数学学科育人的内涵特征与高考表达

刘师妤　周龙虎

【摘 要】经由学科教学发挥学科育人功能是教师的根本使命，也是学科教学的根本旨趣。厘清学科育人的基本内涵，凸显学科育人的价值取向是“新课标、新教材、新高考”背景下数学教学研究的热点问题。教考衔接下的数学学科育人特点是遵循课标精神，落实学科核心素养;关注数学结构，丰富数学研究对象;突出研究意识，培育探索及理性精神。

【关键词】学科育人;内涵特征;核心素养;高考数学;数学本质

一、引言

2022年高考数学已落下帷幕，试题多以真实情境为背景，既发挥了考试的教育功能和导向作用，又加强了关键能力考查，增强了选拔性。高考一直深刻观照教与学的过程并致力于改进与完善。但是教如何促进素养落地，学如何提升思维品质，教考如何衔接才能彰显出有效性与考评的一致性，是高考的应然启示。对“教—学—评”三者关系的思考，本质上是对学科教学和学科育人的聚焦及辨析，即如何通过学科教学实现学科育人的功能，让高考测评更具准确性和针对性。学科教学立足于知识的授受过程，如何发展学生的学科核心素养是学科教学的目标及关键;学科育人則侧重学科德育，强调通过学科学习活动培养良好的情感、态度及价值观。要实现从学科教学向学科育人的转变，就必须对学科育人的内涵做深刻的解析并对育人的手段或路径予以清晰的把握。

二、数学学科育人的内涵解析

学科育人价值包括学科独特的育人价值和跨学科的共性育人价值[1]，需要通过学科实践活动得以实现。数学学科实践活动内涵丰富，不仅包括数学解题活动、数学探究活动等显性活动，还包括冥思苦想、观察联想等一系列隐形的思维或心理活动。因此需要考察学科实践的全过程，才能深刻理解学科育人的内涵特征。

（一）根植学科核心素养，指向数学本质的领悟

从“中国学生发展核心素养培养”的发布到“学科核心素养”的凝练，学科的独特育人功能得到彰显。基于数学学科的高度抽象性、严密逻辑性以及广泛应用性等特点，史宁中将数学的基本思想概括为：抽象、推理及模型，并具化为六种数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。他将这些核心素养解读为用数学的眼光观察数学世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达数学世界，既强调了学科核心素养作为构建学科核心素养结构发展模型的底层（或基础）地位，又揭示了数学的本质。对于“数学的本质”虽未有统一的定义，但数学本质必然是指数学内容本身所固有的根本属性，是区别于其他学科内容的基本特质[2]。如对数学核心概念的理解、对数学思想方法的把握、对数学美的鉴赏及对数学精神的追求。相较于培育学生的数学哲学观念、渗透数学思想方法，基于数学核心素养的教学既充当抓手，又具体实用，并且易于落地。无论是从课程到主题，还是从单元到课时，基于数学核心素养的教学设计应遵循以下教学逻辑流程：（1）确定培育哪些核心素养？这是对教学目标的大致设定，其受教学内容以及教学设计思路的制约，一般至少有两种。但应尽可能关联其他学科的核心素养，以教学内容的开放性带动核心素养培育的全面性[3]。（2）确定要培育的目标核心素养（群）应达致何种水平？按照四个水平维度进行划分，分别是情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思。（3）确定渗透了哪些数学思想方法，凸显了什么数学哲学观念？也就是对教学全过程做必要的思想方法和一般观念的提炼。

不难看出，基于数学核心素养的教学活动皆指向对数学本质的体悟，这与《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）所指出的基于数学核心素养的教学活动应把握数学的本质[4]不谋而合。因此，从数学本质出发设计数学课堂教学成为一条可行的路径。围绕知识本质，通过对数学知识的整体分析、对数学问题情境和问题链的合理设置、对知识逻辑关系的重新梳理与重构，有利于发展学生的数学核心素养[5]。此外，教师应积极地投入到促进学生数学核心素养与关键能力发展的行动研究中去，以合理的教学诊断为依据，开展精准的教学改进[6]。

（二）把握数学认知内涵，构建多维育人体系

数学认知是指通过数学的方式（观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等）建构数学知识结构的心理过程。该过程是数学知识结构与个体心理结构相互作用的产物，需借由丰富的数学认知对象得以实现。认知对象的逐步抽象化和复杂化客观上要求学生的认知水平与之协调一致，即实现由具体数字到抽象符号，由常量到变量，由有限到无限，由确定性到不确定性的观念转变和必然跃迁。没有数学认知水平的跃迁，根本就谈不上学科育人目标的实现。

