人行桥人致横向振动的新型模型—IP-K 模型

贾布裕，茅思奕，陈扬文，颜全胜，余晓琳

(华南理工大学土木与交通学院，广东，广州 510640)

自从英国千禧桥及法国Solferino 桥等一系列人行桥大幅横向振动事件发生后，虽然人们已经开始广泛关注并研究人行桥的振动安全问题[1-14]，但事实上目前关于人行桥横向大幅振动的机理仍未得到明确的解释。关于人行桥横向大幅振动的机理，目前主要有2 大类较为受欢迎的模型：一种是同步锁定模型(synchronization locked model，SLM)；一种是倒摆模型(inverted pendulum model，IPM)。SLM 中具有代表性的有Fujino 的线性直接共振模型[11-12]和Strogatz 的相位同步耦合模型[15-17]。线性直接共振模型一般假设行人激励与桥梁响应无关，将桥梁大幅度横向振动视为由行人横向步频与桥梁某阶频率一致引起共振而造成，其中单人横向荷载可采用简谐函数表示。Strogatz 提出的相位同步耦合模型，其背景理论为生物学中的振子同步耦合理论，核心模型是日本学者Kuramoto提出的Kuramoto 模型[18-20]。起初，Kuramoto 模型研究对象是生物学中的“摆动将和同步相随”问题，如夜晚中萤火虫群体同步闪烁现象。Strogatz巧妙地将这一理论应用到了人行桥横向振动中[15]，建立了桥梁振动和人群个体相位变化耦合的方程组，并利用该模型的稳定条件解释了桥梁发散失稳现象。SLM 的核心假设是行人行走行为(尤其是步频)会受桥梁振动影响发生变化。当桥梁振动影响到行人行走舒适性的时候，行人的步频将发生变化，趋向于和桥梁振动同步，导致桥梁振动进一步增强；而桥梁振动增强时，又会进一步刺激更多的人群参与到与桥梁振动同步中，继而使桥梁振动更加明显，形成一个恶性循环。IPM 由Macdonald 等[5,21]提出。基于Mackinnon 等[22]和Hof 等[23]的人体平衡学，Macdonald 近似地把行人等效为一个由2 个交替的刚性杆支撑的质量体，并将行人横向力视为受人体平衡策略控制的重心惯性力，他认为行人是依靠调节步伐位置而不是步频来维持本身的舒适和平衡，而这个平衡控制策略来源于Hof 等[23]提出的人体平衡策略，即人体质心不会超过足压中心，并保有一定的安全裕度。值得注意的是，IPM 与SLM 的不同之处在于，其认为行人是依靠调节步伐位置而不是步频来维持本身的舒适和平衡，换言之，IPM 认为人-桥相互作用引起的自激力同样足够引起桥梁振动失稳，而行人同步锁定并不是桥梁振动失稳的前提条件。

除了理论基础不同，SLM 和IPM 还存在一个很大的不同：SLM 大部分是基于现场试验的宏观模型，而IPM 则属于基于室内试验的微观模型。事实上，一直存在着关于宏观模型和微观模型孰优孰劣的争论：微观模型本质上是一种基于数据反推的模型，无法正确描述横向大幅振动机理，采用微观模型者往往认为宏观模型过于粗糙，宏观模型得到的结果数据并不一定能反映实际情况；而采用宏观模型者则认为微观模型的试验环境和现场不一致(如人群效应、桥梁环境对行人行为的影响)。从既有的研究来看[9,21,24-28]，IPM 更具普适性。但IPM 存在着一个被质疑的问题：采用IPM 得到的对应于正常步频的速度同相自激力分量系数cp(或称为行人施加等效阻尼系数)远小于实测值(这导致其计算得出的振动失稳临界人数远大于实测人数)，如图1 所示。产生这个问题的根源在于，IPM 产生于室内试验环境，只能考虑单人在特定振动平台上(一般采用改装跑步机)的行走特性，不能考虑人群在实际桥梁中的行走特性，尤其忽视了真实存在的人群同步效应 (而这正是SLM 模型中的理论假设)。因此，有必要考虑兼容SLM 和IPM 的可能性。事实上，McRobie 的研究工作[29]已表明：如果在IPM 中考虑同步效应将会使其结果更合理些。遗憾的是，McRobie 虽然认识到了这点，但他并没有给出如何在IPM 中考虑同步效应的方法[29-30]。

