聚焦概念本质 靶向素养提升——以“面积和面积单位”教学为例

西南大学附属小学（400700） 马 骏 杜俊宏

“面积和面积单位”是小学数学三年级下册的教学内容。作为单元的起始课，学生将在本课实现知识体系从“线”到“面”的跨越，空间观念由“一维”向“二维”的拓展。同时，深刻理解“面积”这一概念，也是学生进一步学习“图形与几何”的基础以及发展直观想象能力的基础，因此这节课的重要性不言而喻。

一、内容解读与学情分析

1.关于“面积”的学术概念

《数学辞海》将“面积”定义为：对于每一个封闭图形，用唯一的非负实数与它对应，如果这种对应满足：①边长为1个长度单位的正方形作为面积单位，与数1对应；②全等图形与相同的实数相对应；③图形所对应的数就等于各个部分图形所对应的数之和，则该图形对应的非负实数称为该图形的面积。可见，对于面积的学习，可以从度量的角度入手，引导学生用“数值”来刻画和表征二维空间的大小，从而感悟面积的本质。

2.学生经验

学生关于“面积”的前认知往往淡化了其度量的本质，而更多地聚焦于以“降维”的方式，通过长度的测量，借助面积计算公式来确定图形面积。这种“知其然而不知其所以然”的学习方式，容易使得学生对测量本质的理解产生负迁移的作用。

基于以上分析，笔者确定以感悟面积概念、建构面积单位为知识目标，以引导学生领悟面积测量本质、形成量感思维为能力目标，以培养学生空间观念、直观想象为素养目标，开展相应的教学实践。

二、教学过程

1.从具象到抽象，多觉联动巩固“面”的认识

在理解“面积”这种抽象的概念之前，教师可以调动学生的生活经验，通过看、摸、说等方式，利用多种感官的联动，先让学生充分感知什么是“面”。

【教学片段1】

环节一：感知物体的“面”

师：同学们，教室里有哪些物体呢？摸一摸这些物体，说说摸的是什么。

生1：有课桌，我们摸到的其实是课桌的“面”。

生2：还有数学课本，它有上、下、左、右、前、后六个面。

……

师（小结）：刚才咱们提到的桌面、数学课本的各个面等都属于物体表面。

环节二：探究平面图形中的“面”

师：除了物体表面，在数学世界里还有其他“面”吗？老师把书本的表面描画下来，得到一个长方形，它有面吗？哪些图形也有面？

生3：正方形、圆形、三角形，甚至不规则图形也有面。

师：不仅如此，像圆柱、长方体这样的立体图形也有面（如图1）。

图1

【评析】认识“面”是深入理解“面积”的基础，在上述教学片段中，教师以“面”为主题，从独立观察的视角出发，运用触摸、举例、联想等方式，从物体表面开始，逐步深入到平面图形，再适当拓展至由平面图形围成的立体图形，实现研究对象从具体到抽象的深入，引导学生构建了一个丰富而又深刻的“面”的认知。

2.在比较中生成，在变化中理解“面积”的意义

如果说对“面”的学习，是在研究多个单独对象的基础上，分类抽取其共性，则对于“面积”的学习，可从对比观察的视角，引导学生在“面”的大小比较中，建立对“面积”这一概念的初步认识。同时，教师还要将“面积”概念与学生之前学过的“长度”概念进行对比，促进学生对于新授概念的进一步内化。

【教学片段2】

环节一：比较中引入面积概念

师：刚才我们分别观察单个的“面”，现在对比观察一下黑板面和作业本封面，大家有什么发现？

生1：黑板面大，作业本封面小。

师：看来物体表面有大有小，我们把黑板面的大小叫作黑板面的面积。那什么是作业本封面的面积呢？有没有面积比作业本封面小的？有没有面积比黑板面大的？（学生回答略）

师：观察这几个平面图形（如图2），它们有没有面积？请按照面积的大小排序。

图2

生2：那个不封闭的图形是没有面积的。这些平面图形的大小就是指它们的面积。按照面积大小排序为：长方形＞正方形＞不规则图形＞圆形＞三角形。

师：关于面积，我们研究了哪几类？什么是它们的面积？

生3：研究了两类，一类是物体表面，一类是平面图形。物体表面或平面图形的大小就是它们的面积。

生4：我补充，这里的平面图形得是封闭图形。

环节二：对比中深化理解

师：那“大小”和“长短”有什么区别呢？请同学们观察这两个动画后回答。（动画一：线段先变长后变短，直至变为一点。动画二：长方形的宽不变，长先延长后变短，直至长方形成为一条线；长方形的长不变，宽先延长后变短，直至长方形成一条线。）

