分类讨论思想融入初中数学解题

张杰

【摘要】“分类讨论”思想常见于解决问题多样，需要设定不同标准以转化形式从而简化问题的情形，通过将大问题转化为小问题再逐一解决从而实现解决问题的目标，这是在解决数学问题过程中的常见思路和解题策略.这种化整为零的归纳方法不仅可以提高学生的数学思维，优化解题步骤，更能有效提升学生思维的条理性和逻辑性.

【关键词】分类讨论;数学解题;解题策略

1 在初中数学解题过程中实践“分类讨论”思想的步骤和基本原则

1.1 实践“分类讨论”思想的步骤

1.2 实践“分类讨论”思想的基本原则

（1）统一性：在一道题目的解题过程中，每次分类的标准一定要统一;

（2）匹配性：划分后的小类外延总和应与母类外延相等;

（3）互斥性：每项划分后的各个小类之间应该互相排斥，不能有边界模糊的现象;

（4）层次性：在选定分类依据时，要分清主次，抓住主要问题，逐一击破.

2 “分类讨论”思想在初中数学解题过程中的应用

2.1 “分类讨论”思想在函数中的应用

例1 如图2，函数y=-x2 + bx +c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，已知m和n分别是方程x2- 2x-3= 0的两个实数根，并且有m

（1）求m，n的值以及函数的解析式;

（2）设该函数在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q;若p-g=3，求t的值.

分析 （1）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;

（2）分析题目可以讨论以下5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧;②当t+1=1时;③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧;④当t=1时;⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧;分别根据增减性即可解答.

解析 （1）m，n分别是方程x2- 2x-3=0的两个实数根，且m

所以x1=-1，x2=3;故m=-1，n=3;

即A（-1，0），B（0，3） ，把（-1，0），（0，3）代入得：

-1-b+c=0b=2 解得b=2c=3;

故函数解析式为：y=-x2+2x+3.

（2）①当函数y在该范围内的抛物线全部都在对称轴的左侧，即当x=t时，原函数取得最小值q=-t2+2t+3，最大值p=-（t+1）2 + 2（t+1）+3;

令p-q=-（t+1）2+2（t+1）+3-（-t2+2t+3）=3;

即-2t+1=3;解得t=-1;

②当t+1=1即t=0时，此时p=4，q=3，不合题意，舍去;

③当函数y在该范围内的抛物线位于对称轴的两侧时，有p=4，令p-q=4-（-t2+2t+3）=3，即t2-2t-2=0解得：t1=1+ 3 （舍），t1=1- 3（舍）;

或者p-q=4-[-（t+1）2+2（t+1）+3]=3;即t=± 3（不合题意，舍去）;

④当t=1时，此时p=4，q=3，不合题意，舍去;

⑤当函数y在该范围内的抛物线全部在对称轴的右侧，则当x=t时原函数有最大值p=-t2+2t+3，最小值q=-（t+1）2 +2（t+1）+3，

令p-q=-t2 +2t+3-[-（t+1）2

+2（t+1）+3]=3，

解得t=2 ;

故t=-1或t=2.

点评 二次函数作为初中数学的重难点，常见于压轴大题，综合性较强，学生在实际解题过程中要合理利用分类讨论思想简化直至解决问题.

2.2 “分类讨论”思想在几何中的应用

例2 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts.问当t为何值时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半？

分析 分析题意可以知道该题存在两种情况，因此需要分类讨论：①当点P在AC上时，②当点P在BC上时，再利用三角形的面积之间的关系，求出點P移动的距离，从而求出时间即可;

解析 因为BC=6cm，AC=8cm，

所以S△ABC=12×BC×AC

=12×6×8=24（cm2），

当点P在AC上时，S△ABP=12AP·BC=12×3t×6=12×24，

所以t=43;

当点P在BC上时，S△ABP=12PB·AC

=12×（14-3t）×8=12×24，

所以t=113.

综上所述，t为43或113时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半.

点评 “分类讨论”思想在几何问题中的应用十分广泛，其中，动点问题则是应用“分类讨论”思想的重要领域.学生在解决此类问题时，要重点把握可能出现的多种情况并做好一一分类，切忌出现漏解、掉解现象.

3 总结

总的来说，不管是在解决函数问题还是几何问题时，教师一定要善于引导学生把握“分类讨论”的数学思想，充分结合题设条件，灵活迁移各类知识，通过逐一破解局部问题的思路达到解决整体问题的目的.这就是应用“分类讨论”思想解决数学问题的核心.