带有导子的n-李代数形变

徐江南，杜 磊

(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

代数形变理论最先由Gerstenhaber提出,在文献[1]中,Gerstenhaber介绍了结合代数的形变.自Gerstenhaber之后,各种代数结构的形变开始被许多学者研究[2-6].1966年，Nijenhuis和Richardson研究了分次李代数的形变[2];2004年，Yau研究了余代数代数同态的形变[3]；2019年，Tang等构造李代数带有导子的上同调,并用其研究了一些问题[4]；2021年，Sun等构造n-李代数带有导子的上同调,讨论了n-李导子对的上同调与相应莱布尼兹导子对的上同调之间的关系,定义了近似形变，并研究了Nijenhuis算子和O-算子与n-李导子对之间的关系[5].本文主要对n-李代数带有导子的形变进行更深入的研究.

1 预备知识

下面简单回顾n-李代数的相关概念及其用到的两个上链复形.

对任意的σ∈Sn,定义sgn(σ)为σ的符号,即若σ为奇置换,则sgn(σ)=-1；若σ为偶置换,则sgn(σ)=1.设V是域上的线性空间,k为任意正整数,定义⊗kV为k个V的张量积.

定义1[7]一个n-李代数是指一个线性空间N，以及N上一个n-元多重线性映射[·,…,·]:⊗nN→N,且该线性映射满足以下等式:

[x1,…,xn]=sgn(σ)[xσ(1),…,xσ(n)],

(1)

(2)

对任意的σ∈Sn和xi,yj∈N均成立.

定义2[7]n-李代数(N,[·,…,·])的一个导子是指一个线性映射D:N→N满足以下条件：

(3)

对任意的x1,…,xn∈N.定义Der(N)为n-李代数(N,[·,…,·])的所有导子构成集合.

定义3设N是一个n-李代数，D是N的一个导子，称(N,D)为一个n-李导子对.

设(N,[·,…,·])是一个n-李代数.下面介绍n-李代数以自身为系数的上同调复形.为使上同调复形形式更简洁,先定义一些映射.定义线性空间∧n-1N为L(N),定义线性映射ad:L(N)∧N→N,双线性映射[ , ]:L(N)×L(N)→L(N)分别为:

对任意的x=x1∧…∧xn-1∈L(N),y=y1∧…∧yn-1∈L(N),z∈N.

定义4[8]设(N,[·,…,·])是一个n-李代数,则N以自身为系数的上同调,定义为Hp(N),是上链复形C*(N,N)的上同调群.其中，C*(N,N)定义如下：C*(N,N)的0-上链定义为0,对p≥0,C*(N,N)的(p+1)-上链为所有的线性映射f：⊗pL(N)∧N→N.定义C*(N,N)的(p+1)-上链为Cp(N,N).C*(N,N)的微分dp+1:Cp(N,N)→Cp+1(N,N)定义如下：

dp+1f(a1,…,ap,ap+1,z)=

(4)

为方便起见,下面将省略微分dp+1的上标,用d来代替dp+1.

设(N,[·,…,·])是一个n-李代数,D是它的一个导子.为使上链复形的微分运算更简洁,先定义一些算子：

(5)

(Ⅱ)δ:Cp(N,N)→Cp(N,N),∀f∈Cp(N,N),ai∈L(N),z∈N定义为：

(6)

定义控制导子形变的复形为C*(N,D).C*(N,D)的各项定义如下：

对任意的p≤0,

Cp(N,D)=0.

对任意的p≥2,

C1(N,D)=C1(N,N)=Hom(N,N),

Cp(N,D)=Cp-1(N,N)×Cp-2(N,N).

下面定义C*(N,D)上的微分算子.

对p=1,定义∂:C1(N,D)→C2(N,D)为：

∂f=(df,(-1)1δf),∀f∈C0(N,N).

