近代几大著名的数字学派简介

宋子涵

1．格丁根学派

格丁根学派是德国19世纪20年代到20世纪20年代，由高斯（Gauss）创立的，黎曼（Riemann）、克莱因（Klein）、希尔伯特（Hilbert）等人都是该学派中的成员．该学派在世界数学史中长期占主导地位．格丁根学派强调数学的统一性，重视纯粹数学和应用数学，将数学理论与近代工程技术紧密结合，格丁根学派“兵多将广”且代代相接，学科齐全且长期保持着高度创造力，然而到20世纪30年代，纳粹执政后的疯狂民族主义导致该学派日渐衰落．

高斯早年就读于格丁根大学，并在格丁根担任天文台台长和天文学教授，其《算术研究》和《曲面的一般研究》分别成为数论和微分几何的奠基著作，黎曼也曾就读格丁根大学，1851年获博士学位，后留校任教授，黎曼是复变函数论的创始人之一，以他名字命名的黎曼积分、黎曼曲面、黎曼几何分别推動了积分理论、拓扑学和几何学的发展．克莱因1886年受聘于格丁根大学，为学派的组织健全、人员汇集和理论发展做了大量工作，例如组织了许多讨论班，营造了相互合作、民主自由的学术气氛．他在《新的几何研究成果的比较分析》中提出的“埃尔朗根纲领”，成为数学统一性的代表作，影响了本学派的后继工作．希尔伯特1895年应召到格丁根大学后，在代数数论、几何基础、分析学、理论物理和数学基础等方面作出了巨大贡献．希尔伯特注重数学与物理等学科的联系，他的新统一观点促进了20世纪数学的进展．诺特（Noether）1916年到格丁根大学后，创立了抽象代数学，并创办了讨论班，培养了大批近现代数学家，进而影响到法、苏、美、英等国的数学发展．

2．柏林学派

柏林学派是19世纪下半叶到20世纪初，在德国柏林兴起的数学学派，其代表人物为外尔斯特拉斯（Weierstrass）、弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg）、基灵（Killing）等人．柏林学派主要从事数学分析、符号代数和几何基础方面的研究．虽然柏林学派不限制研究的方向，但所有成员有着一致的哲学观点，并用以指导研究工作．

1856年，外尔斯特拉斯受聘到柏林大学执教，在数学分析的严密化方面作出了重要贡献，提出连续、一致收敛等基本概念及其应用方法；在椭圆函数、行列式、线性代数、变分法等领域也取得丰富的成果，成为该学派的带头人.1867年，弗罗贝尼乌斯和基灵进入柏林大学学习，在外尔斯特拉斯的指导下获博士学位，弗罗贝尼乌斯继承了外尔斯特拉斯有关初等因子的理论，独立引入符号矩阵代数，基灵则对外尔斯特拉斯有关几何基础方面的工作进行了深入研究，创立了李代数的结构理论和环与代数的结构理论．

3．意大利代数几何学派

该学派19世纪60年代兴起于意大利，由布廖斯基（Brioschio）、贝蒂（Betti）和克雷莫纳（Cremona）“掌门”．该学派的工作在性质上属于古典代数几何，有着自己的风格和研究主题，对意大利数学的全面发展有深远影响.19世纪50年代开始，意大利数学家与欧洲数学家有了广泛交流.1863年，波伦亚大学的数学教授克雷莫纳给出平面曲线的一般变换理论，此后又被后人完善，称其为克雷莫纳变换：任意维射影空间的射影平面与有理平面的双有理变换理论．他的一系列工作成为意大利代数几何研究的起点，并带动了许多数学家对其进行研究.19世纪90年代后，意大利的很多代数几何学家成长起来，其中塞格雷（Segre）于1894年扩展了线性系的研究领域，后人在此基础上发现了许多新的双有理不变量的性质.19世纪末卡斯泰尔诺沃（Castelnuovo）与恩里克斯（Enriques）开始合作，以线性系为中心概念进行研究，利用克雷莫纳变换奠定了曲线的线性系理论，并对曲面分类理论进行了深入的研究．塞维里（Severi）师从塞格雷，完善了代数曲面双有理不变量理论，并将其推广到任意维代数簇上．他还建立了代数几何的基础理论，为曲线的线性系理论打下了基础．