认知数学知识的过程是重赋知识价值的过程。作为学科育人的最初样态，知识的内在属性决定了知识的价值。知识是人类经验的总结，知识经建构生成，蕴藏着前人辛勤探索、不断追求真理的艰辛历程，知识学习是利用他人经验建构、发展并完善个人经验的过程，知识只有经由理解才能融入原有的认知结构并获得意义。知识的育人价值不仅体现在育智、育德、育美上，更在于精神意义。“人—知”互动是学科育人的逻辑起点[7]，通过与知识（包含隐性知识）的积极交互，学习者的经验、生活、兴趣、情感全部融入其中并升格为能动性、创造性和意义感。

基本技能的学习与掌握是数学学习的第二层目的。数学技能的学习，是使“不会”变成“会”，“不熟练”变成“熟练”，是开展数学活动的必要条件。通过数学基本技能的学习，学生能习得必备的操作性技能和心智性技能，并为问题解决奠定基础。数学基本技能的教学不仅要让学生掌握技能操作的基本程序和步骤，还应让他们理解其中蕴含的道理。从学科技能学习到学科方法概括再到学科思想发掘，循序渐进地展现了技能育人的演进逻辑。

数学教学本质上是数学活动的教学。数学活动是对数学教学诸要素地再组织与优化整合的过程，学生亲历数学活动即是“做数学”的过程。“做数学”从具身体验性出发，通过学生的感受、觉知、动手操作及“做中学”等不同方式，有助于数学基本经验的积累、学习体验的延长及改善[8]。在数学活动推进过程中，教师要辩证地看待学生共同基础和个体发展的差异，在活动的目标确定、内容选择、组织形式及评价等方面，始终贯彻“把方法教给学生，把时间还给学生”的育人理念，让每个学生在经历有效数学活动的同时获得不同的发展。

数学思想方法是对数学知识本质特征的再次抽象与凝练，是知识的灵魂所在，理所當然也应发挥其育人功能。数学思想方法非显性数学知识，它往往内蕴于运用数学方法分析及解决数学问题或现实问题中。因此，数学思想方法的“不可教性”决定了其教学路径的封闭性。即使揭示了某种数学思想方法，深化与应用的过程还是需要学生以多视角、多层次进行深度剖析和理解。为使学生更好地体验、领悟数学思想方法，教师还应以正确的数学思维方法示范并引导[9]。

综上，建构以数学知识、数学技能、数学活动及数学思想方法为有效抓手的学科多维育人体系，有助于学科教学循序渐进地展开，有利于学科教学本质的应然回归。

（三）立足共同发展平台，规划分类分层育人设想

学科育人的基本定位是培养适应未来发展的人，而非学科专业人才。因而，为学生发展构建共同平台是学科育人的第一要务。新课标对学生的数学学习提出了共同的发展要求，即要求学生在数学学习中掌握“四基”“四能”“三会”，并通过教师引导学生会学习、会思考、会应用为可持续发展和终身学习奠定基础[10]。

在构建学生共同发展平台的同时，为满足不同学生的发展需求（如数学兴趣发展、数学专业发展等），新课标也设置了必修、选择性必修和选修三种课程类型，贯彻了因材施教的课程内容设置原则。因材施教的基本含义是从学生的实际出发，照顾到学生的个体差异，实施不同的教育，包括不同的培养目标、不同的教育内容、不同的教育要求、不同的教育方法，使每一个学生都能在自己原有的基础上得到比较好的发展。在数学教学的具体实践中，一般应采用“分层教学”的施教策略。教育要实现立德树人的教育目标，就应做精准的学情分析，并对具体情况做具体分析和应对之策，这是辩证唯物主义在教学中遵循的根本原则。尽管如此，学科育人目标仍要以培养“普通人”为取向的“学科普通育人目标”为主，并使教学目标、教学内容和教学活动方式回归学生的日常生活世界[11]。

三、数学学科育人的高考表达

高考作为教育的关键环节，选拔是基本功能，育人才是核心功能。因而，衡量高考试题的质量不能单靠信度和效度（难度以及区分度）等主要指标，还需要深挖试题背后的育人功能。高考数学的育人功能一般涵盖三个层面：展现社会主义制度的优越性，增强学生的爱国主义情怀和国家认同;结合我国数学研究成就和数学文化，增强学生民族自豪感与自信心;培育规则意识、探索与创新精神及辩证思想，增强理性精神[12]。为体现时代的发展需求，且兼顾高考试题的创新性原则，每年高考试题的育人重点都不尽相同。下面以2022年高考数学全国I卷为例进行分析。