图1 IPM 的cp 和实桥测试所得cp[1,31]Fig. 1 Curve of cp [1,31] predicted by IPM compared with those obtained from full-scale measurements

启发于McRobie 的工作，本研究提出了一种新型人行桥人致横向振动模型：IP-K(inverted pendulum―Kuramoto)模型。在所提模型中，采用McRobie 方法得到的考虑长期效应的IPM 解析解(正常情况下IPM 无解析解)，同时引入相位同步耦合模型—Kuramoto 模型(以便考虑同步效应以及桥梁振动对行人同步效应的影响)，经过细致推导，获得改进的IPM 模型(即IP-K 模型)。

1 IPM 长期效应解析解

1.1 IPM 模型

1.2 IPM 的长期解

图2 行人倒摆模型Fig. 2 Inverted pendulum model

2 相位同步耦合模型

2.1 Kuramoto 模型

Kuramoto 模型最初起源于集体同步现象研究：一个规模较大的振子系统自发地锁定在一个共同的频率上，尽管每个振子的固有频率存在着差异[35]。生物学上的例子包括：心脏起搏器细胞网络；同步闪烁的萤火虫群；蟋蟀齐声鸣叫等。在物理学和工程学中也有许多例子，如激光阵列和微波振荡等。集体同步在自然界中无处不在，一般被认为它与大脑中阿尔法节奏的产生有关。对集体同步问题研究具有开创性贡献的是日本学者Kuramoto[18]，他用摄动平均法证明了任何弱耦合的动力长期演变系统都可由以下的一般性相位方程给出：

图3 序参量示意图Fig. 3 Schematic of order parameter

2.2 基于Kuramoto 模型的桥上行人相位演化

相位同步耦合模型的基本思想是：系统中的各个振子频率最初是随机分布的，但如果外部刺激足够强大或者初始频率接近于中心控制频率时，各个振子频率将会与中心控制频率同步，并被锁定。行人作为一个生物体，受到桥梁振动或者其他周围行人运动影响刺激时，同样会发生人-桥同步锁定或者人-人同步锁定。本研究将只注重于人-桥同步锁定，暂不考虑人-人同步锁定。在人-桥同步锁定中，桥梁振动响应(幅值、速度、加速度)是对行人产生影响的刺激源，因此，在式(11)基础上，基于Kuramoto 模型的桥上行人相位演化可写为：

Θ˙i=ωi+Z(A,x˙,x¨)sin(Ψ-Θi),i=1,2,···,N(12)

式中：ωi为行人初始步频； Θi为行人运动当前相位， Ψ为桥梁振动相位。Strogatz 将桥梁振幅视为刺激源[15](Z(A,x˙,x¨)=EA)：

Θ˙i=ωi+EiAsin(Ψ-Θi),i=1,2,···,N(13)

其中，Ei为行人对桥梁振幅A的敏感系数。Eckhardt则将桥梁振动加速度视为刺激源[16]：Z(A,x˙,x¨)～x¨。本研究只考虑将桥梁振幅A视为刺激源的情况，同时设每个行人对桥梁振幅的敏感系数相等，即Ei=E。为直观展示相位演化过程，图4 给出了行人分别在桥梁零振幅、较大振幅谐波振动下的行人相位演化轨迹图(行人步频和桥梁振动频率的初始比值为1.05)。图4(a)对应的是桥梁振动幅度为零的情况，此时行人运动不受桥梁振动影响，两者之间频率比将保持不变，行人相位在每个周期会以固定角度(相对桥梁运动)滑移。对于桥梁较大振幅情况(图4(b))，行人相对桥梁的相位滑移程度在每个周期不同，当行人频率接近桥梁频率时，中间会经历一个间歇不连续的过渡过程，之后，行人的步频将会收敛于桥梁频率，同时两者之间有一个特定相位差，与初始相位差无关[30]。

