章节架构为要 核心知识为脉

朱明明

[摘  要] 基于研学课堂的章节单元复习课通过围绕挑战性学习主题，系统整合单元知识内容与思想方法，并对章节知识的拓展运用引发学生深度思考. 关注学生在单元复习研学中的“再发现”和“再创造”能力的培养，帮助学生实现从“学会”到“会学”的根本性转变，以提升学生的数学核心素养.

[关键词] 章节复习;知识架构;深度学习;研学课堂

随着新课标对学生数学核心素养培育要求的进一步提升，作为知识系统架构和学生思维能力培养的章节单元复习课教学越来越受教师的重视. 章节单元复习课不能停留在学生熟化解题套路、强化解题规范和技巧的过程，而应成为教师引导学生围绕着具有挑战性的学习主题，通过系统整合单元知识内容与思想方法，并对章节知识的拓展运用引发学生深度思考的学习过程. 在此过程中，教师应更关注学生在单元复习中的“再发现”和“再创造”能力的培养，帮助学生实现从“学会”到“会学”的根本性转变. 笔者执教新苏教版（2019年）数学必修1第四章“指数与对数”单元复习课时采用了整体立意的主题单元教学思路，以“问题链”的方式引导学生整体把握章节核心内容与思想方法，极大地促进了学生深度学习.

[?]设计思路

编写“指数与对数”这一章内容，教材编者从初中学过的整数指数幂出发，逐步渗入分数指数幂与根式、指数幂的运算、对数概念及相关运算，意在让学生熟练掌握指数、对数及其相关概念与运算的基础上，厘清它们之间的内在联系，提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 因此，笔者将指数与对数的互化确立为教学核心，加强学生对数意义的理解，使他们体会对数对运算的简化作用;理解指数与对数的内在联系，学会揭示问题的本质;渗透“整体思想”“化归与转化思想”. 将本章知识体系架构确立为本节课的重点，指数与对数的互化确立为本节课的难点.

[?]教学过程预设

导语：我国著名数学家华罗庚说过这样一句话，“读书的真功夫在于既能把薄的书读成厚的，又能把厚的书读成薄的”（投影展示）. 这要求我们既能把主干知识丰富起来，又能从中抓住核心内容.

设计意图：通过华罗庚的名言让学生体会数学知识的学习是一个“薄—厚—薄”的过程，明确本节课的主要任务.

1. 聚焦核心

问题1：前面我们已经完成了“指数与对数”这一章的学习. 你认为本章的核心内容是什么？

设计意图：指出本章的核心内容——指对互化（投影图1），也就是对数定义的本质. 明确“ab=N”与“logaN=b”本质的一致性，为接下来研究确立中心与脉络.

问题2：在本章的学习中，你最大的困惑是什么？

设计意图：大多数学生的困惑是学习对数的意义何在，这个问题为接下来通过指对互化实现运算简化做铺垫.

2. 学以致用

问题3：我们为什么要学习对数？它的价值何在？

（投影“对数可以缩短计算时间，在时效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍. ”——拉普拉斯语）

设计意图：通过拉普拉斯的名言指出对数对运算的简化作用，让学生体会学习对数的必要性;同时渗透数学文化，体现数学的文化价值，激发学生研究的欲望.

下面通过实例说明对数的简化作用.

例1 围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（  ）

A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093

设计意图：通过具体例子培养学生的阅读能力，通过“巧取对数，妙解指数”问题让学生感受指数与对数的互化以及对数对运算的简化作用.

问题4：通过例1，你怎样理解“对数可以缩短计算时间”？

设计意图：师生一起总结例1中通过取对数，把除法转化成减法，乘方转化成乘法，实现运算的“降级”，从而达到简化运算的目的.

例1主要是通过指数与对数的互化，利用对数的运算性质解决的. 接下来，引导学生对比回顾对数与指数的相关运算性质（让学生写出相关运算性质并投影展示）.

设计意图：回顾对数运算性质的由来，类比对数与指数相关运算性质的外在形式，准确记忆公式的形式、特征，从转化的角度体会它们内部的联系. 从运算性质的角度体会对数对运算的“降级”作用.

例2 已知下表中的对数值有且只有一个是错误的，错误的对数值是（  ）

A. lg3 B. lg6 C. lg8 D. lg9

设计意图：助力学生掌握对数的运算性质，提高学生数据分析、逻辑推理的能力.