对p≥2,定义∂:Cp(N,D)→Cp+1(N,D)为：

∂(f,g)=(df,dg+(-1)pδf),∀f∈Cp-1(N,N),g∈Cp-2(N,N).

定理1[5](C*(N,D),∂)是一个复形.

2 n-李代数带有导子的形变

设(N,D)是一个n-李导子对,考虑一族线性映射：

[·,…,·]t=∑i≥0[·,…,·]iti,Dt=∑i≥0Diti，

其中，[·,…,·]i∈C1(N,N),[·,…,·]0=[·,…,·],Di∈C0(N,N),D0=D.则有以下定义：

定义5[5]如果对任意的x1,…x2n-1∈N,([·,…,·]t,Dt)满足以下条件：

(7)

(8)

则称([·,…,·]t,Dt)是n-李导子对(N,D)的一个单参数形式形变.

展开式(7)、式(8)，并比较tk次项系数,发现式(7)、式(8)等价于以下两组等式对任意的k≥0均成立：

(9)

(10)

命题1[5]设([·,…,·]t,Dt)是n-李导子对(N,D)的一个形式形变,称([·,…,·]1,D1)为形式形变([·,…,·]t,Dt)的无穷小形变,则([·,…,·]1,D1)是复形C2(N,D)的一个2-上边缘.

定义6设([·,…,·]t,Dt)和([·,…,·]′t,D′t)是n-李导子对(N,D)的两个形式形变，则从形式形变([·,…,·]′t,D′t)到形式形变([·,…,·]t,Dt)的一个形式自同构定义为Φt=∑i≥0φiti:N[[t]]→N[[t]],其中φi∈C0(N,N),且φ0=Id,并满足以下条件:

Φt([x1,…,xn]′t)=[Φt(x1),…,Φt(xn)]t，

(11)

Φt∘D′t=Dt∘Φt.

(12)

如果存在一个形式自同构Φt:([·,…,·]′t,D′t)→([·,…,·]t,Dt),两个形式形变([·,…,·]t,Dt)和([·,…,·]′t,D′t)称为等价的.

定理2设([·,…,·]t,Dt)和([·,…,·]′t,D′t)是n-李导子对(N,D)的两个等价的形式形变,则它们的无穷小形([·,…,·]1,D1)和([·,…,·]′1,D′1)属于同一个上同调类.

证明设Φt:([·,…,·]′t,D′t)→([·,…,·]t,Dt)为一个形式自同构,比较等式(11)、式(12)的t次项系数,则有：

D′1(x)+(φ1∘D)(x)=D1(x)+(D∘φ1)(x),

即

定理3n-李导子对(N,D)的一个形式形变称为平凡的,如果它等价于([·,…,·],D).若H2(N,D)=0,则n-李导子对(N,D)的任何形式形变均是平凡的.

证明设([·,…,·]t,Dt)是(N,D)的一个形式形变.从命题1可知,它的无穷小形变([·,…,·]1,D1)∈Z2(N,D).由于H2(N,D)=0，故存在φ1∈C1(N,N)，使得([·,…,·]1,D1)=∂(φ1),定义Φt=Id-φ1t,则可得到形式形变([·,…,·]′t,D′t).其定义如下：

故([·,…,·]′t,D′t)等价于([·,…,·]t,Dt).将以上两个等式展开,有：

D′t=Id+D′2t2+D′3t3+….

经命题1中类似的计算，可得([·,…,·]′2,D′2)∈Z2(N,D).重复以上运算步骤,即可证明([·,…,·]t,Dt)等价于([·,…,·],D).

3 近似形变的延拓

定义8设([·,…,·]t,Dt)是(N,D)的一个N阶形式形变,称([·,…,·]t,Dt)是可延拓的.若存在([·,…,·]N+1,DN+1)∈C2(N,D),使得在如下定义下：

[·,…,·]′t=[·,…,·]t+[·,…,·]N+1tN+1,D′t=Dt+DN+1tN+1,

([·,…,·]′t,D′t)是(N,D)的N+1阶形式形变.