4．法国函数论学派

法国函数论学派兴起于19世纪末，以阿达马（Ha-damard）、波莱尔（Borel）、贝尔（Baire）、勒贝格（Lebesgue）等人为代表，

法国数学在18世纪末到19世纪30年代，在数学分析、几何和数学物理方面取得巨大成就.19世纪末法国数学重新崛起，阿达马在函数论领域取得了开创性的成果，成为学派的精神领袖，并在20世纪初开办讨论班，培养了一批优秀数学家，波莱尔1897年任巴黎高等师范学校讲师，其《函数论教程》阐述了测度理论，并给出覆盖定理的一个新证明，他编辑的“函数论著作丛书”先后出版了约50本，其中包含了将集合论用于实变函数论和复变函数论的新思想.1899年贝尔研究了连续函数的极限函数的特殊问题，并给出了半连续概念，此后集中研究非连续函数，成为实变函数论的开拓者之-.1897年勒贝格毕业于巴黎高等师范学校，两年后开始发表有关函数分类的文章，1902年在博士论文《积分、长度与面积》中详细阐述了勒贝格积分概念，这是研究现代积分论的开端，后来勒贝格又在《积分与原函数的探索》中证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，完全解决了黎曼可积性问题，为实变函数论打下了坚实的基础．在20世纪初，法国函数论学派吸引了世界各地的学生，推动了世界函数论的发展，第一次世界大战使法国科学研究遭受重创，函数论学派没落．法国数学在战后逐渐转向应用领域和研究公理化方法．

5．普林斯顿学派

普林斯顿学派于20世纪初在美国普林斯顿创立，并一直延续到20世纪50年代，以范因（Fine）、维布伦（Veblen）、外尔（Weyl）、莫尔斯（Morse）等人为代表．普林斯顿学派既在传统微分几何与拓扑学中引进了新的工具，又开拓了有关数学物理的新领域，以优势学科带动其他学科全面发展，以数学理论研究推动科学应用，并广泛开展国际交流与合作，是现代数学发展的一种非常成功的模式．

范因就是在当时的世界数学中心——德国获得博士学位，自1885年起一直在普林斯顿工作，曾任普林斯顿大学数学系主任、教师会主席、科学系主任、代理校长等职，1911和1912年任美国数学会主席.1905年维布伦到普林斯顿大学任教，在几何基础、射影几何、组合拓扑等领域取得了很多成果.1922年后，他与艾森哈特一起引入路线概念，并将其作为空间的基本结构元素，深入研究了路线几何学的流形，后又对微分流形和微分几何的公理化进行了深入研究，他们非常注重微分几何与相对论、电磁学、动力学和量子理论相结合．其《射影几何》《位置分析》都已成为经典著作.1933年，普林斯顿高等研究院成立，聘请了一批世界著名的数学家，创办了《数学年刊》，并开设了数学讨论班．

6．莫斯科学派

莫斯科学派于20世纪初在莫斯科创立，该学派又细分为两个侧重点不同的学派：由叶戈洛夫和卢津创立，柯尔莫哥洛夫发扬光大的函数论学派；以亚历山德罗夫、乌雷松、庞特里亚金等人为代表的拓扑学派．

莫斯科学派直接代表了前苏联近现代数学发展的水平．卢津是叶戈洛夫的学生，曾到法国和德国学习，后在莫斯科大学演讲实变函数论，并写有实变函数论教科书，他曾证明可测函数的构造定理．柯尔莫哥洛夫在数论方面作了大量工作，并应用实变函数论和测度论将概率论建立在严格的数学基础上．亚历山德罗夫和乌雷松也都是卢津的学生，早年从事函数论研究，后转向研究拓扑学，成为20世纪该学科的先驱．乌雷松开创了维数理论的研究，为发展一般拓扑学理论作出了杰出贡献，庞特里亚金参加了亚历山德罗夫组织的拓扑学讨论班，他写了几本重要的拓扑学专著，且在应用数学领域取得较大成就，莫斯科学派将函数论作为工具，在拓扑学、微分方程、概率论等几个方面都获得长足的发展．近年来莫斯科数学界仍然新人辈出，其中诺维科夫和马尔库利斯分别荣获1970年和1978年度菲尔兹奖．

7．剑桥分析学派

剑桥分析学派于20世纪上半叶在英国剑桥大学兴起，以哈代（Hardy）和李特尔伍德（Littlewood）为代表．剑桥大学一直是英国的数学研究中心，而数学是该校的重要课程之-.1837年，他们创办了《剑桥数学杂志》，以供年轻数学家发表研究成果．