（一）遵循课标精神，落实学科核心素养

高考数学命题无论是考查内容范围，还是要求层次都应与课程标准保持高度一致。数学课程标准将数学教学核心理念凝练为学科核心素养，既体现了与时俱进的人才培育要求，又凸显学科的独特育人价值。2022年高考数学试题聚焦抽象、运算和模型等学科核心素养，遵循“课标是导向，素养是核心”的基本命题原则，践行立德树人的根本使命。

1.立足对象结构，发展抽象概括能力

抽象是在感性抽象基础上进行理性抽象的过程，高考试题对于学生数学抽象核心素养的考查一般包含两个方面：（1）以具体、繁杂的数学对象为载体，发展结构抽象素养;（2）以抽象对象为载体，考查关系抽象能力。

例1 （2022年全国I卷第7题）设a=0.1e^0.1，b=[1/9]，c=-ln0.9，则（  ）

A.a

评析：无理式大小比较是一件不容易的事情，尤其当它们不具备“相似”的结构（不能构造函数，直接利用函数单调性比较大小）时，我们就需要从繁复的数式中撷取简易的同性元素（如本题中的“0.1”），从而实现结构抽象。具体地，构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用导数判断其单调性，由此可得到a

2.融合“理”“法”，助推运算的优化及自动化

算理和算法是运算的基础，数学运算素养的提升得益于算理的明晰和算法的优选。“多想一点少算，少想一点多算”的命题理念依然根植于高考。随着数学研究的不断深入，数学学习过程对理解运算对象、明确运算方向、选择运算方法、设计运算程序、掌握运算法则等方面都有了更高的要求，且指向计算思维的养成。计算思维的本质是抽象和自动化，培育数学运算核心素养的最终目的是实现运算素养到计算思维的蜕变。

例2 （2022年全国I卷第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上。若该球的体积为[36π]，且3≤l≤[33]，则该正四棱锥体积的取值范围是（  ）

评析：本题以正四棱锥及其外接球为载体，重点考查学生的数学运算、逻辑推理核心素养。设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此可确定正四棱锥体积的取值范围。在运算过程中，得到正四棱锥的体积V=[13]Sh=[19l41-l236]后，可借助导数工具求最值，也可利用三元基本不等式求最值。因此，深刻剖析算理，灵活选择算法是提升数学运算素养的关键举措。

3.聚焦经典素材，考查模型理解及建构水平

通过建立数学模型，我们能觉知其直观性、过程渐进性及本质特征。运用数学模型思想的过程是借助已有数学模型建构知识体系、解决未知问题甚至建构新模型的过程，是促进学生数学理解的过程。

例3 （2022年全国Ⅰ卷第15题）若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是      。

评析：函数的切线问题是典型的数学模型，一般有两种解决策略：一是直接设切点横坐标为x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程的实数根个数（对应切线的条数），求得目标参数的取值范围;二是通过函数图象研究函数的性质，利用数与形的内在关系，可直观得到目标参数的取值范围。

（二）关注数学结构，丰富数学研究对象

结构是组成整体的各部分的有机搭配，结构所传递的信息最为清晰有效。笼统地说，数学结构一般分为代数结构与几何结构。代数结构的几何化以及几何结构的代数化路径能顺畅地沟通两者之间的关系，从而发挥结构表征与转化的最大效益。数学研究的对象，不仅包括概念、定理、思想方法，还包含数学结构。这里的数学结构并非是数学中狭义的群结构、拓扑结构等具体结构，而是对数学对象间本质特征的形式化描述。客观地说，数学结构比其他数学对象更利于揭示命题的意图，从而确定研究方向及思路。

例4 （2022年全国Ⅰ卷第18题）记[△ABC]的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]。

（1）若C=[2π3]，求B;（2）求[a2+b2c2]的最小值。

评析：本题立足于解三角形中边角关系转化以及三角恒等变换，对代数变形技巧有较高的要求。本题的题眼[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]，揭示了相似的数学结构，即[cosA1+sinA=][cos（π2-2B）1+sin（π2-2B）]，故可构造新函数f（x）=[cosx1+sinx]，通过弦切互化等变形手段，得到f（x）=[cosx1+sinx]=[tan（π4-x2）]。再结合角度范围，得到A+2B=[π2]，后面的问题便迎刃而解。

例5 （2022年全国Ⅰ卷第22题）已知函数f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

（1）求a;

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

评析：鉴于本题中的目标函数f（x）与g（x）存在结构上的相似关系（可借助换元同构），故第（2）问转化后的特殊方程的三个实数根存在对应关系。第（2）问立足于特殊的几何结构直观，需要将它转译为等价的代数关系。即当b>1时，方程ex-x=b有两个不同的实数根x1，x0（x1<0（三）突出研究意识，培育探索及理性精神

