基于深度学习的初中数学复习课教学设计与实践

温展平

【摘要】本节基于深度学习的复习课通过中考题的练习，引导学生整合一章知识点，整体把握核心内容，选用典型素材，设计引发学生深度思考的问题，让学生经历数学知识“再探究”的，不仅着眼于基础知识、基本技能的落实，更着力于学生关健能力的提升及核心素养的发展.

【关键词】深度学习;复习课;教学设计

1 内容分析

一元二次方程是初中阶段一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程和二元一次方程（组）的延续和深化，是刻画现实世界数量关系的有效模型.所以，抽象出实际问题中的数量关系，布列一元二次方程，运用一元二次方程的解法求得方程的解（根），进而解决实际问题，是一元二次方程的中心问题.

2 复习目标

（1）构建整体知识脉络;理解配方法，强化公式法，能根据方程的结构特征，选择最简洁解法解一元二次方程.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.

（2）经历运用知识、技能解决问题的过程，提高学生数学抽象、运算能力.

（3）培养学生主动参与、积极探索数学问题的热情，增强发现和提出问题的能力，发展数学学科素养.

3 教学过程

3.1 建构知识体系，形成整体认识

1.（2020·黑龙江鹤岗市）已知2+3是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个实数根，则实数m的值是（）

（A）0.（B）1.（C）-3.（D）-1.

2.（2021·山东临沂市）方程x2-x=56的根是（）

（A）x1=7，x2=8. （B）x1=7，x2=-8.

（C）x1=-7，x2=8.（D）x1=-7，x2=-8.

3.（2021·浙江台州市）x2-4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

（A）m>2.（B）m<2 .

（C）m>4 .（D）m<4.

4.（2019·广东）已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）

（A）x1≠x2.（B）x21-2x1=0.

（C）x1+x2=2.（D）x1·x2=2.

5.（2020·湖南邵阳市）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为.

答案：1.B 2.C 3.D4.D

5.x（x+12）=864

设计意图 复习中应完成的基中一个任务是帮助学生完成知识的建构，让学生对所学知识有一个整体的认识.以上5题精选自近年各地市中考真题，题目基本覆盖本章主要知识点，学生容易入手，能让学生快速进入本节课的主题.既让学生以题目中涉及的相关知识点为线索，完成全章的知识梳理，又让学生通过练习中考真题，直观感受中考怎么考、考什么，可以让学生熟悉中考的考查方式，提前适应中考的感觉.

教学引导 让学生独立完成5道题目，完成后让学生思考解决以上问题时所运用的主要知识点、方法有哪些.然后让学生以适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流.如果学生梳理知识的经验和能力不足，教师可以以下几个问题进行引导：教材上本章有几节内容？（本章内容教材分6小节）哪些内容可以整合为一个小单元？（用配方法、公式法、因式分解求解方程可以整合成一个小单元）整合后可以概括为几个小单元？（大致分为三个小单元：对一元二次方程的认识、一元二次方程的解法和一元二次方程的应用）每个小单元有哪几个主要知识点？对较好的知识结构图教师利用投影仪进行展示交流.

3.2 解答典型例题，强化基本技能

例 将一条长为56cm的铁丝剪成两段.

（1）要使其中一段比另一段长10cm，该怎么剪？

（2）把每一段铁丝做成一个正方形，且两个正方形的面积之和等于100cm2，该怎么剪？

（3）把每一段铁丝做成一个正方形，这两个正方形的面积之和可能等于200cm2吗？

设计意图 为尽可能在同一问题情境下呈现列方程、解方程、用方程的完整过程，这里选用教科书复习题第11题，并添加了问题（1）.

首先，通过问题（1）的解答让学生再次明确方程的本质是“量与量之间的等量关系的刻画”，而且可以利用方程求出未知量，同时让学生感受方程之间的联系，通过解法的类比，体会消元、降次的化归转化手段，参透数学思想.

其次，让学生从对问题的分析解决过程中，再次感受用方程解决实际问题的一般步骤：设定适当的未知数，建立符合等量关系的方程，选择恰当的方法解方程，检验方程的解是否符合题意，最终得出实际问题的解，让學生掌握基本方法.

再次，在设未知数、列方程中，学生经历用字母表示未知量，用代数式表示未知量，用方程表示量与量之间的相等关系，即建立方程的意思是用符号来表达一个用文字表述的条件，从而发展学生的数学抽象能力.

然后，在运用不同的解法解方程过程中引导学生对“怎么算？”“为什么这样算？”“哪种算法好？”等一系列问题进行思考，帮助学生提高运算技能.

教学引导第（1）题引导学生利用表格1的形式，把文字语言转化为代数语言，体会建模过程;用不同的方程模型解答，体会一元一次方程与二元一次方程的区别与联系.通过回顾解二元一次方程的基本思路是代入消元、加减消元，基本思想是化归为一元一次方程，为得出解一元二次方程的数学思想提供类比.

