例析古典概型的交汇问题

郑玮

古典概型是一种概率模型，是概率论中最直观和最简单的模型。在这个模型下，随机试验的所有可能结果是有限的，并且每个基本结果发生的可能性是相同的。下面例析古典概型的交汇问题。

一、与集合有关的概率问题

例1 已知集合A={2，3，4，5，6，7}，B={2，3，6，9}，在集合AUB中任取一个元素，则它是集合ANB中的元素的概率为（）。

A.2/3

B.3/5

C.3/7

D.2/5

解：

应选C。

评注：古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性。在应用古典概型的概率公式时，关键是正确理解随机事件和样本点的关系，事件和样本空间的关系。

二、与函数有关的概率问题

例2 已知aE{-2，0，1，2，3}，bE{3， 5}，则函数f（x）=（a2—2）e+b为减函数的概率是（）。

A.3/10

B.3/5

C.2/5

D.1/5

解：

應选C。

评注：涉及函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数。

三、与向量有关的概率问题

例3 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a=（m，n），b=（1，-3）。

（1）使得事件“aLb”发生的概率是。

（2）使得事件“|a|≤|b|”发生的概率是。

解：

评注：

四、与几何图形有关的概率问题

例4 从正方形的4个顶点及中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为。

解：从正方形4个顶点A，B，C，D及中心O这5个点中，任取2个点的结果为（A，B），（A，C），（A，D），（A，O），（B，C），（B， D），（B，O），（C，D），（C，O），（D，O），共10 种情况，这2个点的距离不小于该正方形边长的为（A，B），（B，C），（C，D），（A，D），（A， C），（B，D），共6种情况。所以这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为6/10=3/5。

评注：求与几何图形有关的概率问题，应充分利用几何图形的性质。

五、与游戏有关的概率问题

例5 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动。参加活动的儿童需转动如图1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数。记两次记录的数分别为x，y。奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个;②若xy≥8，则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶。

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀。小亮准备参加此项活动。

（1）求小亮获得玩具的概率。

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。

解：

（1）记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点的个数为5，即A={（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）}，所以P（A）=5/6，即小亮获得玩具的概率为

（2）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。

理由如下：记“xy≥8”为事件B，“3

事件C包含的样本点的个数为5，即C={（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）}，所以P（C）=5/16。因为3/8>5/16，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。

评注：生活中的概率游戏问题，背景真实，内容鲜活，具有知识性、娱乐性、趣味性和益智性。

六、与取球有关的概率问题

例6一个盒子里装有标号1，2，3，4的4个形状大小完全相同的小球，先后随机地选取2个小球，根据下列条件，分别求2个小球上的数字为相邻整数的概率。

（1）小球的选取是无放回。

（2）小球的选取是有放回。

解：记事件A=“选取的2个小球上的数字为相邻整数”。

（1）从4个小球中无放回随机选取2个，试验的样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）， （4，2），（4，3）}。事件A包含6个样本点，即（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）。

由古典概型概率计算公式得P（A）=/2=1/2。故无放回选取2个小球，其上数字为相邻整数的概率为1/2。

（2）从4个小球中有放回随机选取2个，试验的样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）， （3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）， （4，4）}。事件A包含6个样本点，即（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）。由古典概型概率计算公式得P（A）=6/6=3/8。故有放回选取2个小球，其上数字为相邻整数的概率为。

评注：对于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看成是有顺序的，也可以看成是无顺序的，其最后结果是一致的。但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误。对于有放回抽样，在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以（a1，b），（b，a1）不是同一个样本点。解答本题的关键是要分清“无放回抽取”与“有放回抽取”，且每一件产品被取出的机会都是均等的。

作者单位：清华大学附属中学永丰学校

（责任编辑郭正华）