自旋效应对带电粒子与双层二维电子气相互作用的影响

陈 爽，李春芝

（内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028043）

高能（从几百keV到几GeV）强离子束与固体靶发生相互作用时能产生高能密度物质，这在高能密度物理［1-4］和惯性约束聚变［5-6］等领域是十分重要的研究课题。当高能离子在固体表面附近移动时，它与固体靶中的电子发生相互作用从而损失能量，因此，研究固体靶中电子对高能粒子的反作用-阻止力也成为人们研究的重点内容之一。

对阻止本领（阻止力的负值）的早期研究见于BOHR［7-8］的经典理论和BLOCH［9］的量子理论研究中，随机相位近似（random-phase approximation RPA）［10-11］和两体碰撞（binary collision approach）介电理论［12］是当时最为广泛使用的研究方法，但这2种方法仅适用于理想的等离子体和弱相互作用。在之后对阻止本领的研究中，量子散射理论（quantum scattering theory）和密度函数理论（Density functional theory）等也被广泛使用。近年来，量子流体动力学模型（Quantum Hydrodynamic model）［13］作为一种自恰方法用于对简并量子电子气的阻止本领问题的研究，该方法能够得到量子统计效应和量子衍射效应［14-15］。MARKLUND等［16］提出用自旋量子流体动力学模型（spin quantum hydrodynamic model）研究考虑自旋效应的量子等离子体问题，从而获得明显的自旋量子效应。研究发现［16］，如果在量子等离子体中的磁场强度达到108T，自旋效应将变得非常重要，但遗憾的是这样巨大的磁场更多存在于脉冲星和磁星周围，而在实验室条件下能够获得的磁场强度不超过103T，因此自旋效应在实验室条件下很难被观察到。ZHANG等［17］通过采用线性化自旋量子流体动力学模型研究了存在外磁场情况下带电粒子与单层二维电子气相互作用时自旋效应对阻止本领和电子气密度扰动情况的影响，笔者将在此基础上进一步研究自旋效应对带电粒子与双层二维电子气相互作用的影响。全文采用Gauss单位制（cm-g-s）。

1 理论模型

在笛卡尔坐标系R={r,z}内，如图1所示，由石墨烯构成的双层二维自旋量子电子气（2DSQEG）分别位于z=0（平面1）和z=d（平面2），其余（z≠0,z≠d）为真空，其中，r=(x,y)是两平面内任意一点的位置矢量，d是两平面间的距离。在平衡状态下，石墨烯平面内单位面积上自由电子和不动的离子数目相等，即ni0=ne0=n0。考虑一个电量为Z1e的带电粒子，沿x方向以恒定速度v=vêx在双层石墨烯平面上方且平行于石墨烯平面运动，该带电粒子的密度可表示为ρext=Z1eδ(r-v t)δ(z-z0)，其中，z0(z0＞d)是带电粒子与平面1的距离，则均匀的电子气在该带电粒子作用下发生微小扰动，从而形成带电的流体，其速度场为ue(r,t)=uej(r,t)，扰动电子气密度ne(r,t)=n0+nej(r,t)，uej(r,t)和nej(r,t)分别代表速度场和电子气密度的一阶微扰（j=1和j=2分别对应于平面1和平面2）。为了研究自旋效应对粒子与石墨烯平面相互作用的影响，考虑有一个与带电粒子运动方向相同的变化磁场B={Bx(x,t),0,0}，其中，Bx(x,t)=B0ei(k0x-ω0t)，此时，变化的磁场将与电子的自旋角动量发生相互作用，从而对电子气密度的分布产生一定的影响。为此，采用线性化自旋量子流体动力学模型［17］，得到线性化连续性方程。

图1带电量为Z1 e的带电粒子以恒定的速度v=v êx沿x轴方向平行于双层石墨烯平面运动Fig.1 A charged particle Z1 e moves with constant speed v=v êx and parallels to the double layered graphene sheet along the x direction

当带电粒子在双层石墨烯平面上方运动时，石墨烯平面内的电子气在库仑力的作用下发生扰动，使入射粒子前方附近的电子数远少于其后方的电子数，从而形成了与入射粒子运动方向相反的电场，该电场对入射粒子的反作用使其不断损失能量，作用在入射粒子上的这个电场力称为阻止力。根据感应电势表达式（10）可以得到阻止力的表达式

为方便起见，计算中引入无量纲化参量：ω/ωp→ω，ω0/ωp→ω0，ky/kF→ky，k/kF→k，k0/kF→k0，v/vB→v，l/λF→l，其中，vB=e2/ℏ为波尔速度，λF=1/kF为费米波长，l表示任意与长度有关的参量。同时，在无量纲化过程中，引入了Wigner半径它是一个与均匀状态下电子气密度相关的参数，m0=μB B0是与磁场强度相关的量（m0=1 meV时，对应磁场强度B0≈17 T）。在以下的计算中，考虑入射粒子为质子，即Z1=1，电子气密度参数rs=2.0，两个石墨烯平面间的距离d=λF，入射粒子与平面1的距离为z0=3λF，摩擦系数γ=γ0=0.02ωp，入射磁场的角频率ω0=0.1ωp，而磁场强度参量m0和入射磁场的波数k0是变化的。此外，计算中采用运动坐标系，即以入射粒子在平面1内的投影为坐标原点，该点和入射粒子以相同的速度沿x轴方向运动。

