整合与创造，将学生的数学思维引向深处——以“函数的零点”教学为例

⦿武汉市第二中学 陈 锟

⦿湖北大学附属中学 章雄钢

1 引言

新一轮高中数学课程改革，凸显了思维是教与学的核心，是学生数学核心素养整体发展的基础.美国课程学者施瓦布认为：课程是一个相互作用的“生态系统”，它是建立在对课程意义的“一致性解释”基础上，通过这个“生态系统”要素间的相互理解、相互作用，实现学生学习需求的满足和德性的生长[1].教师、教材、学生、环境构成学习的生态系统.思维型课堂教学理论认为，激发动机、产生认知冲突，学生自主建构、自我监控、应用迁移是课堂的学习生态系统.教师在这个生态系统中起着方向标作用.教师方向标作用体现在三个方面：一是整理课程素材，整合学习要素，创造性设计指示牌——教学设计；二是课堂教学过程中的引导与启发；三是学生学习过程中利用各种评价激发学生.总体上，这个方向标分阶段地“把学生的数学思维引向深处”.本文中以“函数的零点与方程的根”为例谈一谈教师如何进行教学设计.

2 教学设计的基础——整理

周恩来总理在《我的修养要则》谈到他的学习方法和原则：抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多……要注意检讨和整理，要有发现和创造[2].这给教师进行教学设计提供了有效路径，即整理是教学设计的基础和前奏.情境认知理论认为，学习是学习者与学习情境之间产生关系，而产生关系的关键就是由情境建立的学习支架.数学学习置身于问题情境、系列任务情境、人与人之间的情感交流情境，能实现以学为中心的教学实践，将情境认知与学习实践相结合，才能实现高效学习.同时，具身认知理论认为，学生的学习应该是身体、环境、认知三者交互作用、共同参与，学生用整个身体进行学习，这就是一种“具身认知”，做到“手—脑—心”“实践—感知—思考”“身体—心理—灵魂”为一体.数学学习过程，需要从零维逐渐升级到二维，乃至高维.零维即找到一个“点”，实现入“境”;一维即连一条“线”，保持学习的持续性;二维即筑一个“场”，整体建构知识结构.根据上述认知理论，教师整理课程素材主要包括以下几类.

第一类，学习目标.根据高中数学课程标准(2017年版),确定知识目标、能力目标，明确培养学生数学核心素养的要点.以人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.5.1节“函数零点与方程的解”第一课时为例，课程标准中知识目标定位为“结合学习过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系”，“结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在性定理”[3].能力目标定位为“能够从函数观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解；能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式”[3]，体现对学生“化归与转化思想”“数形结合思想”“函数与方程思想”等数学思想方法运用能力的培养.用知识与能力的培养提升学生“数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理”[3]素养.

第二类，学情信息.整理学情信息主要包括学生的知识结构，认知能力，学习行为特点，学习可能遇见的障碍等.从知识结构与认知能力看，学生在学习一元二次函数的零点的过程中，已经初步理解了一元二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备.但学生对函数认知具有局限性，对高次函数在定理的导出过程中，涉及到将形转化为数、从几何直观到代数表达的过程，如何在初学函数零点存在定理后对其加以正确应用等具有一定难度.具有不同学习行为特点的学生还可能遇见其他学习难点，这需要在整理学情信息时结合本校学生具体学习行为特征.

第三类，教学资源.一份优秀的教学设计，包括教师个人对课标、教材、学情的准确把握，同时也包含教师对他人成果的借鉴.因此，教学资源的整理包括两个方面的内容：一是教师基于学情对教材内容的整理;二是利用知网、万方等各种数字资源平台搜集资源，这类资源包含对知识的理解、对教学的理解、教学方案设计、学习行为分析、习题与测评等.

3 教学设计的技术——整合

日本东京大学大学院教育学研究科教授，教育学博士佐藤学在《教师的挑战——宁静的课堂革命》一书中提到：“在教学中教师的中心工作在于‘倾听’‘串联’‘反刍’.其中，串联是教学的核心.”汤超颖、鲁小凡在《整合式创造性教学》一书中将“串联”用“整合”来表达，训练学生联合调动若干知识和技能，来解决复杂的情境.核心是整合情境——一个包括主要信息、干扰信息，并运用先前学习的一个复杂情境，具体分两步完成:第一步是建立系列的链接，如新旧知识的链接、学生个体与整体的链接、知识与问题的链接、知识与情境的链接、学习活动之间的链接、课内与课外的链接、课本知识与现实社会生活的链接等等；第二步是结合学情，整合学习素材、教学活动要素、学习评价要素等.

做教学设计时，如何实现整合？一般地，可以从教学设计系统的六个要素进行分部整合，整体把握，根据教学的功能，确定每一部分的整合点.如表1，“函数的零点与方程的根”第一课时教学设计的整合技术，为我们的常态教学设计提供示范.

