v-t图像在解题中的妙用

关锋

求解高中物理试题的方法有很多，比如解析法、类比法、等效法、微元法、极限法、图表法等，面对不同的问题可以灵活选用恰当的方法进行分析与求解。当我们遇到一些采用解析法无法顺利求解的复杂问题时，若能够根据题意把抽象的物理过程转化成形象的图形描述，根据直观、形象、简明的图像展现出的物理量之间的几何关系，理顺已知量和未知量之间的内在联系，则可以达到化繁为简，化难为易的目的。下面举例分析，供同学们参考。

一、利用v—t图像处理非匀变速直线运动问题

例1某同学欲估算飞机着陆时的速度，测得飞机在平直跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t。。他假设飞机在平直跑道上做匀减速直线运动，估算得到飞机着陆时的速度为vo。经过查阅相关资料，他了解到飞机在滑行过程中受到的阻力并不是恒定的，而是与其速度的大小成正比，那么飞机着陆时的实际速度v。'与v。的大小关系应为（）。

解析假设飞机做匀减速直线运动，根据飞机在平直跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为to，画出对应的v—t图像大致如图1中的虚线所示。根据v—t图像与坐标轴所围成的面积表示位移，v—t图像的纵轴截距表示初速度可知，虚线与坐标轴所围成的面积等于x，飞机着陆时的速度v。=2x。实际上，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，加速度也会变小，对应的v—t图像应是切线斜率逐渐减小的曲线，如图1中的实线所示。因此飞机着陆时的实际速度。

答案：B

点评当假设飞机做匀减速直线运动时，已知位移和时间，利用运动学公式也可以顺利求出飞机着陆时的速度v。=2x，但是要想求出飞机着陆时的实际速度vo'就没那么容易了。而采用图像法，利用图像的斜率、截距、面积等表达的物理意义，判断v。'与v。的大小关系就变得简单明了多了。

二、利用v—t图像处理“子弹打击物块”问题

例2 一个由特殊材料制成的矩形物块停放在水平光滑桌面上，用一支玩具枪沿水平方向连续向物块射出两颗完全相同的子弹，第二次射击时第一颗子弹已经击穿了物块，且第二次射击时枪口比第一次稍高一些，最终两颗子弹都击穿了物块，在物块中留下两道平行的弹孔。设两颗子弹从枪口射出时的速度相同，在物块中所受的阻力相同，且物块只在水平桌面上平动，则在两颗子弹先后击穿物块的过程中，下列说法正确的是（）。

A.在两颗子弹分别击穿物块的过程中，物块发生的位移相等

B.两颗子弹穿过物块所用的时间相等

C.在两颗子弹分别击穿物块的过程中，由子弹和物块组成的系统产生的热量相等

D.两颗子弹损失的动能相等

解析在第一颗子弹击穿物块的过程中，作出子弹与物块的速度一时间图像分别如图2中的实线所示。在第二颗子弹击穿物块的过程中，子弹与物块之间的相互作用力不变，子弹与物块的加速度不变，但子弹打击物块的瞬间，物块已经有了一定的速度，作出第二颗子弹与物块的速度一时间图像分别如图2中的虚线所示。根据v—t图像与坐标轴所围成的面积表示位移可知，第二颗子弹击穿物块的过程中物块发生的位移比第一颗子弹击穿物块的过程中物块发生的位移大，第二颗子弹穿过物块所用的时间t2比第一颗子弹穿过物块所用的时间t1长，选项A、B错误。因为两颗子弹与物块之间的相互作用力相同，两颗子弹与物块的相对位移也相同，所以在两颗子弹分别击穿物块的过程中系统产生的热量相等，选项C正确。因为两颗子弹从枪口射出时的初速度v。相同，第二颗子弹击穿物块瞬间的末速度v2小于第一颗子弹击穿物块瞬间的末速度v1，所以第二颗子弹损失的动能比第一颗子弹损失的动能大，选项D错误。