2 计算结果与分析

在图2（a）～图2（d）中，分别计算了电子自旋向上和向下时，不同磁场强度m0=0 meV，10 meV，20 meV，30 meV对平面1和平面2内感应电子气密度ne1和ne2（已用n0无量纲化）沿x轴方向分布的影响，取v=2.0vB。

图2 不同磁场强度对平面1和平面2内自旋向上和向下时电子气密度ne1和ne2（已用n0无量纲化）沿x轴方向分布的影响Fig.2 The influence of different magnetic field strengths on distribution of the electron gas density ne1 and ne2（dimensionless by n0）for spin up and spin down in plane 1 and plane 2 along the x axis direction

从图2可以看出，当入射粒子在平面2上方附近沿x方向运动时，由于极化和激发作用，在入射粒子后方出现了非对称的振荡的尾流现象。由于考虑了自旋与外加磁场的相互作用，与无外磁场（m0=0 meV）的情况相比，电子气密度分布出现了以无磁场时的振荡曲线为包络线的波长更短的振荡，这是由于外加磁场对电子气进一步作用后的叠加的结果，这一点可以从公式（8）和公式（9）的最后一项看出。随着磁场强度的增大，磁场对自旋向上和自旋向下时电子气密度的影响明显不同，当电子自旋向上时，如图2（a）和图2（c）所示，ne1和ne2的振荡均随磁场的增大而变强；当自旋向下时，如图2（b）和图2（d）所示，在入射粒子所在位置（x=0）附近，ne1和ne2的振荡幅值是随着磁场的增大而减弱的，这说明在入射粒子所在位置附近，磁场使自旋向上的电子振荡加强，而对自旋向下的电子的振荡起到了抑制作用。此外，由于平面1距离入射粒子较远以及平面2对其的屏蔽作用，使得ne1的振荡的幅值小于ne2的振荡幅值，与自旋向上和向下无关。

图3（a）和3（b）分别计算了当电子自旋向上和向下时，不同入射磁场对阻止力随速度变化的影响（已用F0=(Z1e/aB)2无量纲化）。从图3中可以看出，由于两个平面内产生的感应电场之间的相互耦合作用，使入射粒子随速度变化曲线出现了明显的双峰结构，在低速区域（v＜2.5vB），电子自旋向上时，阻止力随磁场强度的增大而减小，而电子自旋向下时却相反，两种情况下双峰的位置均不受磁场变化的影响。此外，在高速区域（v＞2.5vB），与无外磁场情况（m0=0 meV）时的单调递减相比，受入射磁场振荡项ei(k0x-ω0t)的影响，阻止力随速度变化曲线出现了明显的振荡递减的情况，振荡的幅值随磁场强度的增大而增大，而速度一定时，与自旋向上和自旋向下所对应的振荡方向是相反的。此外，从图3中还可以看出，磁场强度对双峰的位置和相对大小影响不大，说明外加磁场对两平面内电子气所产生的感应电场之间的相互耦合作用影响较小。

图3 不同外加磁场对自旋向上和自旋向下时阻止力随速度变化的影响Fig.3 Influence of different magnetic fields on the stopping force changing with speed for spin up and spin down

图4（a）和图4（b）分别计算了电子自旋向上和向下时，不同入射电磁波的波数k0=0.0kF，k0=0.5kF，k0=1.0kF，k0=2.0kF对阻止力随速度变化的影响，取磁场强度参量m0=30 meV。从图4（a）中可以看出，在低速区域（v＜2.5vB），当电子自旋向上时，阻止力随k0的增加而变小，而自旋向下时却出现相反的趋势。在速度较高的区域（v＞2.5vB），曲线均出现了明显的振荡衰减的情况，振荡的周期和幅值均随k0的增大变小，对于给定的速度，电子自旋向上和向下时所对应的振荡方向是相反的。此外，从图4中还可以明显看出，入射磁场的振荡波数k0对双峰的位置和相对大小影响不大，说明其对2个电子气平面之间的耦合作用影响很小。

图4 不同外加磁场振荡的波数k0对电子自旋向上和自旋向下时的阻止力随速度变化的影响Fig.4 Influence of wave number k0 of different external magnetic field oscillation on the stopping force changing with speed for spin up and spin down

3 结论

笔者采用线性化自旋量子流体动力学模型研究了有外加变化的磁场时自旋效应对带电粒子与双层二维电子气平面之间相互作用的影响。结果表明，当考虑电子的自旋效应时，外加磁场对扰动电子气密度的振荡有一定的影响，在入射粒子所在位置附近，磁场使自旋向上的电子振荡加强，而对自旋向下的电子的振荡起到了抑制作用，在距离入射粒子较远处，无论电子自旋向上还是向下，磁场的作用均使振荡加强。此外，外加振荡磁场的振幅和波数均对阻止力随速度变化曲线有一定的影响，在高速区域均出现了振荡衰减的情况。