巧借“几何直观”理解“分数计算算理”

袁燕

“几何直观”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一，在数学学习中有重要的地位和意义。“几何”即几何图形。“直观”就是借助经验、观察、测试或类比联系，所产生的对事物关系的直接的感知与认识，通过直观能建立起学生对自身体验与外物体验的对应关系。在“分数计算算理”的实际教学中，几何直观可以把复杂的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

数学发展的历程表明，越是高度抽象的数学内容，往往越需要形象直观的模型作为其解释和支撑。越是抽象的数学对象，其数学本质越有可能用简捷而直观的图形来表达。这就是“几何直观”。“几何直观”作为义务教育小学数学课程标准（2011年版）十大核心概念之一，愈来愈成为数学教学关注的焦点。

《课标解读》指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。可见，几何直观是学生空间观念形成的基础。小学生的思维以具体形象思维为主，所以几何直观能力是学好小学经验性知识的保证，是思考数学问题、发展数形结合思想的基础，是学生必备的一种基本素养。借助几何直观，能启迪我们的思路，可以帮助我们理解和接受抽象的内容、方法、观念，促进我们理解数学的本质和思想。很多抽象的数学问题，都可以变成可借用的几何直观问题，他们是数学发现的向导。几何直观在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

一、“几何直观”的内涵与外延

几何直观内容在教材呈现上比较零散，教师在教学策略实施上比较随性，不够严谨和系统化。教材在解决问题的过程中都是比较重视运用几何直观的，但都缺乏明确的指导。如在教材中理解分数计算，算理方面都是直接呈现或以问题形式提示学生，但具体该怎样计算却没有体现。这样既不利于教师准确把握教材，也不利于学生更好地掌握分数计算算理[1]。

孔凡哲教授认为：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力;在中小学数学中，几何直观可以体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种表现形式。

课标中描述：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。就是通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，为研究和探求数学问题开辟了一条重要途径。

二、“几何直观”在理解分数计算算理方面的实践意义

几何直观是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它既是一种意识，也是一种能力和思维方式。几何直观帮助学生理解算理和掌握算法的方法，教师在深刻解读教材的基础上，基于学生学情，在具体的教学题境中借助几何直观帮助学生更好理解算理、掌握算法。

几何直观有助于学生在不知道计算方法的情况下，得出计算结果，为算理的理解打下基础。如在学习异分母分数加法的时候，计算1/2+1/4，学生不清楚怎样算时，可通过画图，得出3/4的结果。从而初步理解计算1/2+1/4，需要将1/2变成分母也是4的分数：2/4，再与1/4合起来，就是3/4。画图的过程不仅能帮助学生得出计算结果，学生在画图时，初步感受了异分母分数相加减、需要先通分再加减的道理。

几何直观有助于学生理解运算的意义，并通过对意义的理解从而理解计算的算理。如分数乘法单元中，计算1/5×3，学生要在一张长方形纸上先涂出这张纸的1/5，再涂出3个1/5，在涂的过程中，学生理解了1/5×3实际上表示的是求3个1/5的和是多少？3个1/5的和，一共有1×3个1/5，也就是3/5。同样，2/5×2，学生通过涂一涂、想一想，不难理解求得是2个2/5的和，一共有2×2个1/5。画直观图的过程中，学生不自觉得将算式的意义表示出来，对于分数乘整数意义理解了，那么也就理解了分数乘整数的计算算理。

幾何直观有助于学生直观理解算理，并抽象出计算方法。以北师大版五年级下册数学教材中分数除法（一）一课为例，为什么2/7÷3=2/7×1/3，为什么除以一个不为零的数，要乘以这个数的倒数？这对学生来说是比较难以理解的。如果教师单纯地告知学生这种算法，不引领学生探究算法背后的算理，那样的计算教学显然是乏味的、机械的。