图4 行人相位演化轨迹图Fig. 4 Trajectory of pedestrian phase evolution

3 IP-K 模型

3.1 人-桥振动控制系统方程

首先，直接给出桥梁振动的模态方程：

3.2 人群部分同步状态

通过下式将式(16b)转换为旋转坐标系中：

3.3 考虑人群部分同步的 cp修正

4 算例分析

英国伦敦千禧桥的跨径组成为北跨81 m+中跨144 m+南跨108 m。考虑到北跨有较为完整的关于临界人数的记录，因此将千禧桥北跨作为分析对象。千禧桥大幅横向振动事故发生后，Arup 公司组织人群进行了现场人致振动测试[1]，其获得的关键信息有：北跨的基频、模态质量、模态刚度、阻尼比分别为：1.03 Hz、113×103kg、4730×103kg/s2、0.006～0.008。同时在现场还观测到，大概150 人～170 人就能引起20 mm 左右的大幅横向振动。假设每个行人质量为75 kg，现采用上述方法对千禧桥北边跨横向振动进行分析。分别采用3 种模型：① Macdonald 提出的原始IPM(这里标记为IPM-1)；② McRobie 提出的IPM 长期解模型(这里标记为IPM-2)；③ 本研究所提模型(即IP-K 模型)，计算了千禧桥北边跨的cp值。由于Macdonald[5]只给出了IPM-1 的[κ0,κ1]=[0, 0](相对速度控制规则)和[κ0,κ1]=[0, 1](绝对速度控制规则)这两种步行规则的结果，因此这里先给出这两种步行规则的比较结果(图5)。本研究所提模型采用的其他主要参数设定如下：桥上行人数量Np=170；行人对桥梁振幅A的敏感系数E=12，柯西-洛伦兹分布尺度参数r=0.02(以上参数在后文不变，除非特殊声明—如参数分析)。

图5 不同模型的 cp结果比较Fig. 5 Comparison of cp results of different models

首先，忽略式(44)中的一次项和二次项，只考虑常数项(即g0)对cp的贡献，这里不妨将其称之为IP-K0 模型。这样处理目的在于暂不考虑桥梁振幅对行人激励的影响(即不考虑同步效应)，但这并不意味IP-K0 模型将等同于IPM-2 相等，尽管两者都是采用长期解模型，但必须指出的是IP-K0 模型虽然忽略了同步效应，但仍考虑了人群分布效应(行人步频的柯西-洛伦兹分布设定)，而IPM-2 是单人模型，无法考虑人群效应(IPM-1 同样如此)。图5(a)给出了IP-K0 模型与IPM-1 以及IPM-2 的cp-fr0(fr0为行人步频和桥梁横向基频之比的平均值)结果。总体上，三者曲线形状及趋势较为一致；且在fr0≈1(即行人横向步频接近桥梁振动频率时，或可称之为步频比分布中心，为简便，后文一律采用分布中心来指代fr0≈1位置)处附近，三者大小相差较小。尽管如此，不同模型间的cp值还是存在一定差距(尤其是IP-K0 和IPM-2)。首先，在图中可观测到，不同模型结果大致在分布中心处交汇，而fr0一旦稍离分布中心这个点，IP-K0 和IPM-2 的cp值差异将拉开；其次相比IPM-2，IP-K0 模型得到的结果较小，这主要是因为IP-K0 模型包含有人群分布效应(行人步频通过概率曲线分布，每人步频的分布区间不尽相同)，换言之，IP-K0 模型得到的是一个整体平均的结果，这间接表明了考虑人群效应的必要性。