(13)

(14)

证明若(N,D)的N阶形变([·,…,·]t,Dt)是可延拓的,存在([·,…,·]N+1,DN+1)∈C2(N,D),使得([·,…,·]′t,D′t)在以下定义下：

[·,…,·]′t=[·,…,·]t+[·,…,·]N+1tN+1,D′t=Dt+DN+1tN+1，

([·,…,·]′t,D′t)是(N,D)的N+1阶形变，且对任意的k=N+1都满足式(9)、式(10).比较其中tN+1次的系数,可得:

根据定理4和命题2,可以得到以下推论：

推论若H3(N,D)=0,则(N,D)的任何一个N阶形式形变均可延拓成(N,D)的形式形变.

4 命题2的证明

(15)

(16)

(17)

(18)

由等式(4)中d的定义,有：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

由于对任意的0≤k≤N,([·,…,·]t,Dt)满足式(9)，则有：

将式(25)展开得：

经计算可得:

(15)+(16)+(19)+(22)+(25)=

(34)

(35)

由于对任意的0≤k≤N,([·,…,·]t,Dt)满足式(10)，因此展开式(34)和式(35)得：

同理，由式(10),对任意的0≤k≤N,有：

用它将式(26)、式(20)和式(23)展开,通过计算,可得：

(18)+(26)+(28)+(35)=

(36)

(37)

(17)+(20)+(23)+(30)+(32)+(34)=

(38)

(39)

继续计算可得：

(27)+(29)+(36)+(37)=

(40)

(21)+(24)+(31)+(33)+(38)+(39)=

(41)

证毕.

5 实 例

设A是一个线性空间,e1、e2、e3为A的一组基,定义A上的括号运算[·,…,·]为[e1,e2,e3]=e1，则(A,[·,…,·])是一个3-李代数.

分别定义导子D:A→A和导子D′:A→A为:

D(e1)=e1,D(e2)=0,D(e3)=0，

D′(e1)=0,D′(e2)=0,D′(e3)=e1.

已知C0(A,A)=Hom(A,A)由基(gij)i,j=1,2,3生成,其中(gij)i,j=1,2,3定义为：

类似可得C1(A,A)由基(fi)i=1,2,3生成,(fi)i=1,2,3定义为fi(e1,e2,e3)=ei.

所以，C1(A,D)=C1(A,D′)=C0(A,A)是9维线性空间,C2(A,D)=C2(A,D′)=C1(A,A)×C0(A,A)是12维线性空间.经计算得：

(Ⅰ) dimZ1(A,D)=4且Z1(A,D)由基{g11,g23,g32,g22-g33}生成,故dimH1(A,D)=4.

(Ⅱ) dimZ2(A,D)=9,且以下列元素为一组基：

{(f1,0),(f2,g12),(f3,g13),(0,g11),(0,g21),(0,g23),(0,g31),(0,g32),(0,g22-g33)}.

(Ⅲ) dimB2(A,D)=5,B2(A,D)由基元{(f1,0),(f2,g12),(f3,g13),(0,g21),(0,g31)}生成,故dimH2(A,D)=4,基为{(0,g11),(0,g23),(0,g32),(0,g22-g33)}.

(Ⅳ)H1(A,D′)=Z1(A,D′)是4维线性空间,它的基为{g21,g31,g32,g33+g11-g22}.

(Ⅴ) dimZ2(A,D′)=9,由以下元素生成：

{(f1,0),(f2,0),(f3,g22),(f3,g33),(0,g11),(0,g21),(0,g23),(0,g31),(0,g32)}.

(Ⅵ) dimB2(A,D′)=5,由{(f1,0),(f2,g32),(f3,g33),(0,g31),(0,g21)}生成.故dimH2(A,D′)=4，且以{(f2,0),(f3,g22),(0,g11),(0,g23)}为基.