挖掘教材习题功能 点燃学生思维火花

摘要：教材典型例题习题所蕴含的本质规律，有助于学生形成一个正确的思维方式.在教学过程中，教师要对教材例题和习题进行深入的研究分析，探究问题的本质，寻求他的思想来源，寻找多种解法.从一题多解或者一题多变中归纳方法，渗透思想，发展学生的思维.

关键词：例题习题教学;问题变式;数感

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）14-0029-03

收稿日期：2022-02-15

作者简介：陈娟娟（1985.2-），女，河南人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

1 缘起

教材是知识技能的重要信息载体，往年许多学生中考试题在教材中都能找到一个影子，而且有一些题目就是以课本例题、习题为素材改编成的.因此，教材是平日统考或者中考命题的一个重要依据，而教材上的例题和习题又具有一定的典型性和代表性，这就需要教师们在日常教学中，对教材中的例题、习题进一步地进行归纳、总结，采取“一题多解与一题多变”的模式进行教学，举一反三，和学生一起研究总结，同时在数学课堂中培养学生的数感，提高教学的有效性.

2020年1月份，笔者参加了上海市金山区九年级数学一模调研考试的阅卷工作，负责批改试卷的第16题.该题目是由沪教版九年级下册第27.5（3）第30页第4题改编而来.阅卷后，笔者从教研室获取了这道题解答情况的相关数据，这道题得分率为仅为0.23，又在自己所教的班级进行了一节试卷讲评课，引发了笔者对解题教学的一些思考.

2 习题呈现

沪教版九年级下册第27.5（3）第30页第4题：已知相交两圆的半径长分别为15和20，圆心距为25，求两圆的公共弦的长.

2.1 解法分析

解法1直接法

评析本解法是相交两圆连心线的性质定理的直接运用.这是求公共弦常见的一种方法，同学们也是容易想到的.但是因为（1）式含有两项无理式，需要两次平方才能化成整式，所以计算量确实不小.

解法2间接法（先求圆心距其中的一段）

评析因为相交两圆的连心线垂直平分公共弦，所以肯定存在两个直角三角形.如果把圆心距的一段设为x，利用同一个量的两种表示相等列出方程，求出对应的x从而即可求出弦长.这种间接设元的方法在数学解题中也是很常见的.

解法3间接法（面积法）

评析该解法敏锐地观察到了15、20、25是一组勾股数，得到一个直角三角形.从计算上来看，计算量也不大，很容易求出结果.这个解法给我们以后解题提供了一个很好的思维活动经验，要仔细琢磨.

2.2 变式题组

變式1已知半径长分别为6和8的圆O和圆O相交于A、B两点，且∠OAO=90 °，求圆心距AB的长.

变式2已知圆O和圆O相交于A、B两点，AB=8，OO=10，圆O半径为5，求圆O半径.

变式3已知圆O和圆O相交于A、B两点，公共弦AB=24，大圆O的半径为15，OO=4，求小圆O的半径长.

变式4已知圆O和圆O相交于A、B两点，公共弦AB=24，小圆O的半径为13，大圆O的半径为15，求OO的长.

本题组的四个变式训练，问题的大背景没有变，这样我们可以通过节省练习的时间，提高课堂学习效率.此外，通过学生对问题的探究可以帮助他们理解更有难度的问题，用发散思维思考，看透问题的本质.变式训练法有利于提高学生的创新意识，使学生能够独立解决问题，有利于他们未来的成长.

3 功能分析

3.1 有助于巩固新知

本习题是学生学习了相交两圆连心线的性质定理之后设置的.通过变式题组的练习训练学生的思维能力，让学生克服自己原有的思维方式，理解新知识在题目中的应用.对于大部分学生来说，如果就一直练基本题目，对于学生的思维能力发展没有多大的帮助，因此在变式题目中可以适当增加逆向思维或者新旧知识结合的题目.通过运用知识，加深学生对相交两圆连心线的性质定理的理解，巩固新知.

