初探数学问题提出能力的测量

刘晶晶 王朝霞

摘 要：培养学生的问题提出能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的目标之一。PTA（基本要素分析法）量表作为测量开放性问题的评价工具，具有较强的可操作性。文章以数学问题提出能力为阐述与分析对象，按照确定构成要素、明确评价指标、细化二级指标、赋予指标权重、形成量表这五个步骤编制PTA量表，以评判学生的问题提出能力，为一线教师测量并培养学生数学问题提出能力提供参考依据。

关键词：数学问题提出能力;PTA量表;开放性问题评价工具

作者简介：刘晶晶（1998—），女，衡阳师范学院数学与统计学院，硕士研究生在读。

王朝霞（1998—），女，衡阳师范学院数学与统计学院，硕士研究生在读。

引 言

一直以来，问题解决都是数学教育中的重点问题，“问题提出”出现的时间虽相对晚于“问题解决”出现的时间，但问题提出现在越来越受到理论和实践领域的关注。已经有不少的学者对问题提出进行了研究，其中，聂必凯认为问题提出是指通过探索情境产生新的问题，或是对问题解决过程的再阐述[1]。Antonia Stoyanova认为数学问题提出是指以学生已有的数学经验为基础，对所给的具体情境表达自己的见解，并提出有意义的数学问题的过程。良好的数学问题提出能力可以使学生主动学习数学并帮助学生提升解决问题的能力。但是目前测评学生数学问题提出能力的方法还比较少。对于数学问题提出能力的开放性问题评价工具主要有solo分类评价理论和PTA量表两种评价方法。其中PTA量表对论文型的开放性试题的判定效果更佳、可操作性更强[2]。

一、PTA量表简介

PTA又名基本要素特征分析法，其理论假设是有一连串基本要素构成行为与认知的表现，这些要素是构成学生知识、技能与行为表现的基本单元，对在这些基本单元中的行为表现进行评价，那么学生在完成这些基本单元的过程中所体现的总体特征便能得到较为恰当的评价。

二、问题提出在课程标准中的地位

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的教学目标之一是提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，并在综合和实践课程的基础上提高学生对问题、应用和创新的认识，对不同学习阶段的学生提出数学问题的能力做出了不同的要求。此外，培养学生科学探究的能力是目前我国素质教育的一大任务，提出问题的能力是科学探究能力的重要部分，较强的问题提出能力是具备较好科学探究能力的前提。

三、PTA量表的编制

根据PTA量表的理论假设，教师可以将数学问题提出能力划分为若干个基本要素，然后分别确定这些要素的评价指标与权重，最后对评价指标进行细分形成评价标准，具体编制过程有以下步骤。

（一）确定构成要素

学生要想提出数学问题，一是要在学习数学的过程中打好理论知识基础，积累活动经验;二是需要对数学具有好奇心，想知道某一公式或某一结论的形成原因，想对其一探究竟，心中渴望了解为什么会得出这一公式或结论。这种好奇心其实是大脑普遍具有的一种问题意识，即人们结合了自己目前已有的知识储备和对生活的体验感知，在头脑中形成对想要研究的问题的初步想法，然后对初步想法进行加工整合，形成问题，再提出来，所以问题意识是考量问题提出能力的第一个基本构成要素。提出问题之后，问题的质量越高，价值也就越高，就更会被其他人重视，所以提出问题的质量是考量问题提出能力的第二个基本构成要素。人们有了提出问题的意识，还需将问题用数学语言加工，再严谨地表述出来，问题表述能力就是考量问题提出能力的第三个基本要素。综上所述，数学问题提出能力的基本构成要素有三，分别是问题意识、提出问题的质量、问题表述能力。

（二）明确评价指标

问题意识是指学生在头脑中对数学问题产生的初步想法，教师若想从纸笔测验中检测出学生的问题意识，可操作性不强。为了解决这一问题，更好地对学生的问题意识进行测评，我们可以将提出问题的数量作为测量问题意识的一个二级指标。但仅仅靠提出问题的数量这一个指标来衡量问题意识是不足的，还需要让提出的问题与数学情境相关，而不是提出一些与数学情境无关的问题，这样才能对问题意识这一指标作出比较完整的评价，因此我们将提出的问题是否具有数学情境性作为问题意识的另一个二级指标。例如，教师设计如下提问条件：对于图1所示的台球桌上，有一个球从桌子的左下角顶点A出发，当球击中桌子的一边，再45°角反弹，连续撞击三次，最后落入定点B处的洞口。请以此情形为基础，提出并写下一些有趣的问题。如果学生在该题中提出的问题为“台球桌上一共有多少个球”之类的问题，则视为提出的问题不包含数学情境，这样，即使提出问题的数量足够多，也不能说明该学生的问题意识很强。对于所给的情境，只有学生提出问题的数量较多并且所提出的问题具有数学情境，才能说明学生具有较好的问题识。