生5：“长短”的变化是在一个方向上的，要么长度变长，要么长度变短。

生6：“大小”的变化是在两个方向上的，要么是横着变化，要么是竖着变化。

生7：长度不断变短，线就成了一个点，面横向或者竖向变小，最后就成了一条线。

师（小结）：可见面积的“大小”变化，既可以是横向的，也可以是竖向的。

【评析】教师通过物体表面的大小比较，自然地引出了“面积”，接着将概念从物体表面迁移到平面图形，在图形面积大小的排序中促进学生对概念的理解和运用。同时，利用不封闭图形的反例，帮助学生实现概念建构的精准化。对于描述性概念的学习，不仅要在形式上认识定义，还要注重其外延的探究。因此，将面积概念中的“大小”一词与“长短”进行动态对比，不仅帮助学生抓住本质，理解面积的二维性和长度的一维性，而且串联起了点、线、面三种平面空间的基本元素，提升了学生的空间观念和直观想象素养。

3.以量化为驱动，由浅入深构建“单位”意识

“面积”是最基本的几何度量学概念，要度量就必须构建一定的标准，即“计量单位”。在构建面积单位的过程中，教师应通过有效的引导和直观的操作，让学生自主实现对于图形面积的量化表达，从而引导学生感悟度量思想，并在对比分析中经历“建立标准”的过程。

【教学片段3】

环节一：赋值量化，初步构建面积单位

师：学习面积，不仅要研究面积是什么，还要研究面积是多少。仔细观察图3中的四个图形，请分别用四个数来表示它们的面积。

图3

生1：如果第1个图形面积为1，第2个就是4，第3个就是5，第4个可能是20或25。

师：如果图形①的面积是1，为什么②、③图形面积分别是4和5呢？

生2：因为图形②、③的面积分别是图形①的4倍、5倍。

师：下面请大家利用学具，在学习单上试着表示这4个图形的面积。（学具为20个面积与图形①相同的正方形。学生作品如图4所示）

图4

生3：图形④的面积是25。

师：图形④没摆满，怎么能肯定面积是25呢？

生4：摆图形④的时候，正方形不够了，我就在第一行摆了5个，能摆这样的5行，5×5=25，面积就是25。

环节二：对比分析，探索面积单位标准

师：同学们，刚才你们是用什么图形来测量面积的？能用其他图形吗？

生5：刚才用的是正方形。我觉得圆形、三角形也可以用来测量面积。（如图5）

图5

师：对比观察，你们觉得用哪一种图形测量面积最合理？

生6：正方形最合理，因为正方形之间没有空隙，而圆形之间有空隙，测量不准确。

生7：虽然三角形之间也没有空隙，但三角形没有正方形简便、直观。

师：看来，想要用某图形来测量面积，图形之间不能有空隙，所以像这样的五边形、八边形等（如图6），也不能用来测量面积，这体现了数学求真的思想。

图6

师：此外，像这样的三角形、长方形（如图7），虽然图形之间没有空隙，但是不如正方形简洁、直观，这体现了数学求简的思想。

图7

师：因此，我们一般用正方形的个数来表示面积的大小，将正方形作为面积单位。

【评析】面积单位教学常常存在两个难点，一是如何引导学生自主领悟到面积测量的实质是面积单位的累加；二是如何帮助学生理解面积单位选择正方形的原因。

针对难点一，教师利用图形面积的倍数关系，让学生为图形面积“赋值”，在这种方法的启发下，学生会自觉地用图形①作为标准来度量其他图形，再通过动手操作，不仅加深了对于面积本质的理解，而且形成了直观想象和推理能力。

针对难点二，教师弱化了以是否能铺满图形作为面积单位判定标准的思路，而是首先通过对比，引导学生认识到面积单位应具有“密铺”的特性；再带领学生深入探究，实现面积单位选择的优化，从中渗透数学求真和求简的思想。

4.在拓展中升华，打通测量体系“任督”二脉

教师在学生能够用“数”来描述“形”的基础上，再引导学生以结构化思维拓展知识空间，将学生已经学过的长度、时间、质量的测量与面积测量相整合，指引学生发现测量的本质，从而促进学生对面积概念的深度理解，对测量知识体系的架构，为以后的测量学习奠定基石。

【教学片段4】

（练习部分略）

师：同学们，除了测量面积，我们还学习过测量什么呢？

生1：还学过测量长度、质量、时间。

师：那测量长度、面积、质量、时间之间有没有什么共同点呢？请大家观看微课自学。（微课内容如图8所示）

图8

生2：我发现它们的共同点是用被测物体与测量单位进行比较。

【评析】教师分别以铁球质量、赛跑用时、路灯高度、长方形的面积为例，通过微视频的方式，经济高效地捕捉各种测量的共同点，揭示了测量的本质，实现了知识学习的以点带面。同时，又助推学生更加深刻地认识面积的意义和面积单位的价值。

综上，在小学的概念学习中，教师应为学生创设丰富、鲜活的概念内涵。特别是围绕“面积”这种抽象的概念，可引导学生通过多觉联动的方式，建立“面”的表象；利用对比观察的视角，引出面积的概念；调动学生的量感，建立面积单位标准，揭示面积的本质；有效拓展提升，搭建知识体系。一方面，可使学生实现对概念的不断完善和构建，通过概念意象与概念定义的整合，加深对概念的理解和掌握；另一方面，教师的课堂设计能够让学生在观察、对比、估量、分析的过程中，有效提升空间观念和直观想象素养，实现学科核心素养的落地。