基于小波变换与二阶差分的低对比度图像增强

尚会超， 史聪聪， 彭向前

(1.中原工学院 机电学院， 河南 郑州 450007； 2.湖南科技大学 机电工程学院， 湖南 湘潭 411201)

数字图像处理技术在20世纪60年代悄然兴起，目前在很多领域得到了应用，如人们熟知的缺陷检测、车牌识别、工件定位等[1]。一般来说，当图像噪声较大且对比度较小时，缺陷检测和车牌识别的难度会大大增加。作为图像预处理的关键环节，图像增强的目的是突出待检测特征点的信息[2]，增大对比度，使特征点信息更容易检测提取，为后续图像处理工作奠定良好的基础。长期以来，图像增强一直是机器视觉领域的重要研究课题，用于低对比度条件下的图像增强方法则是图像增强领域研究的难点，也是当前的研究热点之一[3]。

目前常用的图强增强方法主要分为两种：空间域图像增强和频域图像增强[4]。空间域图像增强方法是指对特定图像中的像素灰度值进行的直接运算处理，包括常用的直方图均衡化[5]、锐化处理以及伽马校正等[6]；频域图像增强方法，顾名思义，是首先把图像转换到频域上进行处理，然后将处理结果转换到时域的滤波技术，如低通滤波、高通滤波、带通和带阻等。于辰飞提出的基于小波神经网络的低对比度图像增强方法，采用人工神经网络来选择小波变换中的图像增强系数，具有很强的适应性[7]。伍柏秋提出了一种基于模糊小波的对比度增强算法，先选取适当的小波，对原图像进行小波变换，然后应用模糊数学的思想在小波域上进行处理，最后进行逆小波变换，获得增强后的图像[8]。这种方法处理效果较好但仍属于频域方法，只是其频域为小波域而不是传统意义上的傅里叶变换域，而且还应用了模糊数学的方法。本文提出一种新的基于小波变换与二阶差分的图像增强算法。

1 基于离散小波变换的图像重构

小波变换作为一种数学工具，被广泛应用于图像处理，其实质就是分解与重构[9]。小波变换在继承傅里叶变换局部优化的基础上，克服了傅里叶变换窗口大小不能随频率变化的缺点，在频域和时域的信号处理与分析方面都有不俗的表现。小波变换的特点在于通过变换来重点突出特征信息。小波变换可将图像分解为逼近图像和细节图像，以分别表示图像的不同结构。对特定图像进行小波分解后，图像将被分为4个子频带，分别为LL，LH，HL和HH。LL表示水平方向和竖直方向的低频信息；LH表示水平方向的低频信息以及垂直方向的高频信息；HL则表示水平方向的高频信息和垂直方向的低频信息；HH表示水平方向和垂直方向的高频信息[10]。一般来说，平滑区大多存在于低频部分，高频部分则反映的是边缘信息。对于不同的图像尺度，小波变换能以不同的方法进行不同频域图像细节分量的增强。经过重建处理的系数小波，在突出图像细节的同时能抑制图像噪声，突出图像轮廓信息。此外，小波变换强大的重构能力，使得信号在分解过程中不会丢失信息，也不会产生冗余信息。每个小波都包括一个母小波和一个父小波[11]，对母小波和父小波的缩放平移操作可形成基函数。信号f(t)完整的小波变换展开式为：

(1)

式中：ck为尺度系数；φ(·)为父小波；Ψ(·)为母小波；t为处理时间；dη,k为小波系数；k为单位时间(或空间)；η为阶次。

在不同尺度下，滤波器可以截断信号的不同频率成分，通过高通和低通滤波处理分别得到信号的高频成分和低频成分，以便将信号的不同频率成分分开，进行分析。滤波器对信号进行滤波操作时，其尺度会随着信号的上下采样而发生变化。当信号通过低通滤波器时，高于截止频率的信号被去除。这里通常要做频域的卷积运算，即

(2)

式中：x(ω)为输入信号；h(·)为低通滤波函数；ω为频率。普通的低通滤波器虽然可以去除信号的高频成分，但是会造成一定的信息丢失。为了保证小波变换的可逆性，可将尺度因子r加倍，式(2)则变为：

(3)

只有完成了信号滤波，才能进行小波变换。小波变换包括：第一步，通过滤波器将信号分解为近似信息和细节信息；第二步，根据不同的频率带选择不同的尺度因子，对信号进行分析、处理，完成离散小波变换的计算。离散小波变换用到的尺度函数和小波函数[12]，分别对应低通滤波器与高通滤波器。滤波完成后可利用尺度约束因子进行最后操作。高通滤波器输出信号yhigh(ω)和低通滤波器输出信号ylow(ω)可表示为：

(4)

式中，g(·)为高通滤波函数。

重构后图像可表示为：

(5)

式中：L为数字图像的二阶差分曲率；γ为常数。

2 二阶差分曲率及其在小波重构中的应用

一般来说，高亮图像的灰度范围多集中于高阶灰度区，其对比度较小。图像增强的目的就是调整图像的灰度分布，使其对比度增强、视觉效果改善。图像的边缘、细节部分大多位于高频区域。为了提高图像边缘的对比度，可通过小波变换分离图像高频部分和低频部分后，对高频区域的边缘、细节进行二阶差分处理。

