对中点问题的思考

任红娟

【摘要】“双减”背景之下，如何高效地完成教与学的任务，已然是教育界的热点问题，教师要跟紧时代步伐，为实现“减负、提质、增效”而努力探索.线段的中点就是把一条线段分割成两条长度相等的点.中点关联着轴对称以及中心对称等几何关系，在图形变换中起重要的作用.如，等腰三角形底边上的中线、高线，顶角平分线三线合一，等腰三角形借助此线可得到两个直角三角形;直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，直角三角形借助此线可得到两个等腰三角形，正是你中有我，我中有你.几何图形在与中点相关联的各种关系的烘托下活灵活现的呈现，有助于学生在复杂图形中探本寻源.

【关键词】中点问题;图形变换;数学解题

1 原题呈现

2020年杭州中考第23题（2）求证点P为EF的中点.此题要求证明两条线段的相等关系，具有多种解法，其中利用中点构造对称图形，是解决问题的一把钥匙.

原题1（2020·杭州） 如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长.

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE=PF.②若DF=EF，求∠BAC的度数.

其中第（2）问中①涉及到中点问题的考查：

解法探究

方法1 如图2，过点E作EH∥AC，交BO于点H.

易证：△EHP≌△FOP，所以 EP=PF.

（连接OE，FH;可得平行四边形OEHF）

方法2 如图3，取BO的中点M，连接FM，OE

易证FM∥OE且FM=OE，所以FP=EP.

（连接EM;可得平行四边形OEMF）

方法3 如图4，过点F作FN∥AB与BO的延长线交于点N，

易证：△FNP≌△EBP，

则FP=EP.（连接NE，FB;可得平行四边形NEBF）

方法4 如图5，连接BF，OE;作FT⊥OB，ES⊥OB，

则S△BFO=S△BEO，

易证：△FTP≌△ESP. 所以FP=EP.

（连接TE，FS;可得平行四边形TESF）

上述解法中平行四边形多角度的呈现，随着对各种图形关系的探究，让中心对称这个图形结构在几何解题中发挥了非常重要的作用.

原题2 （2018·杭州）如图6，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC=k.

（1）求证：AE=BF.

（2）连接BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β.

求证：tanα=ktanβ.

（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求 S2S1 的最大值.

其中第（3）问涉及到线段与面积比值的问题：

已知：如图7，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，设BGBC=k.线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求 S2S1 的最大值.

解法探究

设S△BHG=S，所以S△BHC=1kS，S△BCD = k+1kS△BHC，

易得：S1=1k2S，S△BCD =k+1k2S，

所以S2=S△BCD-S△BHG=k+1-k2k2S，

所以S2S1 =-k2+k+1=-（k-12）2+54，

所以k=12时，S2S1的最大值为54.

通过△BHG的面积为中介，通过面积比与相关线段长度之间的关系，将求 S2S1 的最值的问题转化成为求二次函数的最值问题.

2 题目改编

已知：如图7，在Rt△ABC中， ∠B=90°，∠C=α，点Q在AC边上，点P在BC边上，点F为线段AQ的中点.

（1）若点Q为AC边的中点，点P为BC边中点，①若α=60°， BC=2，求四边形BPQF的面积.

②连接PF，BQ交于点H，求证：FH=PH.

（2）若BPAQ =COS∠C，△ABC和四边形BPQF的面积分别为S1和S2，求 S2S1 的最大值.

解析 （1）①S四边形BPQF = 3，②解法同上

（2）因为COS∠C=BCAC=BPAQ，

设：BPBC=AQAC=k，

因为△ABC和四边形BPQF的面积分别为S1和S2，

则S2 = S△BFQ+ S△BPQ

= 12k·S1+ k·（1-k）·S1，

所以S2S1=12k+ k·（1-k）= -k2+32k

=-（k- 34）2+916，

所以当k= 34时，S2S1的最大值为916.

改变原题中知识点呈现的载体，保持其主要特征，解题时需要学生具备一定的数学积累.

3 思维提升

研究图形在变与不变中的规律，对解决问题的能力提出了更高层次的要求.如图8，在上述改编题中若过点F和过点P作两条互相平行的直线，則这两条直线关于BQ成轴对称关系，若改变这两条平行直线的轴对称关系，则△FHT与△PHS的中心对称关系也会随之发生改变，线段FH与线段HP的数量关系也会发生改变.

多样化的考查，有利于学生在几何的学习中感受图形变化的规律，享受数学学习的快乐，激发数学学习的热情.在学习的过程中，让“双减”真正落地开花，实现学生和老师在教与学中的双赢，提升单位时间的学习效率.