重视数学理解，做好初高衔接

毛云长

【摘要】所谓“数形结合”思想，其实就是一种研究数学问题的思想，即具体结合数学问题中所作出的题设与结论间的内在关系，既分析出其数量关系，又揭示出其几何意义，从而使得数量关系同几何图形更加巧妙的结合在一起，让问题更好的解决的一种思想方法.加强“数形结合思想”在教学中应用，能更好地加深对数学的理解、落实核心素养.

【关键词】数学理解;初高衔接;数形结合

1 以形助数，确定方程解的个数问题

方程的解的问题，其实质是函数图象的交点问题，可渗透数形结合思想“以形助数”使问题直观.

例1 已知关于x的方程2x-1=ax-1.

（1）当a=3时，求方程的解;

（2）分别求出下列条件下a的取值范围：

①方程无解;②方程有唯一解;③方程有两个解.

第（2）问若用代数方法来解决，运用的模型是：

关于x方程ax=b的解：当a≠0 时方程有唯一解，当a=0，b≠0时，方程无解，当 a=0，b=0时，方程有无数解.即可得：当x≥1时，原方程可化为：2x-1=ax-1，所以a-2x=a-1.

若 a=2，无解;若a≠2，x=a-1a-2，检验：a-1a-2≥1即a>2时符合题意，a-1a-2<1 即a<2时，不符合题意，舍去.

当x<1时，原方程可化为：2x-1=a1-x，所以a+2x=a+1.

若a=-2，无解;若a≠-2，x=a+1a+2，检验：a+1a+2<1即a>-2时符合题意，a+1a+2≥1即a<-2时，不符合题意，舍去.

所以：①a≤-2或a=2;②-22.这个解法中很容易误认为a=2时方程无解，实际上，当a=2时，方程有一个解.

如果这个问题用图象法，关于x的方程2x-1=ax-1的解就是函数y=2x-1 和函数y=ax-1图象的交点，当a>0时，如图1：当x<1时，函数y=ax-1图象与直线y=2x-1有一个交点，當x≥1时，函数y=ax-1图象与直线y=2x-1的交点个数与a的取值有关，当a=2时，直线y=ax-1与直线y=2x-1平行，当a>2时，直线y=ax-1与直线y=2x-1有一个交点，当a<2时，直线y=ax-1与直线y=2x-1没有交点;当a<0时，如图2：当x≥1时，函数y=ax-1图象与直线y=2x-1没有交点，但是当x<1时，函数y=ax-1图象与直线y=2x-1的交点个数与a的取值有关，当a=-2时，直线y=ax-1与直线y=2x-1平行，即图象没有交点;但是当a>-2时，直线y=ax-1与直线y=2x-1有一个交点，当a<-2时，直线y=ax-1与直线y=2x-1没有交点，综上所述：

当a<-2 时方程无解，当-22时，方程有两个解.

以形助数，不仅使得问题直观形象，并且有助于学生对数学本质的理解，为今后高中学习做好准备.

2 以形助数，求代数式的最值问题

代数式的最值问题是初中数学学习中的一个难点，教师若能引导学生理解该代数问题所代表的几何意义，以形助数，使复杂问题简单化，抽象概念直观化想必可取得较好的效果.

例2 已知 x≥0，y≥0且x+2y=1 ，求x2+y2 的最小值与最大值.

分析 若是用代数方法求解，多半是利用消元法，把x+2y=1转化成x=1-2y带入x2+y2，得到5y2-4y+1，然后转化成 二次函数S=5y2-4y+1（0≤y≤12）的最大和最小值求解，这个问题可以向学生渗透数形结合思想，“以形助数”.如图3，x+2y=1，x≥0，y≥0在直角坐标系上表示一条直线段 AB，而 x2+y2则表示该条线段上的点（x，y）到原点的距离x2+y2 的平方，故由图可知，线段AB上的点距离原点最小的为线段OQ的长，距离最大则为OA的长，故到x2+y2最小值为55，最大值为1.

3 以形助数，求参数的取值范围

有关含参数一元二次方程根的情况问题，除了用根的判别式求解外，若能引导学生转化为函数问题，借助函数图象来解决，能使复杂问题简单化.

例3 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有两个实数根，求a的取值范围;

变式1一元二次方程x2-2x+a=0的一根为x1，且12

变式2关于x的一元二次方程7x2-（a+3）x+a2-a-2=0的两根为x1，x2，且0

例3关于x的一元二次方程x2-2x+a=0我们可以运用根的判别式Δ=b2-4ac>0，求出a≤1，从另外一个角度思考，x2-2x+a=0有两个实数根，即二次函数y=x2-2x+a的图象与x轴有两个交点，即当x=1时，函数y=x2-2x+a的值小于等于0.而对于变式1和变式2，如果只是运用代数的方法进行解答，解法繁琐不易理解，根据题意进行数形转化，由二次方程转化到二次函数，对于变式1，将方程的根看作二次函数y=-x2+2x与直线y=a在12

4 结语

数形结合思想方法的研究有助于学生从诸多“术”的实践体会上升到“道”的层面认识和解决数学问题，以帮助学生构建良好的数学认知结构，开阔学生的视野，促进学生思维层次不断走向高端.