建立“直观模型”，提升学生运算力

刁怀涛

[摘  要] 运算力是“运算技能”和“数学思维”的融合。在小学数学运算教学中，教师要借助生活性模型、迁移性模型、和谐性模型和符号性模型，来助推学生的运算理解，强化学生的运算关联，增强学生的运算直觉，培育学生的运算理性。建立“直观模型”，能有效地提升学生的运算力，发展学生的运算素养。

[关键词] 直观模型;运算力;数学思维

运算力是小学生数学学习力的重要组成部分，是学生数学核心素养形成的根基。著名教育心理学家林崇德先生认为学生的基本数学素养有三个方面，即运算力、逻辑思维力和空间想象力。所谓运算力，是指“学生运用数学的概念、法则、公式、定理等进行运算过程中所表现的能力”。运算力是“运算技能”和“数学思维”的融合[1]。运算力不仅仅是指学生运算得对，更是指学生能选择合适的、合理的运算方法，采用相应的运算策略、运算路径等。

一、生活性模型：助推学生的运算理解

过去，对于运算这一部分内容的教学，很多教师都采用这样的一种模式——“多练”。大量的、重复的、机械的练习，让学生在运算过程中往往“知其然而不知其所以然”。一个学生运算能力的高低，就是这位学生运算速度、运算熟练程度的高低。在这样的运算过程中，运算成为一种程序，学生异化为运行程序的机器。“又对又快”成为衡量学生运算能力高低的标识。但学生不是机械地执行运算命令的机器，而是有着思维、想象的人。在高强度、高密度的运算训练中，学生的主体性被遗忘了。

数学学科中的运算教学，其目的不是将学生培养成运算的机器，而是要通过具体的运算，来激发学生的数学思维，催生学生的数学想象。那么，如何让学生在运算过程当中“思维在场”“想象在场”“创新在场”呢？一个重要的策略就是要让学生经历运算的过程，而不是直奔运算的结果。运算的过程，对于学生来说，应当是活生生的。在运算教学中，教师不仅要聚焦于运算的法则等陈述性知识，更要聚焦于运算的算理等程序性知识。算理等程序性知识，应当是运算的原始形态的知识、过程形态的知识。原始形态的算理能激发学生“火热的思考”。在运算教学中，教师应引导学生将教材中的“学术形态的知识”转变为“教育形态的知识”。转变的路径很多，其中一条重要的路径就是借助于学生日常生活中的“模型直观”。所谓“生活性模型”，是指“以学生的生活经验为基础等做的模型”。这样的“生活性模型”，一方面贴合学生的认知，另一方面切中数学知识的本质。比如教学“减法的性质”中的“a-b-c=a-（b+c）”时，笔者就运用学生的生活经验启发他们：你有一盒饼干，共有a块，先吃了b块，又吃了c块，还剩多少块？可以怎样计算？借助于这种生活化的经验，帮助学生理解“减法的性质”中蕴含的算理。同时，将这一性质用学生的“生活性模型”来建构，就让学生对原本抽象化的运算性质有了形象化的理解。这样的一种理解能被学生固定在数学学习经验中，成为一种“生活性模型直观”。

“生活性模型直观”是学生经验中的直观，是学生经常遭遇的一种直观。该直观易被学生接受，因而其所蕴含的算理也就能为学生理解、认同。在数学教学中，教师对于一些运算不能采用“灌输”“告诉”的方式进行教学，而应当在“生活性模型直观”中，让学生获得对数学知识的理解。唯有这样的学习，才是真性的学习。

二、迁移性模型：强化学生的运算关联

数学中的运算是非常丰富的，它有各种各样的类型，这些类型本身就是一个个模型。在数学教学中，教师要善于将一个个有关联的运算模型联系起来，从而促进学生对运算模型的建构。如果说一个个具体的运算模型是小模型（子模型），那么由一个个小模型组合起来的运算模型应该就是“大模型”。相比较而言，“大模型”的建构要求学生对数学运算获得更为深刻、更为本质，有更强关联性的理解。建构数学运算“大模型”，能有效地发展学生的高阶认知、高阶思维。

