导，通过对比二次求导后的结果和0的关系进行判断.

师：很好，请看下题：

例3 已知函数f（x）=a x +x 2 -x ln a（a>0，a≠1），求函数f（x）的单调区间.

解析 由f（x）=a x +x 2 -x ln a（a>0，a≠1），知函数定义域为R，

则f ′（x）=a x  ln a+2x- ln a=2x+（a x -1） ln a

生：此时无法判断f ′（x）和0的关系.看似无法继续作答，此时可换个思路，问题也就迎刃而解.

令g（x）=f ′（x）=2x+（a x -1） ln a，

∵a>0，a≠1，∴g′（x）=2+a x  ln  2 a>0，

表明 f ′（x） 是R上的增函数.又∵f ′（0）=0，因此，可知当x∈（-∞，0）时，

f ′（0）<0，当x∈（0，+∞）时， f ′（0） >0，

因此，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

可见抓住思维角度的内在联系设计对话反思，引领学生迁移思维方向，使问题的解决变得简单自然，整个过程不仅解决了一道题、一类题，也有效发展了学生的数学思维.

3 对话引领反思，深化数学体验

要提高反思的实效性，构建充满生命活力的数学课堂，应让学生们在师生对话的驱动下，不自觉的强化课堂反思，从中获得完善的数学体验，获得牢固清晰的数学知识与数学情感.因此，我们不妨挖掘解题活动中的数学内涵，以对话的方式进行课堂反思，让学生在活动中深化自身的学习体验，有效的发展数学能力.

反思问题三：若函数在某区间是单调的，该如何求解参数取值范围？

师：我们学习了怎样运用导数求函数的单调区间.如果知道函数在某区间上是单调的，我们该怎样求解参数的取值范围呢？

例4 函数f（x）= x ln x -ax，若函数在（1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围.

生：该习题和上述习题相比设问刚好相反，可根据条件中的单调区间，确定导函数在区间上的正负，通过等价转化进行作答.

师：很好.接下来，请同学们思考一下该如何解答如下题目：

生：因f（x）= x ln x -ax在（1，+∞）上为减函数，即函数的导数在该区间恒小于0，此时问题就转化为恒成立问题.

师：g（x）=- x 3 在（-∞，+∞）上为减函数，其导数在该区间恒小于0吗？

生：导数在该区间恒小于或等于0.

生：即，f ′（x）= ln x-1 （ ln x）  2 -a≤0，在区间（1， +∞） 上恒成立，即a≥ ln x-1 （ ln x）  2 ，令t= ln x>0，即 h（t） = t-1 t 2 =-（ 1 t ） 2 + 1 t =-（ 1 t - 1 2 ） 2 + 1 4 ，显然当t=2时，h（t）取得最大值，h（t） max =h（2）= 1 4 ，因此，a的取值范围为 [ 1 4 ，+∞）.

教师在对话中引导学生进行反思，在引导思维的同时也让学生有愉悦的情感体验.心理学认为人们的创造性和情感有密切关系，且情感具有强化、维持的作用.良好的情感体验对其思维能力的激发和培养有密切的关系，这让学生有十足的劲头，效率也会大大提高，甚至能发挥出不可取代的作用.这样的反思引领既能暴露思维误区获得知识情感体验，又能锻炼学生的逆行思维.

学生受到认知能力的限制，没有解题后反思的习惯也不明了反思的方向，平时也就做做错题订正，热衷于做大量题，这样无法扭转错误的思维定势，也无法掌握系统的数学思维，就无法发挥习题应有的功能.通过对话引领反思，学生在对自身学习经验的充分反思中深化对知识的理解，体验了发现的快乐，并在充分参与有效探索过程中建构知识，强化知识的多维联系.

导数教学中以简单的例题切入，并围绕例题设计反思问题，在课堂上与学生积极开展对话活动，既激活了数学课堂，又驱使学生不断的进行深入的思考，使学生对导数的作用有个更为全面、深入的认识与理解.同时，與学生对话后紧跟典型习题，要求学生思考作答，使得学生掌握不同题型的解题思路，能很好的促进学生解题能力的进一步提升，达成学科核心素养多向多样提升.

参考文献：

[1] 李晓燕.高中数学解题反思能力的培养研究 [J ].读写算，2020（29）：103-104.

[2 ] 茅伟.试论高中数学教学中实施“对话”的策略 [J ].知识文库，2020（15）：148-149.

[3 ] 吴秋华.高中数学解题过程中培养学生的反思能力探究 [J ].求学，2020（28）：43-44.

[责任编辑：李 璟]