通常情况下，二阶导数对于区分一维信号的边缘和平缓区域是有效的[13]。因此，在数字图像领域，同样可通过计算图像的二阶导数来区分图像的边缘和灰度平缓区域。假设存在图像f(m,n),其中m,n分别表示图像中任意一点的梯度方向和垂直于梯度的方向，那么该图像的二阶差分曲率为：

(6)

图像f(x,y)的梯度可表示为：

f=(fx,fy)

(7)

式中：fx,fy分别为图像f(x,y)对变量x,y的一阶导数。

(8)

若将图像中任意一点的梯度方向表示为：

(9)

那么，沿梯度方向的导数为：

(10)

可推导出:

(11)

式中：fxx，fyy,fxy分别为图像f(x,y)对变量x、x，y、y，x、y的二阶偏导数。

同理，沿垂直于梯度方向的二阶导数为:

(12)

将式(11)和式(12)代入式(6)，可算出二阶差分曲率L。

由式(5)可知，二阶差分曲率L可以影响重构后的图像y(ω)中低通滤波器的输出信号ylow(ω)的系数。因此，控制图像中小波重构时高频信号的占比，即可丰富图像的细节信息，增强其对比度。

3 实验及其结果分析

实验样本为某品牌电脑的主机面板。电脑主机制造过程中需要对机箱前面板熔点进行检测和定位。因为该面板的结构细节较多，其目标图像中颜色分布区域的对比度不高，所以前期图像预处理过程需要进行图像增强。图像增强算法的选取，对获得理想的目标图像来说十分重要。本文采用大华500万像素工业相机进行图像采集，所用光源为蓝色条形光，数字图像处理均在8 GB运行内存、酷睿i7处理器、Windows10系统的笔记本电脑上进行，程序编译所用软件为Visual Studio 2017。为了验证本文提出的基于小波变换与二阶差分的低对比度图像增强算法(简称本文算法)的图像增强效果，分别利用自适应直方图均衡化(AHE)算法、限制对比度自适应直方图均衡化(CLAHE)算法、经典直方图均衡化(HE)算法、Laplace算法以及本文算法，对实验所选图片(原始图像)进行处理。实验结果如图1所示。

观察图1发现，从主观感受来说，各种算法对图像增强都起到了一定的作用，但对比各算法的图像增强效果后不难看出，本文算法比其他算法处理后的图像灰度范围更宽，对比度更大，面板与拍摄背景区域的分界更加明显。

为了更客观地评价图像处理效果，本文以信息熵、峰值信噪比、标准差作为评价指标，对实验结果进行了分析。

3.1 信息熵

信息熵是衡量图像质量的重要指标[14]。一般来说，信息熵越大，图像越细腻，包含的信息越多。信息熵可表示为：

(a) 原始图像 (b) AHE算法增强图像 (c) CLAHE算法增强图像

(d) HE算法增强图像 (e) Laplace算法增强图像 (f) 本文算法增强图像图1 采用不同算法的图像增强实验结果Fig. 1 Experimental results of image enhancement with different algorithms

(13)

式中：u为随机变量，取值范围为0～(Z-1)；Z为概率系统中的事件数量；p(u)为增强后图像灰度的分布密度。

3.2 峰值信噪比

峰值信噪比常作为图像中信号重建质量的测量指标[15]。假设存在两个像素为a×b的图像I和J，且其中一个图像为另一个图像的噪声近似，那么这两个图像的均方差为：

(14)

式中：i,j分别表示行数和列数。

峰值信噪比PSNR可通过均方差来定义，即

(15)

式中，MAXI为图像点颜色的最大值。图像峰值信噪比是评价两幅图像差异的重要指标，其值越大表示图像处理后的质量越好。

3.3 标准差

这里将标准差表示为：

(16)

式中：F(α,β)表示在像素为A×B的图像中，第α行、第β列处的像素值；μ表示像素均值。标准差越大，表示图像的对比度越大，细节越丰富。

利用C++语言编写程序，对图1中图像增强效果进行分析，可以得到不同算法的客观评价指标(见表1)。这里以信息熵、峰值信噪比、标准差3个客观评价指标来表示不同图像增强算法的图像处理效果。

表1 不同算法的客观评价指标

对不同算法处理图像的同一指标进行对比，可看出：本文算法增强图像信息熵最大，也就是说图像保留的细节信息量最大；峰值信噪比也处于较高水平，即图像质量较好；标准差最大，即图像对比度最高，细节信息最丰富。总的来说，本文提出的基于小波变换与二阶差分的低对比度图像增强算法不仅保留了图像细节信息，不失真，而且提高了图像对比度，实现了较好的增强效果。

4 结语

本文针对传统图像增强算法的缺陷，提出了一种基于小波变换与二阶差分的低对比度图像增强算法，利用二阶差分的特性提升小波重构阶段高频部分细节边缘点对输出图像的贡献，增加图像对比度，最终达到了对图像进行增强的目的。从实验的主观对比和客观评价结果可知，采用本文提出算法处理后的图像更好地抑制了噪声，图像边缘细节更加清晰，提高了峰值信噪比，为下一步的图像处理奠定了良好的基础。