提出问题的质量是评价数学问题提出能力的基本核心要素，笔者在进行测评时，对提出问题的质量进行了五个二级评价指标的细化。

1.根据所给的情境，提出可解性问题

教师对学生进行数学问题提出能力测评时，只需要学生提出问题即可，不需要学生在测评卷上进行解答。解决问题是提出问题的最终目标，学生所提出的问题是否能根據题目中的已知条件和自己补充的条件进行解答是一个重要的评判因素。如果学生提出的问题根据所有已知条件仍不可解，那么说明学生在进行问题提出时逻辑不够严谨、问题质量较低。综上，可解性可以作为提出问题的质量的一个二级指标。

2.根据所给情境，提出合理性问题

根据所给问题情境，使用给定的信息，学生提出的问题是可解决的，但是如果学生所提问题给定的信息和答案可能是不合理的，并且大概率不可能在现实生活中实现，那么，这样的问题则不具备实际应用性。基于此，笔者将合理性作为提出问题的质量的一个二级指标。

3.根据所给情境，提出复杂性问题

一个问题的数学结构或者代数形式，可能会使它更难解，在这种情况下，问题的数学结构的复杂性可以作为衡量问题质量的重要标准。Steven Silber和Jinfa Cai将语义复杂性分为五类，分别是分组、比较、重述、更换、变化。其中，更换是指一段时间内单个项目的数量差异，分组是指将较小的项目组合成一个集合，比较是指检查两个项目之间的数量差异，重述是指两个项目在特定时间点的关系，变化指类似于“如果—那么”的陈述，要求解决者假设一种关系，然后得到一种结果。

4.根据所给情境，提出变通性问题

当学生在同一个数学情境中提出的多个不同类型或不同角度的问题时，这些问题之间的差异能反映学生思维的灵活性。针对同一情境提出的问题种类越多，说明该生的思维越灵活，也就能说明该生的数学问题提出能力越好。基于此，笔者将“变通性”作为提出问题的质量的一个重要二级指标。

5.根据所给情境，提出探究性问题

探究性问题是指学生提的数学问题需要通过深入思考才能解决，具有探究的意义和价值。探究性在衡量数学问题提出质量的指标中十分重要，因为，学生只有提出了具有探究意义的问题，才能不断提高自己问题提出的能力，才能为自己今后的发展打下坚实的基础。同时，探究性问题也是学生具有探究性思维的重要体现，因此可以将探究性作为衡量提出问题的质量的一个二级指标。

问题表达的能力主要可以用可读性和简洁性这两个二级指标来衡量。可读性是指学生表述提出的问题时能使读者清晰明了地知晓其意义，学生在进行问题表述时应当明确具体要求和条件，不能模棱两可。简洁性是指学生所提出的数学问题的语言表述简介流畅，不啰嗦重复。可以说，可读性与简洁性都从一定程度上反映了学生思维的条理性和概括性。

（三）细化二级指标，形成评价标准

对PTA量表的基本构成要素和二级指标进行了讨论之后，研究者还需要为数学问题提出能力的二级指标分别编制出2—4个评价标准，对每个二级指标进行细化。在细化二级指标的过程中研究者要充分考虑每个二级指标的特征，同时要与学生数学问题提出能力的实际情况相结合，最后以学生提出符合二级指标的问题数目作为评价标准。例如，在问题意识这一指标中，它的二级指标是计量性和情境性，在此基础上，学生提出问题的数量越多则说明学生提出问题的意识越强。笔者将该二级指标又细化为二十一个评价标准。

（四）赋予一级指标权重

对于数学问题提出能力的一级评价指标，研究者可根据其重要性赋予权重。例如，问题意识与问题表述能力是构成数学问题提出能力的两个一级评价指标，但它们的重要性相对较低，且两者之间的重要性相当，因此笔者分别为它们赋予了0.2的权重。又考虑到提出问题的质量是反映学生数学问题提出水平的重要判断依据，所以笔者为它们赋予0.4的权重比例。

（五）完善问题，形成量表

在经历了确定构成要素、明确评价指标、细化评价指标一系列环节后，关于数学问题提出能力的PTA量表初步形成，中学教师可以使用该量表对学生的数学问题提出能力进行简单的测评，然后根据学生所反映的问题再进行针对性教学，更好地促进每一个学生的学习，使他们都能获得更好的发展。综上所述，评价学生数学问题提出能力的PTA量表如下（表1）。

结 语

PTA量表是测量开放性问题的一种有效评价工具，它的每一级评价指标均清晰明确，且有较强的可操作性。一线教师可以通过PTA量表对学生的问题提出能力进行量化评价，其测评结果可以在一定程度上反映学生数学提出问题能力的水平。教师可以根据PTA量表的反饋来调整教学方式，以更有效的教学方法和教学手段来培养学生数学问题提出的能力。

[参考文献]

聂必凯，汪秉彝，吕传汉.关于数学问题提出的若干思考[J].数学教育学报，2003（02）：24-26.

高凌飚，吴维宁.开放性试题如何评分：介绍两种质性评分方法[J].学科教育，2004（08）：1-6.