有关向量上的投影的概念解读

2022-05-24 15:36张浩
语数外学习·高中版中旬 2022年3期
关键词:夹角负数投影

张浩

一个向量在另一个向量上的投影是一个很重要的概念。一个向量在另一个向量上的投影是一个实数,不是一个向量,而这个实数的值与投影的长度有关,也与投影的方向有关.很多学生无法正确理解“向量上的投影”这个概念,对此,笔者对其进行了进一步的研究.

(1)代数定义:向量在向量方向上的投影为| | cos < ,  >=| ||0|?cos < , 0 >=  ?0,其中 0是的单位向量.从投影的表达式 cos< , >上看,当  ≠ ,≠  时,式中| |>0,cos < , >可以是正数也可以是负数,也可以是零,所以向量在向量方向上的投影可以是正數也可以是负数,也可以是零,即下列2种情况:

①当<  , >∈[0, ]时,cos < , >∈[0,1], 所以向量在向量方向上的投影为;

②当<  , >∈( ,π]时,cos < , >∈-1,0,所以向量在向量方向上的投影为;

(2)几何表示:已知和,向量在向量方向上的投影,可用图1、2表示.

用一束垂直于向量所在直线的太阳光去照射向量,则在向量所在的直线上留下的向量的影子--线段 MN,线段MN 就是向量在向量方向上的投影,其中点M 是向量的起点在直线上的投影,点N 是向量的终点在直线上的投影.

图1 中,从 M 到 N 的方向与向量的方向一致,此时投影 MN 表示一个正数.由投影的代数意义知,投影 MN = cos< , >,我们将向量向下平移,使其与向量共起点,由锐角三角函数的定义知cos< , >就表示线段 MN 的长度,也就是说,若从M 到 N 的方向与的方向一致,则投影MN 所表示的值等于投影 MN 的长度.

图2 中,从 M 到 N 的方向与向量的方向不一致,则向量在向量方向上的投影 MN 表示一个负数.由于投影 MN = cos< , >,而此时向量与向量的夹角< , >是一个钝角,该夹角的余弦值是负的,即cos < , ><0,若夹角< , >的补角为θ(θ为锐角),则 cos < , >=-cos θ,即投影MN = ?(- cosθ)=-(cos θ)= -MN ,也就是说,若从 M 到 N 的方向与的方向不一致,则投影 MN 的值等于投影 MN 的长度值的相反数.

综上,可以得到由投影长度求投影值的公式:

这里MN 是指投影 MN 的长度.投影 MN 的值与线段 MN 的长度相等或互为相反数,而投影 MN 的长度是非负数,即MN ≥0,所以投影 MN 的长度MN 是投影 MN 的绝对值,则由投影值求投影长度的公式:

例1. ABCD -A′B′C′D′为单位正方体.(1)求向量 C A′在 C D 上的投影;(2)求向量 C A′在 D C 上的投影.

解析:(1)由于 A′D⊥DC,所以向量 C A′在 C D 上的投影是 CD,又从 C 到 D 的方向与 C D相同,所以所求投影 CD 的值就是线段 CD 的长度,即投影为1;

(2)向量 C A′在 C D 上的投影仍然是 CD,但从 C 到 D 的方向与向量 D C 的方向相反,所以所求投影的值是线段 CD 长度值的相反数,即投影为-1.

解答本题,需根据投影的长度求投影的值.

例2.如图3,已知点A 是空间内一点,平面α 经过点 P,向量为其法向量,点 A 不在平面 α上,求点 A 到平面α 的距离.

解析:作向量 P A,若 P A 与不共面,可以平移向量,使向量 P A与共面,过 P 作直线 AA′的垂线,垂足为 A′,则 AA′为向量 P A在向量上的投影,点 A到平面α的距离就是线段 AA′的长度.由投影的概念可知,AA′=P A? n0, 因此点 A 到平面α 的距离 d =P A? n0.

根据投影值与投影的长度之间的关系可知,根据公式(1)可以由投影的长度求投影值.而在解题时,通常需利用公式(2),由投影值的大小求出投影的长度.

(作者单位:陕西省神木市第七中学)

猜你喜欢
夹角负数投影
論詞樂“均拍”對詞體格律之投影
投影向量问题
求解异面直线夹角问题的两个路径
找投影
向量夹角的风波
向量夹角的风波
平面向量夹角问题的易错剖析
《投影与视图》单元测试题
学好乘方四注意
历经艰辛的“负数”