隨着数学课程改革的深入，提高学生的问题意识、研究意识已成为数学教学的紧要任务。浓厚的问题意识推动着探索的步伐，反过来，主动探索又能生发新的问题或方法，且能提高问题研究水平。数学学习的乐趣在于探索的乐趣及成就感的获得，因此，具有一定挑战性和思辨性的数学试题能有效考查学生的综合素质和理性精神。

例6 （2022年全国Ⅰ卷第16题）已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为[12]。过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，[DE]=6，则[△ADE]的周长是       。

评析：面对形式复杂、综合性较强的解析几何问题，应遵循“定义—几何性质—常见结论— 一般方法”的思考逻辑顺序。这一思考逻辑顺序应经由学生在平时的学习中探究概括得到，否则难以成为学生认知结构中的可随时调用的经验。结合本题中[△ADE]的一般性，可联想到利用椭圆定义及图形的对称性简化运算过程。

例7 （2022年全国Ⅰ卷第21题）已知点A（2，1）在双曲线C：[x2a2-y2a2-1=1]（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。

（1）求l的斜率;

（2）若tan[∠]PAQ=[22]，求[△]PAQ的面积。

评析：本题的设问方式简洁、精炼，没有过多的铺陈和修饰，且形式新颖。该题第（1）问属于平时教学中的典型问题，即当过圆锥曲线上某定点的两直线的斜率之和（或积）为定值时，那么动点连线所在直线的斜率为定值或过定点。作为第（1）问的一般性推广，解决第（2）问需要综合条件“直线AP，AQ的斜率之和为0”及“tan[∠]PAQ=[22]”求出直线AP和直线AQ的斜率，再分别联立直线AP、直线AQ与双曲线方程求出点P，Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出[△]PAQ的面积。简而言之，要解决第（2）问，需运用解析法（主要是夹角公式或到角公式）解三角形。基于数学知识整体观进行问题研究，不仅有助于数学问题的快速解决，而且能让学生形成整体性认知方式和数学理性精神。

四、结语

分析高考试题的命题特征及趋向性要立足学科育人这一根本逻辑出发点，以知育人、以行塑人是基本途径。教师应深入研究教学内容，使学生领悟数学本质，使核心素养在课堂教学中真正落地;教师应重视结构化教学，以知识认知构建知识结构，进而形成或完善认知结构;教师应带领学生积极开展探究性学习（尤其是主题探究活动），让知识流动起来，让学生的思维真正活起来。

参考文献：

[1]余文森.学科育人价值与学科实践活动：学科课程新标准的两个亮点[J].全球教育展望，2022（4）：14-15.

[2]石志群.数学教学如何突出数学本质[J].数学通报，2019（6）：23-26.

[3]欧阳子豪.学科核心素养的融通培养：现实诉求和基本策略[J].中国教育学刊，2022（2）：34-39，98.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[5]傅赢芳，喻平.从数学本质出发设计课堂教学：基于数学核心素养培养的视域[J].教育理论与实践，2019（20）：41-43.

[6]曹一鸣，刘坚.促进学生数学核心素养与关键能力发展的教学研究[J].中小学课堂教学研究，2017（4）：3-6.

[7]郭元祥.论学科育人的逻辑起点、内在条件与实践诉求[J].教育研究，2020（4）：4-15.

[8]董林伟，石树伟.做数学：学科育人方式的实践创新[J].数学通报，2021（4）：22-24，62.

[9]梁秋莲.帮助学生获得数学思想的基本策略[J].课程·教材·教法，2015（9）：54-58.

[10]《基础教育课程》编辑部.整体把握课程 抓住数学本质 发展核心素养：访普通高中数学课程标准修订组负责人王尚志[J].基础教育课程，2018（1）：27-31.

[11]束婷婷，陈佑清.培养“专业人”或“普通人”：两种不同取向的学科育人目标分析[J].教育学报，2021（3）：75-84.

[12]任子朝，赵轩.论高考数学的育人功能[J].数学通报，2020（11）：14-20，52.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】刘师妤，华中师范大学教育博士，湖北第二师范学院讲师，曾荣获武汉市优质课一等奖;周龙虎，华中师范大学数学教育博士，华中师范大学第一附属中学数学骨干教师，华中师范大学考试研究院特聘研究员。

【基金项目】中国教育学会2021年度教育科研中小学德育专项课题“中小学数学学科德育教学：方法与路径”（21DY090618ZB）