图5(b) 给出了本研究所提的完整IP-K 模型值(即式(44)，考虑人群分布效应以及同步效应)与IPM-1 以及IPM-2 的比较结果。从图中可知，当[κ0,κ1]=[0,0]，IPM-2 在较低步频的区域(并非行人正常步频区域，行人正常步频为fp≈0.9～1.1, 桥梁结构振动频率为fs=1.03，fr0≈1 两侧附近区域才是行人正常步频区域)具有较高的cp值，而在行人正常步频区域却偏低，远远小于实桥测试得到的值，IPM-1 同样有这个现象，而这正是IPM 模型被诟病的所在，因为用非行人正常步频区域的cp去分析桥梁振动临界条件是不合理的。McRobie在其文中指出[29]：“Bocian[24]为了维护IPM-1 的合理性，提出在密集人群中行人可能减慢步频，可能低至0.6 Hz，以获得较高的cp值。然而，这和新加坡樟宜机场的测试结果相矛盾[31,37]：樟宜机场测试得到的cp值较高，而现场照片表明人群密度低，在相关的频率图中也没有证据显示行人步频有较大异常的减低。此外，认为密集人群会降低步伐的观点与IPM-1 支持者认为的行人步频总是很快因而无法与结构低频模式同步的观点相矛盾。这说明不应该忽视某些同步的可能性，而IPM模型完全忽视人群同步现象对桥梁大幅横向振动的潜在影响的设定并不一定合理”。从图中可以看出，本研究所提的考虑同步效应的IP-K 模型结果为一波峰形曲线，尽管在较低步频的区域(fr0≈0.7 附近)IP-K 模型的cp值仍然低于IPM-2 结果，但在分布中心区域，IP-K 模型的cp值却大幅提高，接近400，明显高于IPM-2 结果。显然，这个结果更合理，也更接近实测结果(图1)，有力证明了考虑同步效应的合理性。

当[κ0,κ1]=[0, 1]时，在fr0＜1 区域(图5(b)的左侧区域)，IPM 模型(IPM-2 和IPM-1)的cp很小，且大部分出现负cp值(相当于行人施加了正阻尼作用，进一步抑制振动)，而到了fr0＞1 区域(图5(b)的右侧区域)，cp值有所上升，但都偏少，离实测值较远。而IP-K 模型cp结果仍然为一波峰形曲线，在分布中心附近出现较大的峰值cp值，虽然在左侧区域也都较低，但没有出现负cp值的情况。

5 参数分析

5.1 步行控制规则参数κ0、κ1的影响

从[κ0,κ1]=[0, 0]和[κ0,κ1]=[0,1]这两种行人步行控制规则的对比结果中可知，这两者结果存在一定相似性，但也存在着较大差异性。在左侧区域，[κ0,κ1]=[0,0]的cp值明显大于[κ0,κ1]=[0,1]的结果，而在右侧区域，前者却小于后者。Macdonald在提出IPM-1 模型时[5]，曾指出实际的行人步行控制规则应该介于相对速度控制规则和绝对速度控制规则之间，即：[κ0,κ1]的实际合理值应该在[0,0]和[0,1]之间。不过在IPM-1 模型中，没有引入κ0、κ1的量化参数，只能给出相对速度控制规则(即[κ0,κ1]=[0,0])和绝对速度控制规则([κ0,κ1]=[0,1])这两种极端情况下的结果。后来McRobie[29]引入了κ0、κ1这两个量化参数，并分析了κ0∈[-1, 1]和κ1∈[-1, 1]多种组合工况的结果。在图5(b)中，额外增加了一组IP-K 模型在[κ0,κ1]=[0,0.5]规则下的结果。从图中可看出：首先，[κ0,κ1]=[0,0.5]的结果介于[κ0,κ1]=[0,0]和[κ0,κ1]=[0,1]之间；其次，[κ0,κ1]=[0,0.5]的cp峰值有所下降，但其峰值仍然高达320，与现场千禧桥的实测值基本一致(图1)，且位于行人正常步频区域； 还有， 相比[κ0,κ1]=[0,0]和[κ0,κ1]=[0,1]，[κ0,κ1]=[0,0.5]峰值处的频率更接近fr0≈1。

