研读数学教材 探索数学本质 发展学生思维

路杰 杨志宇

摘   要：小学数学拓展课的教学内容与教材中的数学知识是紧密相连的，是对教材中数学知识的拓展，是对学生数学能力的提升。数学拓展课的开发是在研读教材、遵循学生认知规律的基础上，设计数学教学活动，引导学生探索数学本质，发展数学思维。

关键词：小学数学;数形结合;数学拓展课

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2022）25-0013-04

数学拓展课是基于教材编排的数学内容且符合学生认知规律的拓展延伸课。数学拓展课以培养学生核心素养为目的，在恰当的数学活动中引导学生探索数学本质，积累数学经验，发展学生数学思维。

一、研读数学教材，找准知识生长点

六年级第8单元“数学广角”的例1，通过正方形图研究“从1开始连续奇数之和等于这些数的个数的平方”，即1+3+…+（2n-1）=n2。通过正方形图来研究这一规律，凸显借助图形研究数的直观性，培养学生的几何直观。从1开始连续奇数之和与这些数个数的平方相等，那么从1开始连续自然数的平方之和又等于什么呢？还能借助图形研究吗？笔者深入研读教材，找准知识生长点，设计了如下教学。

师：这个数你会读吗（右图）？

师：请你用手中的小正方形摆

一摆，并让同学们一眼就能看出这

个图形中小正方形的个数是32个。

学生操作后，展示学生作品，并组织学生说一说这样摆的优点。（一行3个，共3行，一共有32=9个）

师：我们已经学过1+3+5=32。请用不同颜色的小正方形摆一摆，不仅让大家看到32，还可以清楚地看出1+3+5。

学生操作后，展示学生作品，并组织学生说一说。（算式左边的加数是正方形图中左下角的小正方形和其他“┐”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。）

师：图中的小正方形还可以摆成这样的三层（如下图），也能够更清楚地看出1+3+5。

师：22和42可以怎样摆呢？

22：

42：

师：我们借助图形研究了从1开始连续奇数的和等于这些奇数个数的平方。今天，我们继续研究像12+22+…+992+1002，从1开始连续自然数的平方和。

学生独立尝试后，发现困难。

师：老子在《道德经》中说“天下难事，必作于易。”就是告诉我们，天下的难事，一定从简易的地方做起。我们研究12+22+…+992+1002遇到了困难，可以先研究比较简单的算式，比如先研究12+22+32+42的和，再研究12+22+…+992+1002的和。

二、探索数学本质，发展学生思维

数学是思维的体操。我们要在解决数学问题的过程中探究数学知识的本质，发展学生的数学思维。教材第1课时是借助正方形图研究数的规律，在解决问题的过程中培养了学生的几何直观。数与形的拓展课在分析教材的基础上，对相似数学知识进行拓展延伸，在教學时要合理设计探索数学本质的学生活动，在解决数学问题的过程中发展学生的数学思维。