引导学生再思考：若a=log23，b=log35，则log3045=______（用a，b表示）.

设计意图：例2是利用对数的运算性质解决的，过程中让学生再次体会对数的运算性质给同底对数的运算带来的方便. 变式将条件和结论改为不同底对数，讓学生体会换底公式的作用——化异为同.

3. “倒叙”回顾

问题5：我们再次回到本章的核心——指对互化. 由于互化的过程中保证了两个式子的一致性，从而各字母的取值范围不变. 以“b”为例，它的取值范围为R，请大家回顾，在指数幂进行拓展前，幂指数的取值范围是什么？

设计意图：始终紧紧围绕“指对互化”这一核心内容，采取“倒叙”的形式，让学生对所学知识通过“回头看”而产生新的认识.

告知学生指数幂的拓展历程，也为后续研究函数奠定基础.

问题6：在幂指数从整数集拓展到有理数集的过程中，加入了分数指数幂，它是如何定义的？

设计意图：回顾指数幂的拓展历程，让学生了解指数幂拓展的必要性.

分数指数幂定义的本质也就是本章另一个重要的互化——根式与分数指数幂的互化.

投影：一般地，若xn=a（n>1，n∈N*），则x叫做a的n次方根.

让学生思考：（）n=？（a是使有意义的数）

设计意图：复习分数指数幂的定义，强化分数指数幂与根式的互化. 此恒等式在新授课时归纳得到. 此处在回忆基本知识点的基础上，从整体代换的角度重新审视根式其中的一个性质——（）n=a，给学生提供认识该性质的另一新视角.

问题7：我们再回顾已经学习过的两个对数恒等式，你有什么新的发现？

设计意图：教学生学会类比，渗透整体思想.

在等价转化ab=N① logaN=b②（a>0，a≠1，N>0，b∈R）中，将N=ab代入②式，得到logaab=b;同理，将b=logaN代入①式，得到alogaN=N. 我们发现，得到对数恒等式的方法与得到根式性质的方法如出一辙. 所以，挖掘知识的内在联系，不仅要从結果上展开研究，更要从方法上展开研究.

设计意图：通过现有的知识储备，挖掘研究方法的内在联系，架构知识体系.

例3 已知2x=3，log=y，求x+2y的值.

思路1（指化对）：因为2x=3，所以x=log23，所以x+2y=log23+2log=log23+log=log28=3.

思路2（对化指）：因为log=y，所以4y=，即22y=，所以2x+2y=2x·22y=3×=8，所以x+2y=log28=3.

设计意图：本题属于“指对共存型”问题，可以将条件统一转化成指数或者统一转化成对数来解决，考查指对互化，旨在化解难点，并让学生体会化归思想和指对内在联系的应用.

引导学生探究：已知a>0，b>0，loga=logb=log（a+b），试求的值.

设计意图：进一步强化指对互化，将对数式转化成指数式，利用指数的运算性质解题.

5. 课堂小结

引导学生完善知识网络，形成思维导图.

设计意图：培养学生的语言表达能力，让学生对本节课有整体的认识，思维得到升华.

[?]教学设计反思

作为章节的单元复习课，重在构建知识体系，将新学知识纳入学生已有的知识体系中，同时在此过程中掌握思想方法，提升学生的数学核心素养.

在具体设计时，本节课以需要化解的难点——指对互化为主要内容载体，以“倒叙”的形式展开复习. 从学生的困惑疑点出发，通过例1让学生体会对数对运算的简化作用和学习对数的必要性，渗透数学文化，同时巩固对数运算性质的运用. 通过例2让学生尝试分析数据，通过变式训练（将条件和结论改为不同底对数问题）让学生体会换底公式的作用——化异为同. 然后就是回归核心点（知识架构），从幂指数b的范围开始回顾指数幂的拓展历程，了解其拓展的必要性，在幂指数取值范围从整数集向有理数集拓展的过程中加入分数指数幂，这样自然过渡到分数指数幂与根式的互化，章节的知识体系轮廓也就水到渠成了. 例3及变式训练让学生充分体会“转化与化归”数学思想. 同时，为充分调动学生参与度，激发学生深度思考，问题设计采用的是开放与半开放形式，引导学生积极探索思考，让学生在潜移默化中掌握数学思想方法，提升数学核心素养.