应用“A”与“X”模型证明著名平面几何定理

曾娇 唐金芳 肖刚

摘 要： 在平面几何中，常会出现线段比或者线段积的证明问题，这些线段的处理，往往需要通过转化的数学方法.我们通常处理的手段就是作平行线，产生“A”字型与“X”模型这两种常见平行线分线段成比例模型 [1-2 ].本文就以梅涅劳斯定理、塞瓦定理 [3-5 ]为例，来阐述平行线在线段成比例的线段转化中所起到的重要作用.

关键词： 几何模型;著名定理;辅助线

中图分类号： G 632 文献标识码： A 文章编号： 1008-0333（2022）12-0020-03

收稿日期： 2022-01-25

作者简介： 曾娇（1991.5-），四川省隆昌人，硕士，讲师，从事中学数学教学研究.

1 基本模型

1.1 “A”型

如图1，在△ABC中，DE∥BC

结论： AD DB = AE EC ， AD AB = AE AC = DE BC ， DB AB = EC AC

注：代數中合比定理可由此模型理解.

1.2 “X”型

如图2，DE∥BC，DC与BE交于点A

结论： DA AC = AE AB = DE BC ， DA DC = AE BE ， AB BE = AC DC

2 平行线法在著名平面几何定理中的应用

2.1 梅涅劳斯定理

设A′、B′、C′分别是△ABC的边BC、CA、AB所在直线上的点（即三点中或一点或三点在边的延长线上），则A′、B′、C′共线的充要条件是（ ）.

BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B =1

证明

必要性：如图3，过A作直线AD//C′A′交BC的延长线于D，则： CB′ B′A = CA′ A′D ， AC′ C′B = DA′ A′B

故 BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B = BA′ A′C · CA′ A′D · DA′ A′B =1

充分性：设直线A′B′交AB于C 1，则由必要性，得到 BA′ A′C · CB′ B′A · AC 1 C 1B =1，又由题设有 BA′ A′C · CB′ B′C · AC′ C′B =1，于是 AC 1 C 1B = AC′ C′B ，由合比定理得 AC 1 AB = AC′ AB ，即AC 1=AC′，从而C 1与C′重合，故A′、B′、C′共线.

关于梅涅劳斯定理教学分析：

在△ABC中的“A′B′C′”称为“梅氏线”，对于梅涅劳斯定理结论而言，是一个关于线段比乘积的等式，右边的结果是1，如何才能让右侧的结果为1，左边是六条不同的线段，必须经过线段的转化后约分，怎样有效的变形？这个问题至关重要，也是本题解决问题的关键.我们通过观察，不难发现，六条线段分别分布在三角形不同的边或者延长线上，如果能将所有的线段转换到同一条直线上，本题就取得了实质性的突破.本题解法过A点作与“梅氏线”A′C′平行的辅助线“AD”，利用“A”型，将线段比 CB′ B′A 与 AC′ C′B 转化到BD上，得到 CB′ B′A = CA′ A′D ， AC′ C′B = DA′ A′B ，从而左侧线段比乘积得到变形，必要性得证.

在上述的证明过程中，我们的方法是作辅助线过点“A”作与“梅氏线”平行的辅助线

同理我们也作辅助线过点“B”或“C”作与“梅氏线”平行的辅助线，可以将六条线段转化在直线AB或者AC上，可得到不同的作辅助线方法，但原理一致.

如图4，作辅助线过点“B”作与“梅氏线”A′C′平行的辅助线“AE”，利用“A”型将所有线段比转化到AC上.

BA′ A′C = B′E B′C ， AC′ C′B = AB′ B′E ，

即 BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B = B′E B′C · CB′ B′A · AB′ B′E =1

证毕.

2.2 塞瓦定理

设A′、B′、C′分别是△ABC的边BC、CA、AB所在直线上的点（即三点中或一点或三点在边的延长线上），则三直线AA′、BB′、CC′共点或平行的充要条件是

BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B =1

证明

必要性：如图5，若AA′、BB′、CC′交于一点P，则过A作BC的平行线，分别交BB′，CC′的延长线于D，E，得： 图5

CB′ B′A = BC AD ， AC′ C′B = EA BC

又由 BA′ AD = A′P PA = A′C EA ，

有 BA′ A′C = AD EA

从而 BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B = AD EA · BC AD · EA BC =1.

