基于作图立意 精于问题设计 促进有效复习

张超

［摘  要］ 文章以一堂“全等三角形判定方法”的复习课为例，提出初中复习课教学的几点思考，即教学方式应以学生为主体，问题设计应旧知新问，作图构思应先面后点.

［关键词］ 全等三角形；复习课；初中数学

近期，笔者参加了一堂“全等三角形判定方法”的复习课，复习课简约生动、别开生面，让人耳目一新. 现把教学过程与反思整理如下，与各位同仁交流分享.

教学过程

1. 全等图形再认识

师：如图1所示，美丽的图案是由全等图形构成的，其中，全等三角形是最基本的全等图形，本节课我们再一起认识一下全等三角形.

设计意图 创设的情境既让学生享受到了数学之美，也为后面全等三角形判定方法的复习埋下了伏笔.

2. 设计全等图形

活动1：先画△ABC，再画另一个三角形，使其与△ABC全等，且有一个公共顶点，并在图形上标出这两个三角形全等的条件. 可以尺规作图，也可以使用刻度尺、量角器、三角尺等作图. 学生独立完成任务后在小组内进行交流，教师在巡视过程中进行指导，发现学生做好的作品，让其在黑板上进行展示（图2就是部分学生完成的作品）.

设计意图 这是一道开放性问题，有利于激发学生的学习兴趣，有利于促进学生交流与表达，有利于提高学生解决问题的自信心. 不同的作图方法开阔了学生的视野，激发了学生的主体意识与参与意识.

3. 升华认识

师：为了让我们的学习更高效，必须有序地整理与归纳问题，下面请同学们把上述几位同学的作品按全等三角形的判定方法进行整理归类.

生1：第①个图形是一类，使用了“边边边”的判定方法；第②个图形与第③个图形是一类，它们都使用了“边角边”的判定方法；第④个图形是一类，使用了“角边角”的判定方法；第⑤个图形是一类，使用了“角角边”的判定方法.

生2：第③个图形使用的是“边边角”的判定方法，而全等三角形的判定方法里没有这种方法，所以第③个图形使用的判定方法不正确.

师：倾听他人的意见，从中发现问题，并敢于把问题提出来，就是一种可贵的学习品质，且这位同学还提出了自己的见解，给这位同学点赞. 学习数学知识一方面要关注结果，另一方面还要关注过程. 下面请画出上述五个图形的同学，把你们的作图过程说出来，并说明为什么这样画出的三角形与原三角形全等.

生3：（第①个图形）以点A为圆心，以BC的长为半径画弧，再以点B为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD. 由作图可知，AD=BC，AC=BD，AB=BA，根据“边边边”的判定方法可知△ABC≌△BAD.

生4：（第②个图形）用刻度尺量出AB的长，然后画线段BE=AB；用量角器量出∠ABE的度数，画∠CBD=∠ABE，在∠CBD的BD边上截取BD=BC，连接DE. 由作图可知，∠CBD=∠ABE，所以∠EBD=∠ABC. 又BE=AB，BD=BC，根据“边角边”的判定方法可得△ABC≌△EBD.

生5：（第③个图形）用量角器量出∠ACB的度数，然后画∠ACD=∠ACB，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧与∠ACD的一边相交于点D，连接AD. 经过度量发现BC=CD，说明△ABC≌△ADC.

师：在作图过程中，我发现按生5的作图方法只能作出一个△ADC使△ABC≌△ADC，为什么他根据“边边角”作出的△ADC与△ABC是全等的呢？观察这两个三角形可以发现，它们有两边及一边的对角分别相等，且这个对角是钝角，说明可以用“边边钝角”判定两个三角形全等.

生6：（第④个图形）延长AC到E，使AE=AB，然后尺规作图使∠AED=∠ABC，交AB于点D. 因为∠BAC=∠EAD，AB=AE，∠AED=∠ABC，根据“角边角”的判定方法可得△ABC≌△AED.

生7：（第⑤个图形）分别延长AC，BC，在BC的延长线上取一点E，使BC=CE，过点E作ED∥AB，交AC的延长线于点D，则∠BAC=∠EDC. 因为∠ACB=∠ECD，BC=CE，根据“角角边”的判定方法可得△ABC≌△DEC.

设计意图 教师首先引导学生按全等三角形的判定方法去分类，有学生发现第③个图形利用的是“边边角”判定方法，不能判定兩个三角形全等；然后教师向学生追问作图过程，旨在引导学生思考三角形全等的理由. 在此过程中，师生发现了一个重要的结论，对于两个三角形，有两条边对应相等，其中一条相等的边对应的是钝角且相等，那么这两个钝角三角形全等. 整个引导过程自然天成，于整体上展开教学，于一处点升华，虽然起点很低，但促进了学生认知的提升和思维品质的发展.