3.3 拓展反思总结，提升学科素养

拓展1 把每一段铁丝做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为m，求m的取值范围.

设计意图 引导学生对围成的正方形的面积的范围进行讨论、方程的有整数的分析，提高学生的探究分析能力，一方面渗透配方法在确定代数式的最值中的应用，另一方面让学生注意到，在学习中不要刻意追求一些解题的特殊技巧，要掌握通性通法（公式法），特别是近年来，新课程改革越来越强调初高中知识的衔接，中考命题逐渐向高考命题方向靠拢，而高考命题的一个原则就是淡化特殊技巧.

教学引导 教师鼓励学生先独立思考并尝试完成，再进行组内交流，小组派代表展示成果.

解法1配方法 S=x42+56-x42=18（x-28）2+98，

又由0

通过解法1，教师引导学生理解配方法的作用：既是一元二次方程的基本解法，又是推导求根公式的方法，而且还可以通过配方求代数式的最值.

解法2公式法 由x42+56-x42=m，

得x2-56x+8（196-m）=0，其中0

在把原方程化为一元二次方程的一般式后，可向学生提出以下几个问题：文字表达“把每一段铁丝做成一个正方形，两个正方形的面积之和为m”，从得出的一元二次方程的角度来说，意味着什么？如何解这个方程？方程的解是在全体实数范围内吗？两个解哪个大哪个小？引导学生用数学符号语言表达实际问题，把原问题转化为方程在区间0

由Δ=-562-4·8（196-m）=32（m-98）≥0，

得m≥98，由求根公式得

x1=28-22（m-98），

x2=28+22（m-98），

且x1028+22（m-98）<56，

解得98≤m<196.

通过解法2，教师引导学生认识，公式法是解一元二次方程的通性方法，要熟悉公式法的基本步骤.

拓展2 若分成的两段铁丝长为整数，且两段铁丝做成的两个正方形的面积之和为m也为整数，则m的可能取值有几个？

设计意图 对学生进行一题多变的训练，让学生学会提出问题、分析问题和解决问题，培养学生思维的灵活性、深刻性，提升学生的学科素养.比如改变条件的叙述方式，改变条件、题设背景，改变设问方式，或把相似的几个题目组合改造、引申演变成新的问题等，都是重要手段.善于进行一题多变训练，是培养思维灵活性、深刻性的关健.

教学引导 方程角度看以上问题的数学表达为：若m为整数，且方程x2-56x+8（196-m）=0在0

师生共同分析方程有整数根，需要同时满足以下条件：

①Δ=b2-4ac为完全平方数;

②-b±b2-4ac是2a的整数倍.

因为方程的根为x=28±22（m-98），由m为整数，当2（m-98）为完全平方数时，方程的根为整数，设2（m-98）=n2（其中n为整数），所以n为偶数，

m=n2+1962，由98≤m<196，

得98≤n2+1962<196，

得-14

所以n=0，2，4，6，8，10，12，

所以m的可能取值有7个.

4 强化练习

解方程 （1）x2-2x+1=4;

（2）3x2-4x-1=0.

解关于x的方程 mx2-（3m+2）x+2m+2=0.

（2021·四川南充市）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.

（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x2都为整数，求k所有可能的值.

5 设计说明

首先，深度学习的“深”在于能让学生对核心内容有整体的、本质的认识.学生学习了方程之后，如果仅仅记住了“方程是含有未知数的等式”，但对方程的本质即“量与量之间的等量关系的刻画”这一特征没有体会理理解，那还是只学习到了外在的、形式化的东西.所以，在复习中应该尽可能在同一问题情境下呈现列方程、解方程、用方程的完整过程，同时可以把方程知识与不等式的概念、解法进行横向对比，以融会惯通的方式对学习内容进行组织、整合，形成整体认识.

其次，深度学习的“深”在于让学生掌握核心知识，形成基本能力.基于深度学习的数学复习课重要目标是让学生基于整体的知识框架，掌握数学学科核心知识，发展数学学科关健能力.如何帮助学生发展关健能力？关健在于教师的引导、分析要“深刻”.

然后，深度学习的“深”在于让学生学会数学地思考，提升学科素养.本节课在复习完具体实系数一元二次方程的解法后，通过拓展的形成把问题引申为解含参一元二次方程及整数根问题，一方面引导学生学会通过改变条件的叙述方式，改变条件、题设背景，改变设问方式，改变条件的范围，提出新的问题;另一方面让学生学会最基本的数学思考方法——借助数学工具（公式、法则）分析问题、解答问题，从而提升数学学科素养.

基金项目：兴宁市教育科研课题《基于深度学习的初中数学课堂教学实践研究》（课题编号XNJY2021023）的研究成果.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]深度学习：走向核心素养（学科教学指南·初中数学）[M].北京：教育科学出版社，2019.