如图6，若AA′、BB′、CC′三线平行，可类似证明. 图6

充分性：若AA′与BB′交于点P，设CP与AB的交点为C 1，则由必要性知 BA′ A′C · CB′ B′A · AC 1 C 1B =1，而题设有 BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B =1，由此 AC 1 C 1B = AC′ C′B ，

即 AC 1 AB = AC′ AB ，由此知C 1与C′重合，从而AA′、BB′、CC′三线共点.

若AA′∥BB′，则 CB′ B′A = CB BA′ .

代入已知条件有 AC′ C′B = A′C CB ，由此知CC′∥AA′.

故AA′∥BB′∥CC′.

关于塞瓦定理教学分析：

对于塞瓦定理结论而言，依然是关于线段比乘积的等式，右边的结果仍然是1，所以问题转化为对左侧线段的转化变形，作平行辅助线构“X”型， CB′ B′A = BC AD ， AC′ C′B = EA BC

将六条线段转化在一组平行线“ED”“BC”上.同理我们也可以将六条线段转化在另外两组平行线上，可得到不同的作辅助线方法，但原理一致.

2.3 梅涅劳斯定理与塞瓦定理

如图7，利用梅涅劳斯定理证明塞瓦定理：

设A′、B′、C′分别是△ABC的边BC、CA、AB所在直线上的点（即三点中或一点或三点在边的延长线上），则三直线AA′、BB′、CC′共点或平行的充要条件是

BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B =1

以共点为例：

在△ABC中：

△ABA′被直线CPC′所截：

AC′ C′B · BC CA′ · A′P PA =1 ①

△ACA′被直線BPB′所截：

AB′ B′C · CB BA′ · A′P PA =1 ②

由①②： BA′ A′C · CB′ B′A · AC′ C′B =1

反之：由塞瓦定理可以推导梅涅劳斯定理.

对于平面几何题，我们经常思考“一题多解”、“多题一解”等问题，有助于我们发散思维.解同一几何题，有不同的辅助线添加方法，则解题方法不一样.掌握基本几何模型以及作辅助线的技巧，一题就可能实现多解.著名平面几何定理的欣赏，有利于我们提升自己的几何素养.本文我们总结了两类模型以及在著名平面定理里的应用，两类模型的结论，均是与线段比例有关，所以，有关线段比例问题，可考虑这两类模型结论.转化线段的方法，在三角形的相似、线段积与线段比的数量关系、面积问题等方面有着广泛的应用.

梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松等著名平面几何定理的学习与研究，不仅可以培养学生的逻辑推理能力，增强学生的解题能力，而且可以向学生展现出平面几何的美，提高学生的学习兴趣.应用“A”与“X”模型证明著名平面几何定理，重点阐述作辅助线的技巧与依据，让学生迅速举一反三，类比迁移，有利于提高解题效率.

参考文献：

[1]张艳娇，李海东.“平行线分线段成比例定理”证法探析 [J ].中国数学教育，2018（3）：4-5.

[2 ] 林运来，陈毅贞.平行线分线段成比例定理的应 用6例 [J ].数理天地（初中版），2021（5）：1-2.

[3 ] 张奠宙，沈文选.中学几何研究 [M ].北京：高等教育出版社，2006.

[4 ] 沈文选.梅涅劳斯定理及其应用 [J ].中学数学教学参考，2003（7）：52-55.

[5 ] 周春荔.塞瓦定理及其应用（一） [J ].中学生数学，2020（3）：30-33.

[6 ] 于新华.梅涅劳斯定理与塞瓦定理的综合推广 [J ].中学数学，2005（10）：43-44.

[7 ] 夏顺友，陈治友，刘益波.“平面几何名题欣赏”的教学实践 [J ].贵州学院学报（自然科学版），2014，9（2）：34-36.

[责任编辑：李 璟]