为进一步研究κ0、κ1取值对IP-K 模型cp的影响，选取了κ0、κ1分别取0、0.5、1 时的8 种组合(图6(a))；同时选取[κ0=0∶0.2∶1,κ1=0.5] (图6(b))、[κ0=0.5,κ1= 0∶0.2∶1] (图6(c))10 种κ1和κ0分别固定时的组合工况。各种工况的cp结果示于图6，可知：

1) 首先，组合[κ0,κ1]=[1,1]的结果看上去是最不合理的，这意味着在行人步行控制规则中完全包含桥梁振动位移和桥梁振动速度是不合理的。

2) 其次，在图6(a)中观测到，κ1不超过0.5时，cp值在低频段(左侧)一般高于高频段(右侧)，峰值一般位于低频段，而当κ1为1 的结果则相反。这意味着κ1取较大值时会改变曲线趋势，产生不合理的结果，因此κ1值不应取太大。

3) 再有，考虑κ1固定为0 的情况，可以发现，在步频中间大部分区域，κ1=0 的三条曲线大致平行，且cp随着κ0的增大而减少。类似的，考虑κ1固定为1 的三种组合情况，在除了左、右两端的步频中间大部分区域，三种组合下的cp曲线大致平行，且cp随着κ0的增大而减少，这说明在步频中间区域，cp值和κ0呈一定的递减线性关系(这一现象在图6(b)的κ1=0.5 固定组合工况结果中显得更为清楚)。

4) 在图6(a)中和图6(c)中可知，当κ0固定，不同κ1值的曲线间则不存在这种平行关系，它们会交叉与同一个点，间接说明cp与κ1之间存在较强的非线性关系。

图6 IP-K 模型在不同κ0、κ1参数组合下的 cp结果Fig. 6 cp results of IP-K model under different combinations of parameters κ0 andκ1

5) 从图6(a)、图6(b)、图6(c)中，可知κ0、κ1取值对曲线峰值位置具有不同的影响。可以观测到，当κ1取值为0 时，峰值对应的频率比位于分布中心的左侧，而当κ1取值为1 时的峰值对应的频率比位于分布中心的右侧，当κ1取值为0.5 的峰值对应的频率比位置介于κ1=0 和κ1=1 这两种结果的中间；而固定κ1，改变κ0对峰值位置分布并不产生影响(图6(b)的结果尤为清楚)。综上，可知κ0会对cp值产生影响，但这种影响是“线性”影响：随着κ0变化，曲线会整体上升或下降，对改变曲线整体形状的改变影响很小；而κ1除了会对cp值产生影响，对曲线峰值位置的改变也具有重要影响。

由上述分析可知，κ0和κ1取较大值会偏离实际，参考McRobie 的做法，采取一种折中的方式，同时综合图6 的结果，这里将[κ0,κ1]=[0,0.5]视为一组较为合理的值，并将其应用于后续分析中。