如果学生借助画图，分数除法计算算理则非常显而易见。2/7÷3，就是将2/7平均分成3份，每份就是2/7的1/3，当然要用2/7×1/3了。同理，2/7÷4，学生通过画图也不难发现，就是求2/7的1/4是多少。换其他任何一个分数除以一个不为零的整数，都是求这个分数的几分之一是多少。学生有了这样的直观理解后，再抽象归纳出分数除以整数的计算方法，水到渠成。反过来，学生总结出这样的计算方法后，仍旧可以通过画图的方法来解释说明其中蕴含的道理[2]。

通过以上举例不难发现，学生对分数加减乘除法算理的理解都离不开几何直观。几何直观的作用，一方面在于它对于算理的理解有启动作用;另一方面则在于直感的材料对于算理的深化具有独特作用。

三、借助“几何直观”理解计算算理的一般流程及要求

①明确要解决的问题，列出算式，思考怎样算？追问为什么这样列式？对运算意义的理解。②独立画图解决、交流画法——初步感受算理。画图得出结果、说出画法、教师巡视了解画的情况;交流、规范画法，比较不同画法的联系区别。画法和算法结合：结合图说说结果是怎么得到的？③再次运用画图解决其他类似问题——进一步感受算理。可用书中问题、可补充其他问题、可学生自己举例。④说说画图解决这类问题时的发现——理解、抽象算理。结合画图及计算概括出怎么算？为什么这么算？小结得到算理的过程，发展几何直观意识。⑤解决实际问题——深化、运用算理：如画一画、算一算等。

四、借助“几何直观”理解计算算理的具体教学建议

（一）重视学生独立画图，发展学生的几何直观意识

教师在引导学生运用几何直观理解算理、解决问题时，不要急于教给学生怎样画图，而要让学生独立尝试，培养学生主动借助几何直观分析问题的意识。如在处理2/7÷3=？这一问题时，有的老师总是着急把自己的画图方法“迫不及待”地训讲给学生，让学生先画什么，再画什么，可是学生自己画图时仍然不会画，或者看图不能写出相应算式。

（二）重视学生自己的示意图，重视学生自己解释算理的过程

不要过于死板地规范学生的画图、过分强调学生画的图必须全班一样，而要允许学生用自己的方式去表示，只要能说出道理即可。因为不同理解层次的学生有着不同的思维特点和思维水平，给学生展示自己画图的时间和空间，也是学生之间交流的需要。

（三）引导学生结合图、结合计算过程，得出计算方法

数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中让学生亲身实践而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。直觀是具象，有了直观画图后，在经历了多次画图感受后，要引导学生结合图、结合计算过程，抽象出计算的方法，实际上也是建立数学模型的过程。在学生结合图抽象出计算方法后，教师还要让学生结合图说明和解释算理。将抽象的算理再次放回到直观的图中，解释算理的过程也是算理深化的过程[3]。

（四）把握好“几何直观”与计算理解的关系

如对于2/7÷3=2/21，学生除了运用画图外，还可以通过商不变规律，（2/7×1/3）÷（3×1/3）来计算;或者从分数意义的角度去思考，1/7除以3是1/21，2个1/7除以3，应得2个1/21，就是2/21等。因此，重要的是应该让学生从这样的学习素材中，去展现自己的探究能力，去经历多样化的探究，在个性思维得到发展的同时，自主实现算理的理解，获取算法的优化。

（五）不必强求借助“几何直观”来解决所有问题

借助几何直观是一种分析问题和解决问题的策略，是否需要画图与问题的难度、学生对情境的熟悉程度、学生的年龄特点等都有关系。如果学生不借助画图已经可以解决问题了，教师可以鼓励他们运用画图来表达自己的思考过程，但不必强求他们必须经过画图才解决问题。

小学生的思维水平处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，更是离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点，培养学生科学的思维品质。总之，几何直观在计算算理的理解方面也起到了至关重要的作用。教师培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域。有效的培养工作必须依托具体的数学课程教学内容，落实在课程内容之中、课堂教学细节之中，最终形成学生敏锐的洞察力和深厚的数学素养。

参考文献：

[1]孙承勇.谈几何直观在小学低段数学教学中的运用[J].小学教学参考，2020（3）：29-30.

[2]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程.教材.教法，2012（7）：92-97.

[3]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.