3.2 有利于归纳数学方法

在习题教学时，很多教师采用“就题论题”，只教“是什么”，很少教“为什么”，更少教“怎么想到的”.教师在教学中要重视解题指导，要能做到三个“坚持”：坚持以知识溯源为思路引领，明确思考方向;坚持以教会学生怎么想为能力抓手，强化学法;坚持以同一类型还可以怎么做作为拓展方向，力求以一题会一类.这样，重点培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生能够轻松地处理新问题.

3.3 有利于培养学生的数感

在上述2.2变式题组的训练中，通过解题活动会发现常见的勾股数6、8、10;9、12、15;15、20、25;5、12、13等.其实前三组数据和我们熟知的勾股数3，4，5是对应成比例的.在习题的多角度探索中，这种数感是可以通过反复训练培养出来的.数感是人们对数的直接感知能力，数感在数学教学和数学运算中起着重要的作用.培养学生数感也是我国当前数学课堂教学的一个非常重要的任务.

3.4 有利于数学思维的发展

通过这种分层思维训练，有利于培养学生的发散思维品质，提高课堂质量.首先，例题、练习教学要足够重视发散性思维训练，而“一题多解、一题多变”有助于学生形成发散性思维.所以，在解题后教师尝试着追问“还有没有其他解法？”同时，习题教学还要重视多种解题方法的本质揭示，只有透彻掌握方法的本质，才能实现“由会一题到会一类题” 的方法迁移.例题、习题教学要立足其显性功能的开发.其次，教材上的典型习题，很多都具备变式或者拓展延伸的空间，因此还要学会挖掘其隐性功能.二者兼具才不会浪费例题资源的价值，也就不会错过欣赏习题教学的美丽风景.

4 链接一模

（2020年1月长宁金山一模16题）已知相交两圆的半径长分别为8和15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为_______.

解题思路通过对教材27.5（3）第30页第4题习题的解法研究，本道题通过简单的验算我们很容易得到8，15，17是一组勾股数.采用上面问题的解法3，利用面积法，很容易求出公共弦长24017.如果我们不认真琢磨出题人的用意，而是直接采用类似于解法1的方法，那么想把正确答案求出却是有很大的困难.

5 教学反思

5.1 把教材题目用好些

教材的例题和习题是经过众多专家精心遴选、反复斟酌而定的，是教材的一个有机组成部分.它在帮助学生把握双基，完善知识结构，培养和提高思维能力等各方面起着重要作用.作为一线教师，更应该从课本中挖掘例题习题的功能，在对课本习题多角度探索的过程中，提炼和优化解题方法，为学生遇到类似的考题能够迅速找到最优方法打下基础.

5.2 把思维教得灵活些

课堂教学中不能贪多，尤其是在解题教学中更不能贪多.在学生的难点处，请勿“一带而过”.在同学们的思路卡壳时，教师要给他们多一点的思考空间，用启发性问题引导学生，鼓励他们进行多样化的尝试探索，寻找解决问题的最佳方法.在这样的教学过程中，学生获得的解题经验才深刻.

5.3 把自己教的善思些

通过这一次一个小题目的得分率反思自己的教学，我们还有很多需要改进的地方.我们要反思自己的教学，反思自己的课堂，才能常教常新，学生才能常学常优.虽然教学是有遗憾的艺术，但我们应该努力为学生走向数学学习的“诗和远方”铺设道路.

参考文献：

[1] 谢翔.挖掘例题美育价值，培养数学核心素养[J].中学数学教学参考（中旬），2019（8）：55-57.

[2] 钱宜锋.一道教师学科知识竞赛试题的命制与感悟[J].中学数学教学参考（中旬），2019（8）：58-60.

[3] 形成云.基于发现，历练思维[J].中学数学教学参考（中旬），2019（11）：27-29.

[责任编辑：李璟]