5.2 行人人数 Np的影响

5.3 柯西-洛伦兹分布中尺度参数r的影响

图7 不同 Np下的〈〉-fr0Fig. 7 〈〉-fr0 under different Np values

5.4 行人对桥梁振幅的敏感系数 E的影响

图8 不同下的〈-fr0Fig. 8 〈〉-fr0 under different r’s

图9 不同 fr0下的〈csp〉-E曲线Fig. 9 〈csp〉-E under different fr0’s

5.5 参数耦合分析

6 振动稳定分析

图10 不同参数组合下的三维结果Fig. 10 3D results with different parameter combinations

图11 Λa1 、 Np 、 fr0不同组合等势线图Fig. 11 Contours of Λa1 , Np andfr0

7 结论

传统IPM 模型没有考虑人-桥梁之间的同步效应，得到的对应于正常步频的速度同相自激力分量系数cp小于实测值。针对这个问题，本研究提出了一种新型人行桥人致横向振动模型：IP-K 模型。在所提模型中，首先，桥上行人激励模型以IPM 作为核心基础，并考虑IPM 长期效应以便得到解析解；其次，为了弥补IPM 缺少对同步效应考虑的缺陷，引入Kuramoto 生物同步模型考虑行人-桥梁之间的同步效应。同时，所提模型采用柯西-洛伦兹分布来模拟人群中的行人步频分布，将IPM 适用对象从单个行人扩展至人群，并基于此考虑了人群和桥梁之间同步效应引起的影响。采用所提的方法分析了千禧桥北跨的人致横向大幅振动问题。所提模型得到cp结果和现场测试结果吻合，验证了本研究所提方法的有效性。在本研究中得到的主要结论有：

1)原始IPM 模型只有在非行人正常步频区域才能取得较高的cp，相比之下，经修正后得到的IP-K 模型可以在正常步频区域获得和现场实测结果一致的较高cp值，有力说明了考虑人群和桥梁之间同步效应的必要性。

2)行人步行控制规则的设定对以IPM 为基础的模型影响很大，在IP-K 模型的参数分析中可知：[κ0,κ1]的实际合理值应该在[0,0]和[0,1]之间，同时κ1值不应取太大；cp值和κ0整体上呈递减线性关系κ0变化，曲线会整体上升或下降，对改变cp曲线整体形状的改变影响很小)，而cp与κ1之间存在较强的非线性关系(κ1除了会对cp值产生影响，对曲线峰值位置的改变也具有重要影响)；[κ0,κ1]=[0,0.5]是IP-K 模型较为理想的选择。

3)通过对行人人数Np、柯西-洛伦兹分布中尺度参数r、以及行人对桥梁振幅的敏感系数E的参数分析，可知：IP-K 模型的〈csp〉值在分布中心两侧附近随着Np的增加而增加，但在其他的低频和高频区域，Np对cp总值影响甚微；r的改变会影响〈csp〉的分布和大小，尤其会影响分布中心区域的〈csp〉峰值大小，显示了人群同步效应对桥梁振动不可忽视的重要影响；E和〈csp〉的关系存在突变现象，两者关系总体上可以分为两个阶段：首先是前期的缓慢增长阶段，而后是快速增长阶段，最后是相对平滑增长阶段；Np、r和E存在不同程度的耦合效应，其中r和E的耦合效应较为明显。

4)fr0的分布位置对稳定判断Λa1有着重要影响，fr0分布的最不利位置在fr0≈1.01 处，fr0对Λa1的影响也和人数Np相关， Λa1对fr0的敏感度随着Np的增大而明显增大。

虽然目前已有不少学者开展了关于结构人致振动(包括桥梁、房屋人致振动)问题的研究，并在近期取得了不少成果[9,10,13,28,38-45]，但由于该问题的复杂性，人们对其中深藏的机理仍缺乏足够的认识，本文所提模型将有助于揭示其中部分机理，并为后续研究提供一个思路。在所提模型中，大部分参数具有通用性，如人的桥梁振幅敏感系数和行人脚步行进规则参数κ0和κ1(这些属于人体生物本能特性)以及柯西-洛伦兹分布的尺度参数r(虽然和不同区域种族有关，但从整体层面上看，还是可以假设其变异性不大)，而只有个别参数和实际桥梁结构相关，如行人步频和桥梁频率的频率比fr0。然而，由于目前研究工作侧重点在于理论模型的提出，尚未展开现场实桥试验，人的桥梁振幅敏感系数、柯西-洛伦兹分布的尺度参数目前是按一般情况设定，其精确值还需将来实验数据的进一步验证核实。除了这个局限，本文所提模型并未考虑IPM 模型中产生的加速度同相分量(即忽略了系数 ρ)以及人-人同步锁定效应。针对这些局限性问题(尤其是基于实桥试验结果的验证工作)，将来将展开重点研究，进一步改进和提高所提模型的性能。