我们如何引导学生借助于一个个数学运算的“小模型”建构数学运算的“大模型”呢？其中一个重要的策略就是引导学生进行运算的迁移。笔者将这样的运算“大模型”称为“迁移性模型”。迁移性模型要求教师积极地通过教学，促进学生运算的同化与顺应。为此，教师在教学中要善于找准一个个数学运算模型之间的关联点，这些关联点就是数学运算“大模型”的建构点、生长点、生成点、生发点。建构数学运算“大模型”，有助于学生在运算过程中合理、灵活地运用运算法则解决相关的实际问题。比如教学“整数加减法”时，教师通常会借助计数器，来引导学生认识只有相同数位上的数才能相加的内在道理，也就是“数位对齐（末位对齐）、满十进一”的算理。这个时候运算模型建构依托的就是一种“物质直观”模型，有一种“物以类聚”的思想。在此基础上，学生学习“小数的加减法的法则”时，教师就可以依托“整数加减法法则”模型，让学生在对“整数加减法法则”进行回顾的基础上，抓住“小数点”这样一个“牛鼻子”，自主思考、探究、建构“小数加减法法则”。在这个过程中，教师还可以将“整数加减法法则模型”与“小数加减法法则模型”进行比较，从而让学生深刻认识到，尽管“整数加减法法则模型”与“小数加减法法则模型”形态不一，但其本质是一致的。如此，在引导学生建构“同（异）分母分数加减法法则”时，教师就可以依托“整数加减法法则”和“小数加减法法则”，引导学生回顾、猜想、验证，并进行比较、概括，从而建构更大的“数的加减法”的法則模型，这就是“只有计数单位相同才能直接相加减”。这样的运算模型建构过程，就是“迁移性模型”的建构过程。

相比较于直观性模型的建构，迁移性模型的建构更具有一种内在的意义，更有助于深化学生的认知，让学生把握运算的本质。通过迁移性模型的建构，学生的数学思维、认知层次不断提升。如在上述教学中，学生能从“数位对齐”“小数点对齐”以及“分数单位相同”中抽象、概括出更上位的法则。在迁移性模型的建构中，学生的数学学习力和数学核心素养得到提升。

三、和谐性模型：增强学生的运算直觉

学生的数学运算能力与学生的“数感”是密切相关的。所谓“数感”，通俗地说就是指“对数的一种感觉”。它和语文学科中的“语感”、音乐学科中的“乐感”一样，是学生学习的一种内在性的学科品质。好的“数感”能催生学生的数学直觉，能让学生迸发一种数学灵感，能引发学生丰富的数学想象[2]。作为教师，在数学教学中要培养学生的“数感”，优化学生的“数感”。通过激发学生的“数感”，增强学生的运算直觉。数学的直觉不是一种常规的运算，而是一种跳跃式的思维。

培养学生数感的路径很多，其中一条重要的路径是通过数学之美、数学之和谐来引导学生建构运算模型。在学生的运算过程中，“美学的观念”发挥着重要的作用。一些学生在运算的过程中，能感受、体验到运算的简洁之美、灵动之美。比如低年级的整数加减法中的“凑十法”“凑整法”等是一种整体性的和谐数感的体现;中年级的估算是对数学运算的界域的一种敏锐的把握;高年级在进行简便运算时，学生灵活地调用相应的运算律，采用相应的简便运算方法，就是一种运算策略的敏锐选择。这里，笔者以小学阶段学生最难掌握的“乘法分配律”的教学为例。“乘法分配律”的表征、应用有正向和逆向之分。“乘法分配律”的教学从根本上说有两个方面：一是“乘法分配律”的算理形成;二是“乘法分配律”的结构性应用。对于“乘法分配律”的算理形成，教师可以采用“生活性模型”建构的策略，引导学生认知;对于“乘法分配律”的算法结构性应用，教师就应当充分应用“和谐性模型”，激发学生对美的认知心理。如笔者在教学中，出示了一些开放性习题，诸如“（125+25）×4=125×4+□×4”“32×4+68×4=（□+□）×4”“138×8-□×8=（138-□）×8”，等等。这样的开放性习题具有一种召唤作用，能唤醒学生内在的“乘法分配律”心理图式，促使学生积极应用“乘法分配律”。在这个过程中，有学生还构建了两个等宽的长方形，通过数形结合的方式来建构乘法的分配律。乘法分配律成为一种“和谐性模型”，并且唤醒、激活了学生已有的认知经验。如有学生认为，“以前所学的两位数乘三位数就是利用乘法分配律”;有学生认为，“相遇问题的基本模型建构利用了乘法分配律”;有学生认为，“基本的工程问题模型建构利用了乘法分配律”;等等。正是将“乘法分配律”看成了一种“和谐性模型”，才让学生的“乘法分配律”的学习过程显现出如此的魅力。