19世纪下半叶，凯莱（Cayley）、福赛思（A.R.For-syth）、霍布森（E.W.Hobson）等人成为剑桥分析学派的领头人，哈代1900年毕业于剑桥大学三一学院，后留校执教．他的《纯粹数学教程》是一本有关初等数学分析的教程，产生了较大影响.1910年，李特尔伍德成为哈代的同事，1912年他开始与哈代联名发表论文，35年中他们通过合作，在丢番图逼近、数的加性和积性理论、黎曼函数、不等式、积分、三角级数等分析领域发表了近100篇论文.1913年，哈代与印度天才数学家拉马努金（Ramanuj an）在素数分布、加性数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等方面进行合作．在此期间，哈代和李特尔伍德的教学激发了许多学生对分析学的兴趣，到20世纪30年代，两人共同主持的联合讨论班的学生遍及世界各地，剑桥分析学派将严密化的分析方程、积分方程、测度等工具用于数论、函数论的研究，并运用超圆法解决了很多数学问题．剑桥分析学派将纯粹数学与应用数学结合起来，并将其用到分析学的研究领域，大大地促进了其他数学分支的发展．

8．波兰学派

波兰学派兴起于两次世界大战期间，依据地点一般又细分为华沙学派和利沃夫学派，华沙学派成员于1920年创办《数学基础》杂志；利沃夫学派则在1929年创办了《数学研究》杂志．两个学派的成员分别在两份杂志上发表文章，两份杂志也因此成为了国际上重要的数学杂志，谢尔品斯基（Sierpimski）、尼谢夫斯基（Janiszewski）、马祖尔克维奇（Mazurkiewicz）是波兰学派的创始人．他们都曾在华沙大学工作，一起创办了《数学基础》，在集合论和拓扑学领域上取得很多成果．同时他们非常注意科学团体的组织建设，以学派刊物为中心，吸引和培养了一大批优秀的数学家．利沃夫学派的代表人物是巴拿赫（Banach）、施坦豪斯（Steinhaus）、库拉托夫斯基（Kuratowski）、乌拉姆等，他们先后在利沃夫技术大学学习或执教，对泛函分析学科的创立和发展作出了贡献．学派中的成员常在一个“苏格兰咖啡馆”聚会，提出和讨论数学问题，其中不乏影响到20世纪后半叶数学发展的问题，除此之外，波兰学派中有的学员来自克拉克夫和波兹南，他们开办了一些数学聚会及科学机构．由于第二次世界大战纳粹占领波兰，波兰学派随之没落，幸好在战后得以复兴．

9．布尔巴基学派

布尔巴基学派于20世纪30年代出现在法国，由一群青年数学家创立，他们用尼古拉·布尔巴基（Nico-las Bourbaki）为集体的笔名，发表数学论文和有关数学基础问题的专著．这群青年广泛地、深入地研究现代数学的本质，撰写了鸿篇巨著《数学原理》．该书自1939年开始出版以来，已先后出版了近40卷，并陆续被译成英、日、俄等多国文字．同时，他们还发表500多篇综述当代数学各个领域重大成果的文章．

受第一次世界大战的影响，老一辈数学家对当代数学知之甚少，年轻大学生的求知欲得不到满足.1934年冬，一些高等师范学校毕业的年轻数学家自发地组织起来，约定1935年7月在巴黎召开第一次布尔巴基大会，并计划编写《数学原理》．这些年轻的数学家包括韦伊（WeiD、迪厄多内（Dieudonne）、嘉当（JosephCartan）、谢瓦莱（Chevalley）等人，他們成了布尔巴基学派的第一批主要成员．该学派每年举行数次聚会，在会上探讨数学发展的动向，运用公理化方法研究整个数学的基础和本质．会议没有任何程序，参加者可自由地踊跃发言．学派中的成员被要求必须具备较高的数学造诣和独立解决问题的能力，且对自己研究的课题怀有强烈的兴趣．他们的治学态度严谨，经常要反复修改一部作品，直到大家基本满意为止．因此一本书从动笔到正式出版平均要8-10年．学派中有个不成文的规定：凡年满50岁者必须退出．有许多学派的老一代成为了国际著名的数学家，较年轻的也有不少是优秀的数学家，如获得过国际数学家大会颁发的菲尔兹奖的施瓦尔茨、塞尔、格罗腾迪克等人．《数学原理》博大精深，作者坚持严格的公理化原则，并使用新颖独特的名词术语，以“分析的基本结构”为基础理论体系，涉及了集合论、代数学、一般拓扑学、实变函数论、拓扑向量空间、积分论等方面．此外，学派还发表了有关李群与李代数群、交换代数、谱理论、微分流形与解析流形等方面的著作，这些著作中都强调数学是一门统一的结构性科学，具有三种基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构；数学中的不同分支都是其重要组成部分．该观点对于丰富人们对数学的认识，推动数学的发展有重要意义，同时也影响了世界各国的数学教育．

历史证明，各个学派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号、语言．