答案：C

点评本题要求判断两次“子弹打击物块”过程中的时间长短、位移大小、能量多少问题，题干中几乎没有提供一个可以利用的数值，不可能采用解析法进行定量计算。而根据题意作出子弹和物块的速度一时间图像，充分利用图像的斜率、截距、面积等表达的物理意义，可以定性分析时间、位移、能量的大小关系。

三、利用v—t图像处理“木板一滑块”问题

例3 如图3所示，足够长的木板B放置在水平地面上，轻质弹簧一端固定在木板B左端的挡板上，另一端与滑块A拴接，假设所有接触面均光滑，滑塊A与木板B（含挡板）的质量相等，开始时弹簧处于自然伸长状态。现将一水平向右的恒力F作用在滑块A上，使得由滑块A、木板B（含挡板）和轻质弹簧组成的系统从静止开始运动，在系统运动的过程中弹簧始终处在弹性限度内。在滑块A和木板B从静止开始运动到二者第一次共速的过程中，下列说法正确的是（）。

A.当滑块A和木板B的加速度相等时，二者的速度之差达到最大

B.当滑块A和木板B的加速度相等时，弹簧的弹力达到最大

C.当滑块A和木板B的速度相等时，二者的位移之差达到最大

D.当滑块A和木板B的速度相等时，弹簧的弹性势能达到最大

解析在水平方向上，滑块A受到向右的拉力F和向左的弹簧弹力F1两个力作用，木板B只受到向右的弹簧弹力F1'作用，根据弹簧弹力的特点可知，F1'=F1，且逐渐增大，因此滑块A做加速度减小的加速运动，木板B做加速度增大的加速运动，作出二者的速度一时间图像如图4所示。滑块A和木板B的加速度相等的时刻对应图4中两曲线斜率相同的t1时刻，此时二者的速度差最大，选项A正确。当滑块A和木板B的加速度相等时，对滑块A有F-F1=ma，对木板B有F1'=ma，解得F1=/2，之后弹簧的弹力还会继续增大，选项B错误。滑块A和木板B的速度第一次相等的时刻对应图4中两曲线相交的t2时刻，此时两曲线所围成的面积达到最大，即二者的相对位移最大，弹簧被拉伸到最长，弹簧的弹性势能达到最大，选项C、D正确。

答案：ACD

根据上述三道例题的分析和求解，我们可以总结出运用图像法解答物理问题的一般步骤：（1）认真审题，根据题干中提供的物理量，确定需要用到的物理规律，选择横、纵坐标表示的物理量;（2）根据题意，找出横、纵坐标表示的两物理量之间的制约关系，结合物理过程作出函数图像;（3）利用所作函数图像，运用数学知识进行分析和推理，解决相关待求问题。

感悟与提高

1.甲、乙两辆车同时由静止开始从A点沿平直公路出发，甲车先以加速度a1做匀加速运动，经过一段时间后，改以加速度a2做匀加速运动，到达B点时的速度为vo;乙车一直以加速度a。做匀加速运动，到达B点时的速度也为vo。若a1>ao，则下列判断中正确的是（）。

A.甲、乙两车可能同时到达B点

B.甲车一定先于乙车到达B点

C.乙车一定先于甲车到达B点

D.在A、B两点之间的任意一点，甲车的速度都一定大于乙车的速度

2.在一大型游乐场中，从同一高处到同一水面有两条长度相同，形状不同的光滑轨道，其侧视简化示意图如图5所示。甲、乙两小孩沿这两条不同的轨道同时从高处A自由滑向水面B处，下列说法中正确的有（）。

A.甲、乙两小孩在同一时刻的加速度大小总是相等

B.甲、乙两小孩到达同一高度处时的速度大小均相等

C.甲、乙两小孩在同一时刻总能到达同一高度处

D.甲小孩比乙小孩后到达B处

参考答案：1.BD 2.B

作者单位：湖北省荆州市江陵中学

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