活动一：借助数与形，初探平方和

师：12可以用一个小正方形表示。

师：22、32、42可以有下面两种不同摆放，其中一种方法易看出一个数的平方，另一种方法易看出从1开始连续奇数的和。

师边叙述边板书：12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）

师：我们利用加法交换律和结合律可以把算式整理如下：

12+22+32+42=1+（1+3）

+（1+3+5）+（1+3+5+7）=

（1+1+1+1）+（3+3+3）+

（5+5）+7

师：小正方形怎么整

理一下，就能够清晰地看

出（1+1+1+1）+（3+3+3）

+（5+5）+7呢？（学生操作后，展示如右图）

师：这个图形中小正方形的个数等于12+22+32+42的和。

师：上图中左边是对齐的，我们把表示12、22、32、42的正方形补在上图的右侧。

师：边长是4的正方形补在哪里？（和最上面的正方形对齐）

师：为什么要这样补呢？（因为这一列正方形有四个，正好可以补齐）

师：边长是3的正方形补在哪里呢？（和下面三行三列正方形补齐）

师：边长是2的正方形呢（和两行的正方形补齐）？还剩一个小正方形呢？（和最下面的一行正方形补齐）

师：现在小正方形的个数等于12+22+32+42之和的2倍，再这样操作一次就变成了12+22+32+42之和的3倍了。动手拼一拼、试一试吧。

师：这样拼完后，你发现了什么？

生：拼成一个长方形了。

师：这个长方形中小正方形的个数是12+22+32+42之和的3倍。

师：看似求12+22+32+42的3倍比求12+22+32+42复杂了，但通过转化，我们把不规则图形转化成长方形，更容易得到小正方形的个数了。

师：这个长方形中小正方形的个数是多少呢？

生：（1+2+3+4）×（4×2+1）。

师：也就是12+22+32+42之和的3倍。

师：那么12+22+32+42=（1+2+3+4）×（4×2+1）÷3=30。

师：12+22+32+42+52等于什么呢？

生：（1+2+3+4+5）×（5×2+1）÷3=55。

教师组织学生验证12+22+32+42+52的和正好是55。

师：12+22+32+42+52+62等于多少呢？

生：（1+2+3+4+5+6）×（6×2+1）÷3=91。

教师组织学生验证12+22+32+42+52+62的和正好是91。

师：看起来12+22+…+（n-1）2+n2=（1+2+…+n）×（2n+1）÷3。

师：请你用这种方法计算12+22+…+992+1002的和。

生：（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3

活动二：借助数与形、再探平方和

学生计算12+22+…+992+1002时，遇见新问题——1+2+…+99+100的和怎么快速计算呢？

师：计算12+22+…+992+1002，要先计算1+2+…+99+100的和。为了更深入研究平方和，我们要知道1+2+…+99+100的和怎么计算。这个新问题又应该怎么研究呢？

生：可以像刚才一样，借助图形先研究1+2+3+4的和，再思考1+2+…+99+100的和。

师：请用小正方形表示1+2+3+4，并让其他同学清楚地看出你摆的就是这道算式。

学生操作后展示。

师：这是一个不规则图形，接下来怎么办呢？（展示学生摆的图形）

师：你能给大家解释一下为什么要这样摆吗？

生：倒着摆放一个这样的图形，拼起来正好是一个长方形，其中小正方形的个数是1+2+3+4之和的2倍。

师：你能用刚才研究的方法思考新问题，很了不起。

师：这个长方形中小正方形的个数是多少呢？

生：（4+1）×4。

师：也就是1+2+3+4之和的2倍。

师：那么1+2+3+4=（4+1）×4÷2=10。

师：1+2+3+4+5等于多少呢？

生：（5+1）×5÷2=15。

教师组织学生验证1+2+3+4+5之和正好是15。

师：1+2+3+4+5+6等于多少呢？

生：（6+1）×6÷2=21。

教师组织学生验证1+2+3+4+5+6之和正好是21。

师：看起来1+2+…+n=（n+1）×n÷2。

师：请你用这种方法计算1+2+…+99+100的和。

生：（100+1）×100÷2=5050。

师：数越多越发现用这一规律计算的简便。现在快去算一算12+22+…+992+1002的和是多少吧。

板書：12+22+…+992+1002=（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3=5050×201÷3=338350。

师：12+22+…+9992+10002等于多少呢？下课后，大家可以继续研究。我们利用数与形的关系找到了计算规律，运用这个规律我们可以更加简便地解决这一类问题。华罗庚先生曾说过：数与形本相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。我们只观察12+22+32+42，不如用图形表示直观。但一直用图形表示下去，研究12+22+…+992+1002就显得复杂了。借助图形研究数的规律，最后还需要运用规律回到算式中去研究，寻找解决问题的办法。

三、总结

像这样的数学拓展课，教学内容与教材中的数学知识是紧密相连的，是对教材中数学知识的拓展，是对学生数学能力的提升。数学拓展课的开发是在研读教材、遵循学生认知规律的基础上，设计有效的数学教学活动，在解决问题的过程中引导学生探索数学本质，感悟数学推理的魅力，发展学生的数学思维，促进学生核心素养的形成。