“和谐性模型”，激发了学生的数感，增强了学生的运算直觉。在数学教学中，缺乏数学直觉参与的运算是不完整的。数学直觉是一种非常规思维，数学直觉往往会超越数学的法则，能挣脱法则、定理等束缚，产生一种类似于顿悟的本能的思维、感觉或想象。充分利用“和谐性模型”，能有效地弥合数学运算与数学直觉之间的裂痕。

四、符号性模型：引领学生的理性思考

“数学，从根本上来说是逻辑加符号”。（罗素语）在小学数学运算教学中，教师要引导学生充分经历算法的建构过程，从而让学生理解算理。经历算法的建构，也就是要引导学生将与数学相关的问题数学化，并用抽象的数学符号来表征。数学符号集中体现了数学学科内容的简约性、符号化等特点。在数学运算教学中，教师要引导学生积极主动地建构、创造符号模型，从而催生学生的理性化思考。

比如教学“有余数的除法”这部分内容时，笔者就利用学生喜闻乐见的游戏方式，让学生开展游戏活动，在活动中建构“商”“余数”等概念，并体会、感悟“余数”和“除数”之间的关系。在活动开始时，笔者用一种类似于小朋友“分卡片”的方式，从“1张1张地分”到“2张2张地分”，从“2张2张地分”到“3张3张地分”，进而走向“更多张一起分”。在不断地尝试分卡片的过程中，学生发现，只要剩余的卡片的张数（余数）比小朋友的人数（除数）多，就可以继续平均分。只有当剩余的卡片的张数（余数）比小朋友的人数（除数）少，该活动才不能继续，因为每一个人都不够分1张了。于是，一种“余数必须比除数小”“除数必须比余数大”的重要的“有余数除法”算理，就这样被学生所建构、所理解。同时，这种数学化活动，增进了学生的数感，让学生渐渐地学会“一下子就能看出商是几”的本领。因为在不断地“分卡片”活动中，学生分卡片的速度显著提升。学生分卡片速度的提升，充分体现了学生对数学除法运算中的“商”的概念、“余数”的概念的理解，充分体现了学生对除法运算中的“商”与“余数”关系的把握，充分助推了学生对数学除法运算中的“商”和“余数”的应用。在这样的活动基础上，笔者引导学生用自己的方式来表征“有余数的除法”的运算过程。于是，有学生通过画图表征，有学生用字母表征，有学生用图形表征，等等。通过表征，学生建立了“有余数的除法”的符号化模型，即“a÷b=c…d（d

运算这部分内容对于小学生来说是比较枯燥的。如何化枯燥为有趣？一个重要的方法就是要引领学生建构各种数学模型。借助各种数学模型，深化学生的算理理解，强化数学运算的关联，增强学生的运算直觉，引领学生的理性思考等。尤其是要引領学生经历数学模型的建构过程，展现数学运算的“原始形态”。建构直观模型，能有效地提升学生的运算力，发展学生的运算素养。在这个过程中，学生自然能感受到数学运算所散发的魅力。

参考文献：

[1]  张平奎. 算理理解：计算教学的重中之重[J]. 教学与管理，2019（05）：30-32.

[2]  唐斌，付兴容. 问题解决教学中学生计算思维的培养[J]. 教学与管理，2021（05）：62-64.