4. 反思升华

活动2：如果一个三角形的两边长分别是3 cm和4 cm，有一个角是40°，请画出一个满足条件的三角形.

生8：如图3所示，先画一个角等于40°，然后在这个角的两边分别截取3 cm和4 cm的线段，最后连接BC构成△ABC.

生9：如图4所示，先画一个角等于40°，然后在这个角的一边截取4 cm的线段，再以线段的右端B为圆心，以3 cm为半径画圆，我发现圆B与射线AD有两个交点C，D，连接BC，BD，那么△ABC，△ABD都是符合题意的三角形.

生10：如图5所示，先画一个角等于40°，然后在这个角的一边截取3 cm的线段AB，再以点B为圆心，4 cm的长为半径画弧交AC于点C，连接BC，则△ABC也是符合题意的三角形.

师：请同学们观察图4中的△ABC，△ABD，你有什么发现呢？

生11：两个三角形，有两条边分别对应相等，且一边的对角也相等，但△ABC是钝角三角形，而△ABD是锐角三角形，这两个三角形不可能全等. 也就是说不能利用“边边角”判定两个三角形全等.

师：通过刚才的活动，同学们发现已知两边与一角，可以作出四个互不全等的三角形，如果把条件改为“一个三角形的两边长分别是2 cm与4 cm，一个角是40°”，那么符合条件的三角形一共有几个？

生12：根据刚才的经验可以作出四个互不全等的三角形，因为40°的角可以作為2 cm边和4 cm边的夹角，也可以作为2 cm边的对角或4 cm边的对角.

生13：如图6所示，当40°的角作为2 cm边的对角时，不能构成三角形，所以只能作三个符合题意的三角形.

设计意图 从一个简单的作图问题入手，把学生带入学习状态，当第一个学生作出一个图形时，教师又引导学生作出第二个、第三个图形，根据这三个图形巧妙地说明了利用“边边角”并不能判定两个三角形全等. 接着，教师升级问题，改变已知条件，结果只能作出三个符合题意的三角形. 在作图过程中，凸显了分类讨论数学思想，充分体现了以教师为主导、学生为主体的教学思想.

5. 全等大盘点

师：在本节课即将结束时，有必要对所学内容与方法进行盘点，只有这样才能提高学习效益. 同学们，在作图过程中，应用了哪些知识？运用了哪些方法？

经过盘点，学生得知应用“角角角”“边边角”不能证明两个三角形全等，只有“边角边”“角边角”“角角边”“边边边”才能证明两个三角形全等.

设计意图 简单的问题，在盘点知识与方法的同时，也渗透了数学思想方法.

教学反思

1. 作图构思——先面后点

复习课要达到两个目标：一是把学过的知识进一步内化，二是提升学生综合运用知识的能力［1］. 本课教学中，教师以作图构思整个课堂，从课堂开始到高潮到结束，都围绕作图进行追问，对图形进行整理与归类，力求突破与超越尺规作图. 在实践过程中，学生思维之间的碰撞与启发，随机生成许多意想不到的作图方法，又一次诠释了“角角角”“边边角”不能判定两个三角形全等的原因.

2. 设计问题——旧知新问

复习课不是简单的旧知识重复，只有对学过的知识恰当地进行设计，才能引发学生思考，避免学生产生对数学知识的审美疲劳而让学生失去学习的兴趣. 在设问的构思上，力求设计有层次，解决问题的方式方法多样化，体现旧知新问的智慧. 比如，复习全等三角形的判定方法时，教师没有直接向学生问判定方法，而是给学生设计了一个作图任务，这个任务具有开放性与操作性，学生面对问题，各显神通，达到了良好的复习效果.

3. 教学方式——学为主体

复习效果如何，取决于学生参与课堂的积极程度［2］. 教师必须选择合理的教学方法，才能吸引学生参与课堂教学，如本复习课立足学生的认知水平，以动手作一个与原三角形全等的三角形为载体，开启整个课堂教学，时而利用小组合作，交流互动，时而利用追问，引导学生思考发现新的策略，把以学生为主体的理念切切实实地落在了实处.

参考文献：

［1］ 吴晓刚. 突破常规框架 促进深入学习——以“全等三角形复习”为例［J］. 中小学数学（初中版），2021（09）：56-58.

［2］ 张录林.注重教学主线 落实课程标准——以“全等三角形”复习课为例［J］. 中学数学教学参考，2021（21）：3-4.