表1 “函数的零点与方程的根”教学设计的整合

在整合中，不仅关注知识目标，更关注能力目标；不仅关注学生的学情(如知识水平、学习动机等)，而且关注面向新的问题时学生的学习方式；不仅关注学习环境、学习工具，更关注教对学的作用，如教学活动、教学支架等.从整合的系统来看，师生双方作为真实个体投入到教育过程中，进行积极的对话，各自敞开自我、相互倾听、相互理解、相互吸引，让数学学习“活”起来，实现线性→交叉——教学流程的整合，零散→系统——教学内容的整合，先教→让学——教学方式的整合，让思维贯穿教与学，让学习真正发生.

4 教学设计的燃点——创新

根据整合的结果，结合学生学习的认知规律及个性特点，选择合适的教学支架，有创新地设计学习过程中的燃点，即激发学习动机、产生认知冲突、引导学生自主建构的学习情境，学生在该情境中“具身参与”，逐步深化个人思维深度，逐步理解知识的内涵和外延，逐步达到学习目标.在“函数的零点与方程的根”第一节的教学设计中，以问题串为教学支架，通过问题引导学生分步思考问题，学生在问题解决中逐步将思维走向深处.

问题1：类比二次函数零点的定义，你能给出一次函数y=ax+b(a≠0)零点的定义吗？

设计意图：学生由二次函数零点的定义类比得到一般函数零点的定义，即将函数零点的概念直接抽象化，这对学生是比较困难的.从学生熟悉的一次函数入手，贴近学生的“最近发展点”，为抽象形成概念做铺垫.

问题2：对于一般函数y=f(x)，你能给出y=f(x)零点的定义吗？

设计意图：经过前面一次函数零点的过渡，学生由特殊到一般、由浅入深、循序渐进自然地类比得到一般函数零点的定义.

问题3：填表，分析表格及函数图象，你有什么发现？

函数零点简图y>0时,x的取值范围y<0时,x的取值范围y=x2-x-2y=x2-2x+1y=2x-1y=3(x-1)(x+1)(x+2)

图1

设计意图：表格中涉及到二次函数、一次函数、三次函数的零点问题，通过求对应方程根、画出函数图象，加深学生对“零点”概念的理解，同时让学生从函数、方程、图象三个角度认识同一现象，深刻认识函数的零点、函数图象与x轴的交点横坐标、方程的根三者之间的等价关系，掌握零点的求法，并尝试由特殊到一般归纳出连续函数零点的性质.

问题4：对于二次函数f(x)=x2-2x-3，观察它的图象(如图1)，计算它的函数值，在零点所在的区间，函数图象与x轴有什么关系？

x-3-2-1012345f(x)f(x)与0的大小关系

设计意图：以熟悉的二次函数为研究对象，学习者亲自动手，探索规律，得出结论，猜想定理.

问题5：(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列三种情况下经过A，B两点的可能的函数图象.你能得出函数零点存在的条件吗？

图2

(2)如果将“图象是连续不断的一条曲线”去掉，上述函数y=f(x)在区间[a,b]上仍然满足f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在零点吗?(如图2)

(3)将(a,b)换成[a,b]，结论还成立吗？

(4)不满足定理条件，函数y=f(x)在区间(a,b)内一定不存在零点吗？

(5)定理能判定零点的存在性，能判定零点个数吗？

(6)怎样修改条件,使函数在区间(a,b)上只有一个零点？

设计意图：通过问题串，引导学生从特殊到一般探究函数零点存在的条件，得出定理，剖析定理的作用，明确定理关键条件的不可或缺.

问题6：判断方程lnx+2x-6=0是否有解？如果有解，请问有几个解？

设计意图：学生可以利用函数的图象解决问题，也可以用零点存在性定理结合函数的单调性解决问题，也可以用两个函数交点解决问题.让学生真实感受到函数的图象与性质在研究方程解的妙用，并产生解精确性问题，为 “二分法”的学习埋下伏笔.

问题7：研究下列问题，请你谈谈本节课的收获.

(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x1234567f(x)239-711-5-12-26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有( )个.

A.5 B.4 C.3 D.2

(2)函数f(x)=-x3-3x+ 5的零点所在的大致区间为( ).

A.(-2，0) B.(1，2) C.(0，1) D.(0，0.5) (3)已知f(x)=|x2-2x-3|-a，那么实数a取何值时能分别满足下列条件？

①2个零点;②3个零点;③4个零点.

设计意图：整理思想方法，灵活应用解题，延伸课堂思维，增强应用意识.

5 总结

函数零点方程根，形数孪生相伴情.图象连续是条件，零点存在端点探.一首小诗总结了函数的零点是函数与其他知识链接范例，它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起，将局部研究与整体研究有机结合，培养学生利用数学知识解决问题的能力.在整理中发现，在整合中思考，在创新中实践，合理利用二次函数零点作为“已知区”“最近发展区”，通过问题串探索函数零点“未知区”，学生在一个个问题解决的过程中逐渐走向思维深处，建构有序的思维路径.伴随着“算”方程的根，“画”函数图象，“判”函数零点，学生充分运用函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想方法，实现知识的整合，学法的创新，让数学的学习“自然而然”地发生.